Главная

Глоссарий

А

Абсолютная поперечная деформация стержня	определяется как разность поперечных размеров стержня до и после деформации.
Амплитуда колебаний	наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.
Амплитуда цикла напряжений	наибольшее числовое положительное значение переменной составляющей цикла напряжений, равная алгебраической полуразности максимального и минимального напряжения цикла
Аналогия гидродинамическая	Если отверстие трубы и скручиваемый стержень будут иметь одинаковый профиль, то линии тока совпадут с силовыми линиями. Благодаря этому, можно судить о распределении касательных напряжений в стержнях при кручении по распределению скоростей движения жидкости в трубе того же профиля.
Аналогия мембранная	Если тонкую пластинку с отверстием, совпадающим с профилем скручиваемого стержня, покрыть тонкой пленкой (мембраной), то под действием равномерно распределенной нагрузки пленка в отверстии провиснет, образуя поверхность, горизонтали которой располагаются аналогично силовым линиям при кручении. Эта дает возможность составить картину распределения касательных напряжений по расположению горизонталей поверхности мембраны.
Ассиметричный цикл	максимальное и минимальное напряжения не равные по абсолютной величине. При этом асимметричный цикл может быть знакопеременным или знакопостоянным.

Б

База испытаний	предварительно задаваемое наибольшее число циклов при испытании на усталость.
Балка	брус, нагруженный внешними силами, перпендикулярными его оси, и работающий главным образом на изгиб. В сопротивлении материалов рассматриваются три типа балок. Рис. 1. Типы балок: а – жестко защемленная балка (или консоль); б – простая балка (или шарнирно опертая балка); в – шарнирно опертая балка с консолями Расчетные схемы этих балок и их названия указаны на рис. 1. Консолью называют часть балки, расположенную по одну сторону от опоры. Расстояние между шарнирными опорами называется пролетом балки и обозначается l.
Брус	тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим.

В

Вал	брус, нагруженный парами сил, лежащими в плоскости поперечного сечения, и работающий на кручение.
Внецентренное растяжение-сжатие	растяжение или сжатие стержня, при котором равнодействующая внутренних сил направлена по нормали к поперечному сечению, но не проходит через его центр тяжести или когда в поперечных сечениях стержня возникают только три силовых фактора: продольная сила N и два изгибающих момента Mx и My (рис.1). Рис.1. Внецентренное сжатие Будем считать, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб. Это допущение мы будем использовать при вычислении изгибающих моментов от продольной силы P, пренебрегая прогибом стержня. Задача о внецентренном сжатии стержня (массивной колонны) впервые была рассмотрена Юнгом в 1802 г. Определим внутренние усилия и напряжения при внецентренном сжатии. Пусть сжимающая сила P приложена в некоторой точке A с координатами xp и yp в главных центральных осях инерции x и y (см. рис. 1, а). Тогда, с учетом принятого нами допущения, N=-P; ; . Точные значения изгибающих моментов определяются по формулам где v и u – прогибы рассматриваемого поперечного сечения стержня в направлении осей x и y соответственно. Принятое нами выше допущение о большой жесткости стержня на изгиб заключается в предположении, что v<<yp; u<<xp. Напряжения в произвольной точке K с координатами x и y равны: где, согласно принципу независимости действия сил, первое слагаемое представляет собой напряжение от сжатия, а второе и третье – от изгиба. Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки K подставляются в формулу (1) по абсолютному значению, а знак второго и третьего слагаемых определяется по физическому смыслу. N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если моменты "растягивают" сечение в I-ой четверти. Определим положение нейтральной линии. Преобразуем формулу (1), подставляя в нее значения изгибающих моментов: Обозначим координаты некоторой точки нулевой линии xN и yN. Подставим эти координаты в (2) вместо x и y соответственно, а также учтем, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю. После сокращения на P/F получим уравнение нейтральной линии: Таким образом, положение нулевой линии зависит от значений главных радиусов инерции поперечного сечения ix, iy и координат точки приложения нагрузки xp, yp и совершенно не зависит от величины силы P. Важно также отметить, что нейтральная линия и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения (см. рис. 1, б). Определим отрезки, отсекаемые нейтральной линией от осей координат. Эти отрезки, которые мы обозначим через ax и ay (см. рис. 1, б), легко найти из выражения (3). Если сначала в нем принять xN=0, yN=ay, а затем – yN=0, xN=ax, то мы легко найдем, что отрезки, отсекаемые нейтральной линией от осей координат, определяются по формулам Ядром сечения называется малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения стержня. Она характеризуется тем, что всякая сжимающая сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения (и соответственно во всем стержне) только напряжения сжатия. Понятие о ядре сечения впервые ввел Бресс в 1854 г. Рассмотрим следующий пример. Пусть стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами b и h и одна из координат точки приложения нагрузки (точка A) равна нулю, например xP=0, yP=0 (рис. 2). Рис.2. Ядро сечения Тогда напряжения в крайних точках K и L поперечного сечения стержня будут определяться по формулам Из этих формул видно, что при е=0 во всех точках поперечного сечения, в том числе и в крайних точках K и L, будут возникать одинаковые сжимающие напряжения. При e < b/6 напряжения по-прежнему будут сжимающими, но будут изменяться по ширине сечения. При e = b/6 в точках K и L они будут равны: Если e > b/6, то нейтральная линия разделит поперечное сечение на две части. В одной из них напряжения будут сжимающими, а в другой – растягивающими. Для всех этих случаев (см. рис. 2) показаны эпюры напряжений. Таким образом, если мы не хотим, чтобы в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня возникали растягивающие напряжения (а многие строительные материалы, как известно, очень плохо работают на растяжение), то эксцентриситет нагрузки не должен выходить за некоторую область вокруг центра тяжести этого сечения. Эту область и называют ядром сечения. Определим форму ядра сечения для прямоугольного и для круглого поперечных сечений стержня. Рис.3. Форма ядра для прямоугольного и круглого ядра сечения Для прямоугольника ядро сечения имеет форму ромба (рис. 3, а), а для круглого сплошного стержня – круга (рис. 3, б). Заметим, что для любого поперечного сечения форма ядра всегда представляет собой выпуклую фигуру.
Внешние силы	силы, действующие со стороны какого-либо тела или системы на рассматриваемое тело или систему. К внешним силам относятся не только активные силы (нагрузка), но и реакции связей или опор. Внешние силы, действующие на конструкцию, делятся на активные, которые принято называть нагрузками, и реактивные – реакции связей. По способу приложения нагрузки могут быть объемными (собственный вес, силы инерции), то есть действующими на каждый бесконечно малый элемент объема, и поверхностными. Поверхностные нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Нагрузки, распределенные по некоторой поверхности и действующие по направлению нормали к этой поверхности, характеризуются давлением, то есть отношением силы, действующей на элемент поверхности, к площади данного элемента. В Международной системе единиц (СИ) давление измеряется в паскалях, мегапаскалях (1 ПА = 1 Н/м^2; 1 МПа = 10^6 Па) и т.д., а в технической системе – в килограммах силы на квадратный миллиметр и т. д. (кгс/мм^2, кгс/см^2). В сопротивлении материалов часто рассматриваются поверхностные нагрузки, распределенные по длине элемента конструкции. Такие нагрузки характеризуются интенсивностью, обозначаемой обычно буквой q и выражаемой в ньютонах (килоньютонах) на метр (Н/м, кН/м) или в килограммах силы на метр (кгс/м) и т. д. Реальные нагрузки, действующие на конструкцию, не всегда могут быть сведены лишь к сосредоточенным и распределенным нагрузкам. Возможны и моментные воздействия, например, в виде сосредоточенных моментов. Последние выражаются в единицах силы, умноженных на единицу длины (кН∙м, кгс∙м и т.д.). Напомним, что термины «сосредоточенный момент», «пара», «плечо» были введены в 1804 г. французским ученым Луи Пуансо (Poinsot, 1777–1859 гг.). По характеру изменения во времени нагрузки бывают статические (нарастающие медленно от нуля до своего конечного значения и в дальнейшем не изменяющиеся) и динамические (изменяющиеся с течением времени свою величину и (или) точку приложения и при этом изменяющие их достаточно быстро).
Внутренние силы	силы взаимодействия между мысленно рассеченными частями материального тела. Иначе: силы упругости, силы сопротивления, усилия. Для нахождения величины и направления внутренних усилий мысленно рассекают стержень сечением, перпендикулярным продольной оси стержня, это позволит отбросить ненужный для расчета элемент конструкции (или часть этого элемента), заменить его силой, действие которой будет эквивалентно действию отброшенного элемента (его части). Для определения этой силы нужно использовать уравнения равновесия (уравнения статики).
Возмущающая сила	сила, действующая на упругое основание со стороны возбудителя, вызывающая вынужденные колебания системы.
Временное сопротивление (предел прочности)	максимальное напряжение (определенное без учета изменения площади поперечного сечения в процессе нагрузки) выдерживаемое материалом при растяжении. Для стали марки Ст3 временное сопротивление σв=370…470 МПа.
Выносливость	способность материалов сопротивляться разрушению при действии повторно-переменных напряжений.
Вынужденные колебания	движение упругой системы, происходящее под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущающими.
Вязкость	способность материала сопротивляться образованию пластических деформаций.

Г

Геометрически изменяемая система	такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).
Геометрически неизменяемая система	такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.
Геометрические характеристики сечений	числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации). Площадь поперечного сечения ; статический момент относительно оси x или y равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси. Размерность статических моментов площади м^3. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны и равные нулю: координаты центра тяжести: осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dF на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения F. полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dF на квадраты их расстояний () до этой точки, взятая по всей площади сечения F: ; центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dF на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения F: . Центробежный момент инерции имеют размерность м^4 и может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями. Прямоугольник: Круг: Четверть круга: Моменты инерции относительно параллельных осей: . Моменты инерции при повороте осей: ; ; . Угол, определяющий положение главных осей: Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции: Радиус инерции: Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки: для прямоугольника: для круга: трубчатое сечение (кольцо): Полярный момент сопротивления: Для круга:
Гибкость стержня
Гипотезы прочности	Гипотезы, указывающие критерии эквивалентности различных напряженных состояний (НС), называют гипотезами прочности. Приведем и другие, используемые в учебниках по сопротивлению материалов, названия: теории предельных напряженных состояний, теории прочности и т. д. Как следует из изложенного, применение гипотез прочности избавляет нас от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем и результаты эксперимента оказались достаточно близкими к результатам теоретического расчета. Будем называть два НС эквивалентными, если они одновременно переходят в предельные при увеличении соответствующих им главных напряжений в одно и то же число раз. Это означает, что коэффициенты запаса прочности для эквивалентных НС одинаковы. Остается решить вопрос, что же является критерием эквивалентности различных по характеру НС. Если решение этого вопроса каким-то образом найдено (его как раз и дают гипотезы прочности), тогда для расчета стержня на прочность в случае сложного НС его следует заменить на эквивалентное одноосное растяжение (сжатие) и сравнить соответствующее ему эквивалентное напряжение σэкв=f(σ1, σ2, σ3) с предельным (или допускаемым) напряжением для данного материала. Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволило до настоящего времени создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала. Независимо от принятой гипотезы прочности условие прочности после определения эквивалентного напряжения представляется в виде одного из следующих неравенств: или, при заданном коэффициенте запаса,
Гипотеза прочности первая (гипотеза наибольших нормальных напряжений)	Первая гипотеза прочности основывается на предположении о том, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения. Эту, самую простую и старую, гипотезу, предложенную еще Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений. Условие прочности по первой гипотезе прочности имеет вид: В случае, когда наибольшим по абсолютному значению будет сжимающее главное напряжение |σ3|, условие (1) записывается в виде: Существенный недостаток первой гипотезы виден из приведенных выше двух формул. Заключается он в том, что при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих, естественно, большое влияние на прочность материала. Эта гипотеза подтверждается экспериментальными данными только для хрупкого материала и только при растяжении, когда главные напряжения σ2, σ3 значительно меньше, чем σ1. При всестороннем сжатии, например, цементного кубика она приводит к ошибочным результатам, поскольку кубик выдерживает напряжения, во много раз превышающие предел прочности при одноосном сжатии. В настоящее время эта гипотеза прочности не применяется и имеет лишь историческое значение.
Гипотеза прочности вторая (гипотеза наибольших линейных деформаций)	Отмеченные недостатки первой гипотезы прочности привели к появлению второй гипотезы прочности, предложенной Мариоттом и затем развитой Сен-Венаном. Согласно этой гипотезе, называемой гипотезой наибольших линейных деформаций, причиной разрушения являются наибольшие линейные деформации. Условие прочности по этой гипотезе записывается в виде: где μ – коэффициент Пуассона. Отметим следующее. Вторая гипотеза прочности предполагает, что для пластичных материалов закон Гука выполняется вплоть до предела текучести, а для хрупких – до предела прочности, что, конечно, является чересчур грубым допущением. Достоинством же этой гипотезы является то, что при вычислении эквивалентного напряжения она учитывает все три главных напряжения. С помощью этой гипотезы можно объяснить разрушение хрупких материалов при простом сжатии. Однако, как и первая гипотеза, вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и поэтому в настоящее время не применяется.
Гипотеза прочности третья (гипотеза наибольших касательных напряжений)	Согласно этой гипотезе, которую называют также гипотезой наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие касательные напряжения. Линии Людерса, разрушение по наклонной плоскости образца из хрупкого материала, образование воронки при разрыве – все это указывает на большую роль, которую играют касательные напряжения. Согласно третьей гипотезе, максимальное касательное напряжение для заданного объемного НС и эквивалентного ему линейного НС одинаковы, то есть Напомним, что в случае объемного напряженного состояния наибольшее касательное напряжение определяется по формуле Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении равно: С учетом формул (1) и (2), условие прочности по третьей гипотезе прочности принимает вид: Недостатком этой гипотезы является то, что она не учитывает второго главного напряжения σ2. Опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты. Ошибка от пренебрежения влиянием σ2 не превышает обычно 10 – 15%. Третья гипотеза прочности впервые была высказана Кулоном. Критерий наибольших касательных напряжений был предложен им в 1773 г. Условие наступления пластического состояния впервые выдвинул в 1868 г. французский инженер Анри Эдуард Треска (Treska, 1814 – 1885 гг.). Затем это условие было математически сформулировано Сен-Венаном.
Гипотеза прочности четвертая (энергетическая)	Энергетическая гипотеза прочности строится на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении. Необходимо обратить внимание на то, что в этой гипотезе речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь о той ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром, равным единице. В общем случае полная удельная потенциальная энергия деформации может быть представлена как сумма энергий, связанных с изменением объема кубика и изменением его формы. Условие прочности по четвертой гипотезе прочности приведем без вывода: Очевидным достоинством этой теории является то, что эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений. Энергетическая гипотеза прочности хорошо согласуется с опытными данными для пластичных материалов. Для них она приводит к несколько лучшим результатам, чем гипотеза наибольших касательных напряжений. Идею энергетического критерия прочности материала впервые предложил в 1856 г. английский ученый Джеймс Клерк Максвелл (Maxwell, 1831 – 1879 гг.). В 1885 г. ее развил итальянский ученый Эудженио Бельтрами (Beltrami, 1835 – 1900 гг.). В 1904 г. польский ученый Максимилиан Тытус Губер (Huber, 1872 – 1950 гг.) и в 1911 г. немецкий ученый Рихард Мизес (Mises, 1883 – 1953 гг.) завершили разработку этой теории прочности.
Гипотеза прочности Мора	Согласно этой гипотезе, которую в 1900 г. предложил немецкий ученый Отто Христиан Мор (Mohr, 1835–1918 гг.), два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений соблюдается соотношение: Тогда условие прочности по гипотезе прочности Мора имеет вид: (2) Из формулы (2) видно, что данная гипотеза прочности не учитывает влияния второго главного напряжения σ2. В (1) и (2) коэффициент v представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, то есть этот коэффициент равен: - для хрупких материалов - для пластичных v=1. Гипотеза прочности Мора может быть рекомендована для хрупких материалов. Для пластичных материалов она тождественна третьей гипотезе прочности.
Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)	Многочисленные эксперименты показывают, что при растяжении стержня продольные и поперечные риски, нанесенные на его поверхности до деформации, остаются практически прямолинейными и взаимно перпендикулярными между собой и после деформации стержня. Изменяются лишь расстояния между ними. Причем между поперечными рисками расстояния увеличиваются, а между продольными – уменьшаются. Можно предположить, что и внутри стержня деформации имеют такой же характер, как и на его поверхности. Следовательно, поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации. В этом и заключается смысл гипотезы плоских сечений, предложенной итальянским ученым Яковом Бернулли (Bernoulli, 1654 – 1705 гг.).
Главные моменты инерции сечения	Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.
Главные напряжения	нормальные напряжения, действующие по главным площадкам.
Главные оси поперечного сечения	Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль.
Главные площадки	три взаимно перпендикулярные площадки в окрестности исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю. На главных площадках нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения Тензор напряжений для главных площадок:
Главные центральные оси инерции сечения	это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Д

Деформации пластические (остаточные)	Та часть деформации, которая не исчезает при разгрузке, называется пластической, а способность материала сохранять деформацию – пластичностью. Пластическая деформация называется также остаточной деформацией. Как правило, возникновение пластических деформаций связано с нарушением нормальной работы инженерной конструкции и поэтому их появление считается недопустимым. Если же мы хотим придать твердому телу желательную для различных целей форму, например, при прокатке, ковке, штамповке и т.п., то без возникновения пластической деформации нам не обойтись.
Деформации упругие	деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил. Предположим, что тело не разрушилось под действием внешней нагрузки. Будем теперь уменьшать нагрузку до нуля. При этом, благодаря внутренним силам, будет уменьшаться и деформация тела. Способность материала восстанавливать первоначальные размеры и форму после снятия нагрузки называется упругостью. Та часть деформации, которая исчезает при разгрузке, называется упругой деформацией. Тело называется абсолютно упругим, если оно полностью восстанавливает свои размеры и форму после снятия нагрузки.
Деформация	Это изменение твердым телом своей первоначальной формы и размеров под действием приложенных к нему сил или температуры. Под действием внешней нагрузки любое реальное твердое тело изменяет свои первоначальные размеры и форму, или деформируется. Например, если Вы, наступите на обычный строительный кирпич, то под действием Вашего веса его высота уменьшится примерно на 1/20000 см. Именно деформация (пусть даже очень маленькая, как в приведенном выше примере) и позволяет твердому телу создать те внутренние силы, которые способны противодействовать внешней нагрузке и соответственно его разрушению. Когда мы к концу веревки подвешиваем груз, веревка удлиняется. Это удлинение, в свою очередь, приводит к возникновению внутри веревки результирующей внутренней силы, которая «тянет» камень вверх, удерживая его от падения (действие и противодействие, как известно, равны по величине и противоположны по направлению). Если внутренняя сила, обусловленная удлинением веревки, не сможет уравновесить вес груза, то веревка порвется. Важно осознать, что деформация конструкции вовсе не является каким-то дефектом (если она, конечно, не слишком велика с точки зрения цели, которой служит эта конструкция). Наоборот, деформация является тем важным свойством конструкции, без которого она не смогла бы противодействовать внешней нагрузке.
Деформация относительная при растяжении-сжатии
Деформация относительная поперечная	стержня определяется отношением абсолютной поперечной деформации к соответствующему первоначальному размеру . Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова:
Диаграмма растяжения	график зависимости между растягивающей силой F и удлинением рабочей части образца ∆l.
Динамическая нагрузка	нагрузка, характеризующаяся быстрым изменением во времени ее значения, направления или точки приложения и вызывающая в элементах конструкции или в деталях машин значительные силы инерции. К динамическим нагрузкам, несмотря на отсутствие значительных инерционных сил, можно отнести периодические многократно повторяющиеся (циклические) нагрузки, действующие на элементы конструкции. Такого рода нагружения характерны для большинства машиностроительных конструкций, таких, как оси, валы, штоки, пружины, шатуны и т. д.
Диаграмма предельных амплитуд (диаграмма Хейга)	Детали машин в процессе эксплуатации испытывают напряжения, изменяющиеся во времени по самым разнообразным циклам, характеризуемым коэффициентом асимметрии R. И для каждого такого цикла, в принципе, необходимо определить свой предел выносливости материала σR. В диапазоне от симметричного цикла до постоянного цикла (простого растяжения) укладывается бесконечное количество самых разнообразных циклов. Кроме того, опытное определение σR для каждого возможного цикла требует большого количества образцов и длительного времени испытаний. Поэтому в лабораторных условиях решить эту задачу практически невозможно. Вследствие перечисленных причин по ограниченному числу опытов строится так называемая диаграмма предельных амплитуд (рис. 1). Рис.1. Диаграмма предельных амплитуд Будем в дальнейшем называть предельным циклом такой цикл, у которого максимальное напряжение σmax равно пределу выносливости цикла σR. По оси ординат диаграммы (см. рис. 1) откладывают значение амплитудного напряжения σa, а по оси абсцисс – значение среднего напряжения σm предельного цикла. Каждая пара напряжений σa и σm определяет соответствующий предельный цикл, который изображается на диаграмме точкой. Точка A соответствует симметричному предельному циклу. Ее ордината – σa=σ-1, а абсцисса – σm=0. Точка B, имеющая координаты σa=0, σm=σпч, характеризует предельный постоянный цикл для хрупкого материала, а точка B’ с координатами σa=0, σm=σтек – предельный постоянный цикл для пластичного материала. Точка C отвечает предельному отнулевому циклу. Для нее σa=σm. Таким образом, кривая AСB характеризует предельные циклы для хрупких материалов, а кривая ACB’ – для пластичных. Точки, расположенные ниже этих кривых (внутри диаграммы), представляют собой безопасные циклы, то есть циклы, не приводящие к разрушению образца.
Диаграмма предельных напряжений (диаграмма Смита)	Диаграмма Смита строится, как минимум, по трем режимам нагружения (по трем точкам), для каждого из которых определяют предел выносливости. Первый режим (точка 1) – обычный симметричный цикл нагружения (R=-1, ); Второй режим (точка 2) – асимметричный цикл нагружения, как правило, отнулевой (R=0, ); Третий режим (точка 3) – простое статическое растяжение (R=1, ). Полученные точки соединяют плавной линией, ординаты точек которой соответствуют пределам выносливости материала при различных значениях коэффициента асимметрии цикла. Луч, проходящий под углом через начало координат диаграммы предельных напряжений, характеризует циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии R:
Долговечность	состоит в способности конструкции сохранять необходимые для эксплуатации служебные свойства в течение заранее предусмотренного срока времени.
Допускаемое напряжение	максимальное значение напряжения, которое может быть допущено в опасном сечении для обеспечения безопасности и надежности работы, необходимых в условиях эксплуатации
Допущения в сопротивлении материалов	Структура реальных твердых тел настолько сложна, что они в своем естественном виде не могут стать предметом изучения в сопротивлении материалов. Твердые тела приходится идеализировать, то есть наделять их такими свойствами, которые, с одной стороны, достаточно точно передают основные характеристики реальных твердых тел, а с другой стороны, являются достаточно простыми для их представления в виде математических соотношений. Целью такой идеализации является получение определенных законов в виде уравнений, правильно описывающих основные свойства твердого тела. При построении теории расчета на прочность, жесткость и устойчивость принимаются допущения, относящиеся как к свойствам материалов, так и допущения, связанные с деформацией твердого тела. К первой группе допущений относятся следующие: 1) Считается, что материал твердого тела представляет собой сплошную среду, то есть полагают, что материал полностью заполняет весь объем тела, без каких-либо пустот. Это представление о твердом теле, как о сплошной среде, дает возможность применять при исследовании его напряженно-деформированного состояния методы дифференциального и интегрального исчислений, которые требуют непрерывности функции в каждой точке объема тела. 2) Материал считается однородным, то есть его физико-механические свойства являются одинаковыми во всех точках тела. 3) Материал считается изотропным, то есть его физико-механические свойства в каждой точке тела одинаковы во всех направлениях. Материал, не обладающий этим свойством, называется анизотропным. К анизотропным материалам, например, относится дерево. 4) Полагают, что материал является идеально упругим, то есть после снятия внешней нагрузки его деформация полностью исчезает. Вторая группа допущений связана с деформацией твердого тела: 1) Деформации считаются малыми. Отсюда следует, что при составлении уравнений равновесия, а также при определении внутренних сил можно не учитывать деформацию тела. Это допущение иногда называют принципом начальных размеров. Рис. 1. Принцип начальных размеров Рассмотрим, например, стержень, заделанный одними концом в стену и нагруженный на свободном конце сосредоточенной силой P (рис.1). Определим значение реактивного момента MA, возникающего в жесткой заделке. Для этого воспользуемся соответствующим уравнением равновесия, известного из теоретической механики: ΣMA=0; +MA-Pl=0. Отсюда легко можно найти, что MA=Pl. Но все ли здесь нами выполнено правильно? К сожалению, нет. Ведь прямолинейное положение стержня вовсе не является его положением равновесия. Под действием силы P стержень неизбежно изогнется. При этом точка приложения нагрузки сместится как по вертикали, так и по горизонтали. Если записать уравнение равновесия стержня для деформированного (изогнутого) состояния, то реактивный момент, возникающий в заделке, окажется равным: MA=P(l-w). Принимая в сопротивлении материалов упомянутое выше допущение о малости деформаций, мы полагаем, что перемещением w можно пренебречь по сравнению с длиной стержня l, то есть w<<l. Тогда, действительно, мы получим, что MA≈Pl. Однако необходимо помнить, что допущение о малости деформаций не всегда является справедливым. Заметим, что иногда принцип начальных размеров называют принципом отвердения, что не совсем верно. Принцип отвердения используется, например, при изучении поведения жидких тел. Если такая система находится в равновесии, то можно предположить, что она отвердела и сделалась неизменяемой. И тогда к ней можно будет применить уравнения равновесия твердого тела. 2) Полагают, что перемещения точек твердого тела пропорциональны внешним нагрузкам, вызывающим эти перемещения, то есть считается, что тело является линейно деформируемым. Необходимо отметить, что допущение о линейной деформируемости конструкции нельзя отождествлять с законом Гука, как это делается, к сожалению, в некоторых учебниках по сопротивлению материалов. Дело в том, что закон Гука устанавливает линейную зависимость между внутренними силами и деформациями, а не внешними силами и перемещениями. 3) Для линейно деформируемых конструкций справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Этот принцип формулируется следующим образом: Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из этих сил в отдельности. В основе этого принципа лежит допущение о малости деформаций, а также предположение об обратимости процессов нагрузки и разгрузки конструкции.

Ж

Жесткость

Жесткостью называется способность конструкции сопротивляться образованию упругих деформаций, возникающих под действием внешних сил. Иногда деформация конструкции, отвечающей условию прочности, может воспрепятствовать нормальной ее эксплуатации. Пусть, например, прогиб нагруженного моста посредине составил 1/500 от длины его пролета l. При этом по нормам допускаемый прогиб не должен превышать l/800. В этом случае говорят, что мост является прочным, но жесткость его недостаточна.

З

Закон Гука при растяжении-сжатии	Для большинства материалов в пределах упругих деформаций между напряжением σ и продольной деформацией ε существует линейная зависимость σ=Eε. Напряжение пропорционально деформации – так формулируется в настоящее время закон Гука. Впервые этот закон был опубликован в виде анаграммы ceiiinosssttuv в 1676 г. английским ученым Робертом Гуком в его работе «Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать». При правильной расстановке букв анаграмма читается следующим образом: «Ut tensio, sic vis». В переводе с латинского языка это означает: «Каково удлинение, такова и сила». Заметим, что к такому же заключению в 1680 г., независимо от Гука, пришел и французский ученый Эдме Мариотт (Mariotte, 1620 – 1684 гг.). Коэффициент пропорциональности E, стоящий в формуле σ=Eε, называется модулем продольной упругости или модулем Юнга – по имени английского ученого Томаса Юнга (Iounge, 1773–1829 гг.). Его значение для данного материала может быть установлено только опытным путем. В справочниках обычно приводится среднее значение модуля Юнга. Иногда модуль Юнга называют и «модулем упругости первого рода». Модуль Юнга является константой материала (например, для стали Е=2∙10^11 Па, для меди Е=1,2∙10^11 Па, для титана Е=1,2∙10^11 Па). Заметим, что существуют материалы (например, чугун), которые лишь с некоторым приближением можно считать подчиняющимися закону Гука. А такие материалы, как кожа и ткани, и вовсе ему не подчиняются. Необходимо также отметить, что материалы, которые подчиняются закону Гука, перестают ему следовать при достижении деформации (напряжения) определенного значения.
Закон Гука при сдвиге	Опытным путем установлено, что в пределах упругой сдвиговой деформации касательные напряжения пропорциональны углу сдвига: Данное соотношение представляет собой закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G в этой формуле называется модулем сдвига. Видно, что он измеряется в тех же единицах, что и касательное напряжение. Модуль сдвига G является физической постоянной для материала, характеризующей его жесткость при сдвиге. Значение модуля сдвига G может быть определено экспериментально.
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня	Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды. Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления. 1. Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, заделанного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 2l, то есть 2. Стержень длиной l, у которого оба конца жестко заделаны. Средняя часть стержня, с двумя жестко закрепленными, концами находится в тех же условиях, что и шарнирно опертая балка длиной l/2. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной l/2, то есть 3. Стержень длиной l, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнирно оперт. Критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7l, то есть Все полученные решения можно объединить в одну общую формулу где μl = lпр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; μ– коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μпоказывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)
Задача Эйлера	Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M: M=-F, где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x. Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии: где E – модуль Юнга; J – осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z в данном случае; EJ – жесткость стержня при изгибе. Знаки левой и правой части согласованны в данной системе координат. Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n=1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J=Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции) Это выражение обычно называют формулой Эйлера, а определяемую с ее помощью критическую силу – эйлеровой силой.
Закон парности касательных напряжений	Элементарный параллелепипед должен находиться в равновесии. В частности, он не должен вращаться вокруг оси x, проходящей через точку К (см. рис. 1), поэтому суммарный момент всех сил, возникающих по его граням, относительно этой оси должен быть равен нулю: В формуле (1) в скобки заключены соответствующие силы, а их плечи указаны за скобками. Рис.1. После элементарных упрощений выражения (1) найдем: Соотношение (2) и называется законом парности касательных напряжений: на любых двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, направленные по перпендикуляру к линии пересечения этих площадок, равны по величине. При этом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.
Зона упрочнения	участок кривой деформирования образца, на котором материал вновь приобретает свойство оказывать сопротивление нагрузке, однако с ростом удлинения образца нагрузка возрастает значительно медленнее, чем на упругом участке.

И

Изгиб косой	Косой изгиб - вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки. Впервые задача о косом изгибе балки была решена в 1843 г. Сен-Венаном. Рассмотрим как вычисляются наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе. Покажем это на конкретном примере. Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения длиной l, нагруженную вертикальной силой P (рис. 1). Пусть балка расположена по отношению к нагрузке таким образом, что ее главная центральная ось y (ось симметрии) составляет некоторый малый угол α с направлением действия нагрузки. Пусть такой перекос обусловлен, например, технологическим браком при сборке конструкции. Рис.1. Косой изгиб Разложим силу P на две составляющие: Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим действие каждой из этих составляющих в отдельности. Нагрузки Py и Px вызывают в поперечном сечении, расположенном на некотором расстоянии z от правого конца балки, изгибающие моменты, абсолютные значения которых определяются по формулам: Оба изгибающих момента будут наибольшими в заделке: Суммарные нормальные напряжения при косом изгибе в произвольном поперечном сечении балки для некоторой точки с координатами x и y вычисляются по следующей формуле где – главные моменты инерции; h – высота, а b – ширина поперечного сечения балки. Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки подставляются в формулу (1) по их абсолютному значению, а знак каждого из слагаемых определяется в целом, согласно физическому смыслу. Наибольшие нормальные напряжения возникнут в поперечном сечении, расположенном в заделке, в точках 1 и 2, которые наиболее удалены от соответствующих нейтральных осей и имеют следующие абсолютные значения координат: y=h/2, x=b/2. При этом, очевидно, что в точке 1 напряжения будут растягивающими: а в точке 2 – точно такими же по величине, но сжимающими: В формулах (2) и (3) – моменты сопротивления балки при изгибе относительно главных центральных осей инерции. Определим положение нулевой (нейтральной) линии. Напомним, что нулевой линией (НЛ) (рис.2) называется геометрическое место точек поперечного сечения стержня, в которых нормальные напряжения равны нулю. Из этого определения легко и определяется положение НЛ. Приравнивая правую часть выражения (1) к нулю, получим: Отсюда Обозначим через β угол наклона НЛ к оси x. Тогда tgβ=y/x, и уравнение НЛ (4) принимает следующий вид: Из уравнения (5) видно, что в общем случае (когда Ix≠Iy) НЛ при косом изгибе не проходит перпендикулярно к силовой линии (рис. 2), поскольку . Лишь в частном случае, когда значения главных центральных моментов инерции равны между собой (Ix=Iy), угол между НЛ и силовой линией будет прямым (), и это означает, что изгиб будет прямым. Рис.2. Нулевая линия и эпюра напряжений при косом изгибе Заметим, что для балок с поперечным сечением типа квадрат, круг и т. п., у которых все центральные оси являются главными, косой изгиб невозможен. Построение эпюры нормальных напряжений при косом изгибе. Зная положение НЛ, легко построить эпюру σz. Для этого, например, справа от сечения (см. рис. 2) проведем перпендикуляр к НЛ. По нормали к нему и будем откладывать значения напряжений. Как уже отмечалось выше, они будут изменяться по линейному закону, при этом наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке 1, а наибольшие сжимающие – в точке 2. Чем опасен косой изгиб? Выполним некоторые вычисления для рассмотренного нами случая. Пусть, например, α=10° (см. рис. 2), то есть перекос является относительно малым. При отсутствии перекоса, то есть при прямом изгибе, наибольшие нормальные напряжения в балке, например в точке 1, были бы равны: При косом изгибе в этой же точке они определяются по формуле Определим, во сколько раз наибольшие напряжения при наличии технологического брака больше, чем при его отсутствии. Составим отношение найденных выражений для напряжений: Например, при отношении h/b=4 получим то есть напряжения в балке возрастают почти на 70%. Таким образом, даже небольшой технологический перекос может привести к существенному увеличению нормальных напряжений в балке. В какой точке поперечного сечения балки возникает наибольшее касательное напряжение? В рассматриваемом нами примере нагрузки Py и Px вызывают во всех поперечных сечениях одинаковые перерезывающие силы, абсолютные значения которых соответственно равны: Наибольшие касательные напряжения от Qy возникают в точках, лежащих на оси x, а от Qx – в точках, лежащих на оси y. Эти напряжения определяются по формулам где F=bh – площадь поперечного сечения балки. Наибольшее касательное напряжение при косом изгибе возникает в центре тяжести поперечного сечения. Его можно найти как следующую геометрическую сумму: Определение прогибов при косом изгибе. Сначала найдем прогиб консоли от каждой из составляющих силы P в отдельности. Обозначим прогиб балки по направлению осей x и y соответственно через u и v (рис. 3). Тогда: Суммарный прогиб консоли равен: Найдем направление результирующего перемещения f. Для этого определим значение угла наклона γ этого перемещения к вертикальной оси y: Сопоставляя формулы (5) и (6), видим, что абсолютные значения углов β и γ равны между собой. Следовательно, направление суммарного прогиба балки при косом изгибе перпендикулярно нулевой линии (см.рис. 3). Рис.3. Прогиб балки при косом изгибе Отсюда можно сделать важный вывод о том, что направление суммарного прогиба балки f при косом изгибе (когда Ix≠Iy) не совпадает с направлением действующей силы P, то есть γ≠α.
Изгиб	Изгибом называется такой вид деформации, при котором первоначально прямолинейная ось стержня искривляется. Стержень с прямолинейной осью, работающий на изгиб, называют балкой. Балки являются одним из важнейших элементов всех строительных конструкций, а также многих конструкций, применяемых в машиностроении, кораблестроении и в других отраслях техники. Первым вопрос о прочности балок поставил в 1638 г. Галилей в своей книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». В 1826 г., то есть спустя почти два столетия, французский ученый Клод Луи Мари Анри Навье (Navier, 1785 – 1836 гг.) практически завершил создание теории изгиба балок. Этой теорией мы, по существу, пользуемся и по настоящее время. Гипотеза плоских сечений при изгибе балки Мысленно нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси балки) прямых линий. В результате изгиба балки мы увидим, что продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки. Таким образом, поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации. Это обстоятельство свидетельствует о том, что при изгибе (как при растяжении и кручении) выполняется гипотеза плоских сечений. Какие перемещения возникают при изгибе балки? В результате изгиба произвольная точка, лежащая на оси балки, перемещается в направлении вертикальной оси y и продольной оси z. Вертикальное перемещение обычно обозначают буквой v и называют его прогибом балки. Продольное перемещение точки обозначают буквой u. Касательная, проведенная к точке, расположенной на изогнутой оси балки, будет повернута по отношению к прямолинейной оси на некоторый угол. Этот угол, как показывают многочисленные опытные данные, оказывается равным углу поворота 𝜃 поперечного сечения балки, проходящего через рассматриваемую точку. Таким образом, три величины v, u и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки при изгибе. В дальнейшем мы покажем, что u<<v, поэтому при расчете балки на изгиб продольным перемещением u пренебрегают. Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении балки при прямом изгибе? Рассмотрим, например, балку (рис. 1), нагруженную вертикальной сосредоточенной силой P. Для определения внутренних силовых факторов, возникающих в некотором поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений. Продемонстрируем два варианта использования этого метода, с которыми можно встретиться в учебной литературе. Рис.1. Внутренние силовые факторы, возникающие при прямом изгибе Первый вариант. Разрежем балку в намеченном нами поперечном сечении на расстоянии z от левого конца (рис. 1, а). Отбросим мысленно правую часть балки вместе с жесткой заделкой (или просто, для удобства, закроем их листком бумаги). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на оставленную нами левую часть балки внутренними усилиями (силам упругости). Мы видим, что внешняя нагрузка пытается сместить видимую нами часть балки вверх (иными словами, осуществить сдвиг) с силой, равной P, а также изогнуть ее выпуклостью вниз, создавая момент, равный Pz. Вследствие этого, в поперечном сечении балки возникают внутренние силы, которые оказывают сопротивление внешней нагрузке, то есть противодействуют и сдвигу, и изгибу. Эти силы, очевидно, возникают во всех точках поперечного сечения балки, и распределены они по сечению по неизвестному пока нам закону. К сожалению, сразу же определить эту бесконечную систему сил невозможно. Поэтому мы сведем все эти силы к центру тяжести рассматриваемого поперечного сечения и заменим их действие статически эквивалентными внутренними усилиями: перерезывающей силой Qy и изгибающим моментом Mx. Как мы уже неоднократно отмечали выше, разрушение стержня в рассматриваемом сечении не произойдет только в том случае, если эти внутренние усилия Qy и Mx сумеют уравновесить внешнюю нагрузку. Поэтому мы легко находим, что Qy =P, а Mx =Pz. Заметим, что именно благодаря этим двум внутренним усилиям Qy и Mx при разгрузке рассматриваемая нами часть балки опустится вниз и выпрямится. Второй вариант. По-прежнему разрежем балку в интересующем нас месте на две части. Но отбросим теперь не правую, а левую часть балки, нагруженную силой P. Заменим действие отброшенной нами части на оставленную правую часть стержня внутренними усилиями. Эти усилия мы найдем непосредственно как действие отброшенной левой части на правую часть. Для этого осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения балки (рис. 1, б). Согласно известной лемме из курса теоретической механики, сила, приложенная в какой-либо точке тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения. Следовательно, в поперечном сечении стержня мы должны приложить силу P и момент Pz. Тогда перерезывающая сила Qy =P, а изгибающий момент Mx =Pz. То есть мы получаем тот же самый результат, но не производя процедуры уравновешивания. По каким правилам вычисляются изгибающий момент и перерезывающая сила, возникающие в поперечном сечении балки при изгибе? Если мы используем первый вариант, то эти правила следующие: 1) перерезывающая сила численно равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на рассматриваемую нами часть балки; 2) изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов этих же сил относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Отметим, что изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникают и изгибающий момент, и перерезывающая сила, называется поперечным. Если же в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент, то изгиб называется чистым. Что происходит с продольными волокнами балки при изгибе? Над этим вопросом задумывались многие ученые. Так, например, Галилей считал, что при изгибе балки все ее волокна одинаково растягиваются. Знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (Leibnitz, 1646 – 1716 гг.) полагал, что крайние волокна, расположенные на вогнутой стороне балки, не изменяют своей длины, а удлинения всех остальных волокон возрастают пропорционально удалению от этих волокон. Однако многочисленные опыты, например, опыты Артура Жюля Морена (Morin, 1795 – 1880 гг.), проведенные в 40-х гг. XIX в., показали, что балка при изгибе деформируется таким образом, что часть ее волокон испытывает растяжение, а часть – сжатие. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, которые лишь искривляются, не испытывая при этом ни растяжения, ни сжатия. Эти волокна образуют так называемый нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной осью или нулевой линией. При изгибе балки ее поперечные сечения поворачиваются именно относительно нейтральной оси. Как проверяется прочность балки при изгибе и как подбираются размеры ее поперечного сечения? Проверка прочности балки осуществляется, как правило, только по наибольшим нормальным напряжениям. Эти напряжения, как мы уже знаем, возникают в крайних волокнах того поперечного сечения балки, в котором «действует» наибольший по абсолютному значению изгибающий момент . Его значение мы определяем по эпюре изгибающих моментов. При поперечном изгибе в балке наряду с нормальными напряжениями возникают и касательные напряжения, но они в подавляющем числе случаев невелики и при расчете на прочность учитываются, в основном, только для балок двутаврового профиля, о чем мы будем говорить особо. Условие прочности балки при изгибе по нормальным напряжениям имеет вид: где допускаемое напряжение [σ] принимается таким же, как и при растяжении (сжатии) стержня из такого же материала. Помимо проверки прочности, по формуле (1) может быть произведен и подбор размеров поперечного сечения балки. При заданном допускаемом напряжении [σ] и известном максимальном абсолютном значении изгибающего момента требуемый момент сопротивления балки при изгибе определяется из следующего неравенства: Необходимо иметь в виду следующее очень важное обстоятельство. При изменении положения поперечного сечения балки по отношению к действующей нагрузке ее прочность может существенно изменится, хотя площадь поперечного сечения F и останется прежней. Пусть, например, балка прямоугольного поперечного сечения с отношением сторон h/b=3 расположена по отношению к силовой плоскости таким образом, что ее высота h перпендикулярна к нейтральной оси x. В этом случае отношение моментов сопротивления балки при изгибе равно: То есть такая балка в три раза прочнее той же самой балки, но повернутой на 90°. Напомним, что в выражении для момента сопротивления балки прямоугольного поперечного сечения при изгибе в квадрате стоит тот ее размер, который перпендикулярен нейтральной оси. Следовательно, сечение балки необходимо располагать таким образом, чтобы силовая плоскость совпадала с той из главных центральных осей, относительно которой момент инерции минимален. Или, что то же самое, необходимо добиваться того, чтобы нейтральной осью являлась ось, относительно которой главный момент инерции поперечного сечения максимален. В этом случае говорят, что балка испытывает изгиб в плоскости наибольшей жесткости. Сказанное выше еще раз подчеркивает важность темы «Определение положения главных центральных осей инерции поперечного сечения стержня», к которой студенты относятся, как правило, поверхностно. Определив из условия прочности (1) требуемый момент сопротивления при изгибе , мы можем перейти к определению размеров и формы поперечного сечения балки. При этом нам необходимо стремиться к тому, чтобы вес балки оказался минимальным. При заданной длине балки ее вес пропорционален площади поперечного сечения F. Покажем, например, что квадратное поперечное сечение является более экономным, чем круглое. В случае квадратного поперечного сечения, как мы знаем, момент сопротивления при изгибе определяется по формуле Для круглого поперечного сечения он равен: Если предположить, что площади поперечных сечений квадрата и круга равны между собой, то сторона квадрата a может быть выражена через диаметр круга d: Тогда момент сопротивления балки квадратного поперечного сечения будет равен: Сравнивая полученное значение момента сопротивления с моментом сопротивления балки круглого поперечного сечения Wx=0,125Fd, приходим к выводу, что квадратное поперечное сечение при той же площади имеет больший момент сопротивления, чем круглое (почти на 18%). Следовательно, квадратное поперечное сечение является более экономичным по сравнению с круглым. Анализируя распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения балки (), легко прийти к заключению, что та часть материала, которая расположена вблизи нейтральной оси, почти не «работает» (это, в частности, и указывает на нерациональность круглого поперечного сечения по сравнению с квадратом). Для получения наибольшей экономии материала его нужно поместить как можно дальше от нейтральной оси. Наиболее благоприятный случай при заданной площади поперечного сечения F и высоте h получится при расположении каждой половины площади на расстоянии h/2 от нейтральной оси. Тогда момент инерции и момент сопротивления будут соответственно равны: Это тот предел, к которому можно приблизиться, применяя двутавровое поперечное сечение с наибольшим количеством материала в полках. Однако, вследствие необходимости выделить часть материала для стенки балки, полученное предельное значение для момента сопротивления недостижимо. Так, для прокатных балок двутаврового профиля: Для таких балок проверка прочности производится следующим образом: - в точках наиболее удаленных от нейтральной оси прочность двутавровой балки проверяется по формуле (1); - в точках, где полка соединяется со стенкой, то есть в тех точках, где велики и нормальные, и касательные напряжения, – по главным напряжениям: или же применяется одна из формул гипотез прочности; - в точках, расположенных на нейтральной оси, – по наибольшим касательным напряжениям: Чему равна потенциальная энергия деформации при изгибе? Потенциальная энергия деформации балки при поперечном изгибе определяется по следующей формуле где первый интеграл представляет собой потенциальную энергию сдвига, а второй – энергию чистого изгиба. Значение безразмерного коэффициента k, входящего в первое слагаемое выражения (2), зависит от формы поперечного сечения балки и вычисляется по формуле Например, для прямоугольного поперечного сечения k=1,2. Для большинства типов балок первое слагаемое в формуле (2) значительно меньше второго слагаемого. Поэтому при определении потенциальной энергии деформации при изгибе влиянием сдвига (первым слагаемым) часто пренебрегают.
Изгиб плоский	изгиб, при котором все силы, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).
Изгиб поперечный	такой вид нагружения бруса, при котором из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличными от нуля является изгибающий момент и поперечная сила. Нормальные напряжения: Закон Гука при изгибе: формула Навье: Максимальные напряжения: , где - момент сопротивления сечения при изгибе, . Касательные напряжения – формула Журавского: Для прямоугольного сечения: , для круглого сечения: , для любого сечения: . Главные напряжения при поперечном изгибе: Условие прочности по нормальным напряжениям условие прочности по касательным напряжениям Условия прочности по различным теориям прочности: I-я: ; II-я: (при коэфф.Пуассона =0,3); III-я: IV-я: теория Мора: Закон Гука при изгибе: Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки: уравнение углов поворота уравнение прогибов Дифференциальные зависимости при изгибе:
Изгиб прямой	Вид изгиба, при котором силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения (в противном случае имеет место косой изгиб). При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают. Силовой плоскостью называется плоскость, в которой действуют внешние нагрузки, а главной плоскостью – плоскость, которая проходит через продольную ось стержня z и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (например, через ось x или ось y).
Изгиб сложный	изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
Изгиб чистый	такой вид нагружения бруса, при котором из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент
Изгиб с кручением	Сочетание деформаций изгиба и кручения очень часто встречается в машиностроении. Например, коленчатый вал воспринимает значительные скручивающие моменты и, кроме того, работает на изгиб. Оси моторных вагонов электропоезда, а также трамвайного вагона работают на изгиб с кручением. Разберем на конкретном примере. Рассмотрим вал диаметра d (рис. 1), на который насажены зубчатое колесо диаметром d1 и шкив ременной передачи диаметром d2. Пусть на зубчатое колесо действуют окружная сила Pt и радиальная сила Pr, а на шкив – силы натяжения ветвей ремня P1 и P2. Рис.1. Изгиб с кручением Приведем все эти силы к оси вала. При параллельном переносе силы Pt добавляется скручивающий момент M1=Ptd1/2, а при переносе сил P1 и P2 – скручивающий момент M2=P1d2/2-P2d2/2. При равномерном вращении вала (то есть при ω=const) должно выполняться условие M1=M2, из которого следует, что Ptd1=(P1-P2)d2. Подшипники, на которые опирается вал, рассматриваются нами как пространственные шарнирные опоры. При расчете на изгиб с кручением считается, что касательные напряжения от кручения намного больше, чем касательные напряжения от изгиба. Поэтому последними напряжениями пренебрегают и соответственно отпадает необходимость в построении эпюр поперечных сил Qx и Qy. Таким образом, нам необходимо построить эпюру крутящих моментов Mz и две эпюры изгибающих моментов Mx и My. Ординаты эпюр изгибающих моментов откладывают в соответствующей плоскости изгиба вала со стороны сжатых волокон. Для вала постоянного сечения опасным является то сечение, где одновременно возникают наибольшие крутящий момент Mz и результирующий изгибающий момент В рассматриваемом нами примере опасным является либо поперечное сечение, расположенное чуть правее точки С, либо сечение, расположенное чуть левее точки D (в зависимости от того, какой из изгибающих моментов будет больше: или ). В поперечном сечении опасными являются те две точки опасного поперечного сечения, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба, и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения. Эти точки расположены вблизи контура поперечного сечения вала. Поскольку валы, как правило, изготавливают из пластичного материала обе эти точки равноопасны. Рассмотрим как записывается условие прочности при изгибе с кручением. Расчет прочности при изгибе с кручением производится по третьей или по четвертой (энергетической) гипотезам прочности. В упомянутых опасных точках имеет место плоское напряженное состояние. Эквивалентное напряжение по третьей гипотезе прочности определяется по формуле Тогда условие прочности по этой гипотезе принимает вид: где – эквивалентный момент по гипотезе наибольших касательных напряжений, а Если же расчет вала вести по четвертой (энергетической) гипотезе прочности, то придем к следующему условию: в котором – эквивалентный момент по четвертой (энергетической) гипотезе прочности. Вернемся теперь вновь к вопросу об определении опасного поперечного сечения вала. После введения понятия эквивалентного момента, мы можем сказать, что опасным является то сечение, в котором эквивалентный момент будет наибольшим. Момент сопротивления: Диаметр вала:
Изгиб кривых брусьев большой кривизны	радиус нейтрального слоя Для прямоугольного сечения высотой h, с наружным радиусом R2 и внутренним R1: При h/R<1/2: . При наличии N: . Условие прочности: y= –h2 или y= h1.
Изгибающий момент	пара внутренних сил, перпендикулярная к плоскости поперечного сечения. Изгибающие моменты равны сумме моментов внешних сил относительно осей y и x соответственно: . Изгибающие моменты вызывают изгиб элемента.
Изотропный материал	материал, свойства которого одинаковы по всем направлениям.
Инварианты напряженного состояния	Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояний:
Инварианты деформированного состояния	тензор деформаций:
Интенсивность распределенной нагрузки	распределенная нагрузка, действующая на единицу длины или площади.
Испытание материала на сжатие	Строительные материалы, такие как бетон и цемент, испытывают в основном на сжатие. Дерево испытывают на сжатие как вдоль, так и поперек волокон. Сталь испытывают на сжатие реже, чем на растяжение. Образцы для испытания на сжатие имеют, как правило, форму кругового цилиндра с отношением высоты образца к диаметру не более 3. Для стали марки Ст. 3 диаграмма сжатия вплоть до предела текучести полностью повторяет диаграмму растяжения, то есть . Различие начинает сказываться после наступления текучести. При этом площадка текучести при сжатии менее четко выражена, чем при растяжении. При больших деформациях различие становится особенно ощутимым, и в первую очередь из-за того, что сжатие сопровождается увеличением площади поперечного сечения образца, вследствие чего испытание требует постоянно возрастающей нагрузки. Следовательно, при сжатии пластичного материала получить такую характеристику, как предел прочности, не представляется возможным. Исследуемый образец, не претерпевая разрушения, расплющивается, и дальнейшее испытание ограничивается возможностями пресса. В расчетной практике предел прочности пластичного материала на сжатие условно принимается таким же, как и на растяжение. Диаграмма сжатия хрупкого материала по виду напоминает диаграмму растяжения, но предел прочности на сжатие, как правило, в несколько раз больше, чем на растяжение (). Разрушение образца при сжатии происходит обычно путем сдвига одной части относительно другой, происходящим примерно под углом 45° к оси образца. Наглядное представление о сравнительных механических характеристиках низкоуглеродистой стали и серого чугуна при растяжении и сжатии дают диаграммы, показанные на рис. 1. Рис.1. Сравнительные свойства низколегированной стали и серого чугуна при испытании на растяжение и сжатие: а – диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали; б – диаграмма растяжения серого чугуна; в – диаграмма сжатия низкоуглеродистой стали; г – диаграмма сжатия серого чугуна
Испытание материала на растяжение	Механические характеристики материала определяются в результате испытания образца на специальных прессах. Форма образца может быть различной. Как правило, это стержень с участком постоянного поперечного сечения (круглого или прямоугольного) длиной l0. Концы образца имеют специальные утолщения для их закрепления в испытательной машине. Перед началом испытания замеряется площадь поперечного сечения средней части образца F0. Значения растягивающей силы P и удлинения средней части образца ∆l в каждый момент нагружения определяются специальными устройствами. При испытании нагрузка увеличивается медленно и плавно. Современные испытательные машины снабжены записывающим прибором, который при испытании образца автоматически вычерчивает график зависимости между нагрузкой P и абсолютным удлинением ∆l. Такой график называется диаграммой растяжения. Идея построения такого графика была предложена Яковом Бернулли, поэтому он иногда называется диаграммой Бернулли. Рассмотрим, например, диаграмму растяжения образца, изготовленного из стали марки Ст.3 (рис.1). Заметим, что эта диаграмма характеризует поведение именно образца, а не материала, из которого он сделан. Рис.1. Диаграмма растяжения образца из стали марки Ст. 3 в осях P – ∆l В начальной стадии испытания, до точки А с ординатой Pпц (индекс «пц» – сокращение от слова пропорциональность), зависимость между силой P и удлинением ∆l носит линейный характер, то есть удлинение образца растет пропорционально росту внешней нагрузки. Этот факт свидетельствует о линейной деформируемости образца. Затем диаграмма искривляется и при некотором значении растягивающей силы Pт (индекс «т» – сокращение от слова текучесть) наблюдается значительный рост удлинения образца без увеличения нагрузки. Это явление называется текучестью. Практически горизонтальный участок диаграммы BC называется площадкой текучести, а точка B – критической точкой диаграммы. При некотором значении растягивающей силы Pт, соответствующем критической точке B, на поверхности образца, если он, например, полирован, мы заметим появление сначала нескольких полосок, параллельных между собой и расположенных под углом примерно 45° к оси образца. Далее появляется вторая система линий, пересекающая первую и наклоненную к оси под тем же углом, что и первая. Такая система сопряженных линий называется линиями Людерса – Чернова. Эти линии впервые были описаны в 1859 г. немецким металлургом В. Людерсом и независимо от него в 1884 г. русским металлургом Д.К. Черновым (1839 – 1921 гг.). Упомянутые линии представляют собой следы сдвигов частиц материала. Направления этих линий соответствуют площадкам, на которых при растяжении возникают наибольшие касательные напряжения. За точкой C удлинение образца начинает расти быстрее нагрузки. Число линий Людерса – Чернова растет, они сливаются друг с другом и теряют ясность своих очертаний. Этот участок диаграммы называется зоной упрочнения. В наивысшей точке диаграммы (в точке D) при силе равной Pmax=Pпч (индекс «пч» – сокращение от слова прочность) на образце внезапно появляется местное сужение – шейка, которая представляет собой результат накопления деформаций сдвига. Сопротивление образца растяжению, после образования шейки, падает, и его разрыв происходит в точке K при нагрузке Pp<Pпч (индекс «р» – сокращение от слова разрыв). При разрыве образца, как правило, появляется поперечная трещина в центре тяжести поперечного сечения (посредине шейки), а остальная часть сечения скалывается под углом 45° к оси образца так, что на одной части разорванного образца образуется выступ, а на другой – кратер. Линия разгрузки образца KL представляет собой прямую линию, параллельная участку ОА. Следовательно, полное удлинение образца в момент разрыва (в точке K) состоит из двух частей: упругого, исчезающего после снятия нагрузки, и остаточного, равного длине отрезка ОL. Для того чтобы исключить влияние абсолютных размеров образца, диаграмму, изображенную на рис. 1, перестраивают: ординаты делят на начальную площадь поперечного сечения F0, а абсциссы – на начальную расчетную длину образца l0. В результате получается так называемая условная диаграмма растяжения. Она строится в координатах εz-σz (рис. 2) и отличается от диаграммы Бернулли только масштабом. Рис. 2. Диаграмма растяжения образца из стали марки Ст. 3 в осях εz-σz Условной эта диаграмма называется потому, что напряжения и деформации вычисляются по первоначальным размерам образца. Справедливость такого подхода определяется только практическими соображениями. На условной диаграмме (см. рис. 2) отмечены следующие основные механические характеристики материала: - предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого выполняется закон Гука - предел текучести – напряжение, при котором материал «течет» - предел прочности – наибольшее напряжение, которое выдерживает материал без разрушения Например, для стали марки Ст. 3 упомянутые выше характеристики соответственно равны: σпц≈210 МПа, σт≈240 МПа, σпч≈400 МПа. Сталь марки Ст. 3. относится к так называемым пластичным материалам, которые имеют площадку текучести и разрушаются при больших остаточных деформациях. Необходимо, правда, отметить, что не для всех пластичных материалов площадка текучести имеет четко выраженный характер. Для таких материалов вводится понятие условного (или технического) предела текучести, представляющего собой напряжение, которое возникает в материале образца при относительном его удлинении, равном 0,2%. Иногда условный предел текучести обозначают σ0,2. Однако существуют и такие материалы, например чугун, которые характерны тем, что они вообще не имеют площадки текучести. Их разрушение происходит без образования шейки. Диаграмма сжатия для них обрывается сразу же после достижения предела прочности и при очень малых остаточных деформациях. Такие материалы называют хрупкими.
Испытание материалов на усталость	Наиболее распространенными являются испытания образцов на чистый изгиб при симметричном цикле, поскольку именно этот цикл напряжений является самым опасным для материала (вспомним пример с медной проволокой), а проведение этого эксперимента значительно проще, чем для других видов циклов. Для проведения такого эксперимента изготавливают партию из 6–10 совершенно одинаковых образцов, имеющих в пределах рабочей части строго круговую цилиндрическую форму. Диаметр образцов обычно составляет от 5 до 10 мм. Первый образец нагружают таким образом, чтобы возникающие в нем максимальные нормальные напряжения были заведомо ниже предела прочности материала (σmax≈0,7σпч), но выше предела выносливости. Для последующих образцов максимальное напряжение уменьшают. С помощью счетчика оборотов, имеющегося на испытательной машине, фиксируют число циклов нагружения, которое выдержит каждый образец до разрушения. По результатам испытаний строят график зависимости числа циклов N, которое выдерживает образец без разрушения, от максимального напряжения σmax, создаваемого в образце (рис. 1). Кривая σmax=f(N) называется кривой усталости или кривой Велера (по имени служащего немецких железных дорог Августа Велера (Wohler, 1819 – 1914 гг.), опубликовавшего в 1870 г. результаты своих экспериментов с образцами на усталость). Рис. 1. Кривая Велера Из рис. 1 видно, что по мере уменьшения напряжения σmax число циклов N начинает очень быстро расти, поэтому кривая усталости имеет значительную протяженность вдоль оси абсцисс. Для многих материалов эта кривая асимптотически приближается к некоторому значению максимального напряжения, начиная с которого образцы не проявляют никаких признаков разрушения. Поэтому при соответствующем числе циклов испытания можно прекратить. Практика проведения испытаний показывает, что образцы, выдержавшие без разрушения 10^7 циклов, могут при данном нагружении проработать неограниченное время. Поэтому продолжительность испытаний заранее оговаривается. Для того чтобы иметь наглядное представление о порядке указанного значения числа циклов, заметим, что ось железнодорожного вагона на пути от Москвы до Владивостока испытывает около 3×10^6 циклов. Предварительно задаваемая наибольшая продолжительность эксперимента на усталость называется базой испытаний N0. Еще раз напомним, что максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором до базы испытания не происходит усталостного разрушения, называется пределом выносливости. Кривые усталости для цветных материалов не имеют асимптоты, и их ординаты с ростом N падают до нуля. Для цветных материалов вводится понятие условного предела выносливости. За его значение принимается наибольшее напряжение, при котором образец выдерживает не менее 10^8 циклов.

К

Консоль	балка с одним защемленным и другим свободным концом или часть балки, продолжающаяся за опору.
Концентрация напряжений	повышение напряжений в местах изменения формы или нарушения сплошности материала
Координаты центра тяжести поперечного сечения стержня	Из формул следует, что статический момент площади фигуры относительно центральной оси (то есть оси, проходящей через центр тяжести фигуры) равен нулю. Сопоставляя и , мы легко получим формулы, позволяющие определить положение центра тяжести поперечного сечения стержня: Если площадь всей фигуры можно разбить на n простых частей, для которых известны и площадь Fi, и положение центра тяжести xi и yi, то вместо формул (1) мы получим (рис.1): Рис.1. Поперечное сечение стержня
Коэффициент асимметрии цикла	отношение минимального напряжения цикла к максимальному.
Коэффициент динамичности	или Динамический коэффициент, показывает во сколько раз воздействие динамической нагрузки на конструкцию будет больше, чем в случае приложения равной по величине статической нагрузки. Определим коэфиициент динамичности при поперечном ударе. Рассмотрим удар груза весом G, падающего с высоты h на некоторую упругую систему, например балку (рис. 1). Рис.1. Падение груза на балку Обозначим vд – динамический прогиб балки в месте падения груза. Работа, совершаемая падающим грузом, равна: Согласно принятому второму допущению, работа полностью переходит в потенциальную энергию деформации балки V. По теореме Клапейрона потенциальная энергия деформации равна половине произведения некоторой динамической силы Fд=vд/δ на соответствующее ей динамическое перемещение vд: Приравнивая выражения (1) и (2), а также учитывая, что статический прогиб балки в месте падения груза G, вызванный его статическим приложением, равен vст=δG, после несложных преобразований получим следующее квадратное уравнение относительно динамического прогиба балки: Отсюда Легко убедиться, что второй корень квадратного уравнения (3) имеет отрицательное значение vд, и поэтому он нас не интересует. Динамический прогиб балки в месте падения груза можно представить в виде: где kд – коэффициент динамичности. Тогда Принятое нами допущение о линейной зависимости между внешней силой и перемещением позволяет сделать вывод о том, что динамические напряжения в балке от действия ударной нагрузки во столько же раз больше напряжений, которые возникли бы в ней при статическом приложении такой же нагрузки, во сколько раз динамический прогиб больше статического, поэтому: В частном случае, когда высота падения h=0, то есть в случае внезапного приложения нагрузки, kд=2. Из формулы (4) следует, что для уменьшения коэффициента динамичности необходимо увеличить vст. Поэтому для смягчения удара применяют пружинные и резиновые прокладки, допускающие большие деформации.
Коэффициент запаса прочности	показывает во сколько раз необходимо снизить уровень напряжений в конструкции, считая от предела текучести или предела временного сопротивления, что бы при ее эксплуатации не допустить разрушения изделия. Призван компенсировать недостатки расчетных методик, рассеяния свойств материала, неучтенные факторы условий эксплуатации и т.п.
Коэффициент запаса прочности при сложном напряженном состоянии	число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или s1, s2, s3), чтобы данное напряженное состояние стало предельным.
Коэффициент Пуассона	Пусть в результате деформации первоначальная длина стержня l станет равной l1. Изменение длины ∆l=l1-l называется абсолютным удлинением стержня. Оно измеряется в единицах длины, например, в сантиметрах (см). Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией. Эта безразмерная величина обозначается εz (эпсилон) и вычисляется по формуле При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной. Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации в направлении осей x и y равны между собой: Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Абсолютная величина этого отношения называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона – по имени французского ученого Симеона Дени Пуассона (Poisson, 1781–1840 гг.). Коэффициент Пуассона μ также как и модуль Юнга Е характеризует упругие свойства материала. Для изотропных материалов коэффициент Пуассона находится в пределах от 0 до 0,5 (пробка μ=0; сталь μ=0,3; каучук μ=0,5). Коэффициент Пуассона не может принимать значение большее, чем 0,5. Докажем это. Определим изменение объема стержня, имеющего, например, прямоугольное поперечное сечение с размерами b и h, при его растяжении. Длина стержня l увеличится и станет равной Поперечные размеры b и h уменьшатся: Площадь поперечного сечения после деформации будет равна: Учитывая, что деформация εz мала и пренебрегая величиной по сравнению с единицей, получим: Тогда объем стержня после деформации определится по формуле Трудно себе представить, что при растяжении объем стержня уменьшится. Тогда из условия найдем, что 1-2μ≥1. Или, окончательно, μ≤0,5.
Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба)	показывает во сколько раз отличаются напряжения в продольно сжатом стержне при потере им устойчивости от случая простого сжатия.
Кривая усталости (кривая Веллера)	Кривая усталости (рис.) строится на основании результатов усталостных испытаний при симметричном цикле. Кривая усталости показывает, что с увеличением числа цикла максимальное напряжение, при котором происходит разрушение материала, значительно уменьшается. При этом для многих материалов, например углеродистой стали, можно установить такое наибольшее напряжение цикла, при котором образец не разрушается после любого числа циклов (горизонтальный участок диаграммы), называемое пределом выносливости ().
Критическая сила	Нагрузка Fкр, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. С момента наступления критического состояния до момента разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и практически нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете на прочность. При этом условие устойчивости можно записать в следующем виде При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Рассматриваемый метод решения основан на том, что при достижении силой F критического состояния (F=Fкр) стержень находится в безразличном состоянии и ему присущи две формы равновесия: прямолинейная и криволинейная (в таких случаях говорят, что происходит ветвление, или бифуркация, равновесных состояний). Для выявления криволинейной формы равновесия достаточно приложить к стержню малую поперечную возмущающую нагрузку Q, которая вызовет малый прогиб. Если F < Fкр, то при удалении Q стержень будет сохранять прямолинейную форму равновесия. Если F > Fкр, то равновесие стержня становится неустойчивым и сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Критическое напряжение	напряжения, соответствующее критической силе при потере устойчивости сжатого стержня Вспомним, что – квадрат минимального радиуса инерции. Тогда формулу можно записать так:
Круговая частота	представляет собой число колебаний в 2π секунд.
Крутящий момент	пара внутренних сил, лежащая в плоскости поперечного сечения. Крутящий момент в поперечном сечении равен сумме моментов всех внешних сил по одну сторону от сечения, взятых относительно центральной оси стержня. Крутящий момент вызывает кручение элемента.
Кручение	Мысленно заделаем, например, левый конец стержня круглого поперечного сечения в стену и приложим к его правому свободному концу внешний момент, вращающий относительно оси стержня z. Этот внешний момент мы будем называть скручивающим моментом и обозначать его Mскр. Такая внешняя нагрузка вызовет в стержне деформацию кручения, которая характеризуется тем, что одно поперечное сечение поворачивается на некоторый угол относительно другого сечения. Если угол поворота мал, то можно предположить, что расстояние между этими сечениями останется прежним. В поперечных сечениях стержня, при такой деформации, возникнет только одно внутреннее усилие – крутящий момент, который мы будем обозначать Mz. Угол, на который повернется нагруженное крайнее правое поперечное сечение стержня относительно неподвижного левого сечения, называется углом закручивания стержня и обозначается буквой φ. Кручение - вид нагружения бруса, при котором из шести составляющих главного вектора и главного момента внутренних сил от нуля отличается только крутящий момент. Круглый стержень, испытывающий деформацию кручения, принято называть валом. Кручение элементов конструкции и деталей машин встречается очень часто. Одним из наиболее характерных случаев является кручение вала машины. На кручение работают оси локомотивов, стержень винтовой цилиндрической пружины и т. д. Скручивающий момент вычисляется по следующей формуле где – скручивающий момент, Н∙м.; N – мощность, Вт; ω – угловая частота вращения вала, рад/c. Если ω измеряется в оборотах в минуту, то формула (1) принимает вид: Допущения положенные в основу теории кручения круглых стержней. Считается, что при малых углах закручивания вала: - поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси вала и после деформации (это допущение принято называть гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли); - радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины; - длина вала в результате закручивания также не изменяется. Таким образом, поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск, и тогда деформацию кручения можно рассматривать как результат сдвига одного поперечного сечения относительно другого. Следовательно, в точках поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения. Теория кручения, основанная на перечисленных выше допущениях, хорошо подтверждается многочисленными опытными данными. Одним из первых исследователей, экспериментально изучавших кручение круглых стержней, был французский ученый Шарль Огюстен Кулон (Coulomb, 1736 – 1806 гг.). Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения. Упомянутые допущения, сформулированные для круглого вала, не могут быть приняты для стержня прямоугольного поперечного сечения. При кручении такого стержня отдельные точки поперечного сечения перемещаются вдоль его оси. И поэтому все сечение, в целом, перестает быть плоским (оно коробится). Происходит так называемая депланация поперечного сечения стержня. Эта задача является значительно более сложной по сравнению со случаем кручения стержня круглого поперечного сечения и методами сопротивления материалов она не может быть решена. Зависимость между углом сдвига и относительным углом закручивания. Рассмотрим часть вала длиной dz. Предположим, что правое поперечное сечение вала провернулось на угол dφ относительно левого сечения. Для произвольного продольного волокна, отстоящего от оси вала на расстоянии ρ, возникнет абсолютный сдвиг, равный ρdφ (рис. 1). Рис.1. Кручение Тогда угол сдвига Входящая в формулу (2) величина называется относительным углом закручивания. Таким образом, между углом сдвига и относительным углом закручивания существует следующая зависимость: Закон Гука при кручении. Так же, как и при сдвиге: или, с учетом зависимости (3), то есть, касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения вала, отстоящей от центра тяжести сечения на расстоянии ρ, пропорциональны относительному углу закручивания. При этом в точках, равноудаленных от центра тяжести поперечного сечения, численные значения касательных напряжений одинаковы. Из формулы (4) следует, что касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении вала при кручении, изменяются по линейному закону (пропорционально ρ – расстоянию от точки, в которой мы вычисляем напряжения, до центра тяжести). Они равны нулю в центре вала и достигают максимального значения τmax в точках контура поперечного сечения (рис. 2). Рис.2. Касательные напряжения при кручении Из рис. 2 видно, что средняя часть поперечного сечения вала практически не участвует в сопротивлении кручению. В связи с этим на практике находят широкое применение полые валы. Такие валы, при той же площади поперечного сечения F, могут воспринять больший скручивающий момент. Выражение крутящего момента через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении вала. При повороте поперечного сечения каждая его точка (кроме, разумеется, точки, лежащей на оси вала) перемещается по некоторой дуге окружности радиуса ρ. Поэтому направление касательного напряжения, возникающего в этой точке, должно быть перпендикулярно к радиусу ρ, проведенному в эту точку. Элементарная внутренняя сила, возникающая на площадке dF (см. рис.2), равна , а ее момент относительно оси z (или центра тяжести поперечного сечения вала): Суммируя эти элементарные моменты по всей площади, получим выражение для крутящего момента, возникающего в поперечном сечении вала: Зависимость между относительным углом закручивания и крутящим моментом. Подставив выражение (4) в формулу (5), найдем: С учетом того, что интеграл в выражении (6) представляет собой полярный момент инерции поперечного сечения Iρ, получим следующую форму записи закона Гука при кручении, но уже не для материала, а для стержня: Который читается следующим образом: крутящий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, пропорционален относительному углу закручивания. Напомним, что для стержня круглого поперечного сечения Тогда относительный угол закручивания равен: Из формулы (7) следует, что произведение GIρ характеризует жесткость стержня при кручении. Напомним, что модуль сдвига G характеризует жесткость материала при сдвиге (кручении), а полярный момент инерции Iρ является мерой сопротивления вращению поперечного сечения относительно оси стержня. Вычисление касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения вала. Наибольшие касательные напряжения при кручении. Подставив выражение (7) в формулу (4), получим: Формула (8) позволяет вычислить касательное напряжение в любой точке поперечного сечения вала. Наибольшие касательные напряжения τmax возникают в точках контура поперечного сечения при ρ=d/2=r. Они равны: Введя обозначение , окончательно получим: Величина Wρ называется моментом сопротивления при кручении (или полярным моментом сопротивления) и является геометрической характеристикой поперечного сечения вала. Момент сопротивления при кручении определяет способность вала сопротивляться кручению. Он измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см^3). Заметим, что буквенное обозначение W, выбранное для обозначения момента сопротивления при кручении, очень похоже на перевернутую букву M, что способствует лучшему запоминанию формулы (9). Для стержня круглого поперечного сечения: Для полого вала, имеющего внутренний диаметр d и внешний – D, полярный момент сопротивления равен: где α=d/D. Условие прочности при кручении. Прочность вала считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых касательных напряжений при кручении: Формула (11) служит для проверочного расчета вала на прочность. Заметим, что незначительное превышение расчетного напряжения τmax над допускаемым напряжением [τ]k разрешается (не более 5%). При проектировочном расчете требуемый полярный момент сопротивления определяется по следующей формуле, вытекающей из условия прочности (11): Отсюда легко можно найти требуемый диаметр вала. Например, для вала сплошного поперечного сечения, используя (10), получим: Для вала постоянного диаметра опасным является сечение, в котором возникает наибольший крутящий момент Mzmax. Если же вал имеет переменное по длине поперечное сечение, то может оказаться, что наибольшие касательные напряжения возникают не там, где крутящий момент максимален. Следовательно, в этом случае вопрос об опасном сечении должен быть исследован дополнительно. Допускаемое напряжение [τ]k для пластичных материалов назначается в зависимости от их предела текучести τm при кручении (сдвиге): Для хрупких материалов – в зависимости от предела прочности τпч: Вычисление угла закручивания вала. Из (7) следует, что угол закручивания вала определяется по формуле Если диаметр d постоянен по длине вала l и крутящий момент Mz имеет во всех поперечных сечениях одинаковое значение, то Условие жесткости при кручении. За меру жесткости при кручении принимается относительный угол закручивания вала θ. Условие жесткости имеет вид: где [θ] – значение допускаемого относительного угла закручивания, рад/м, которое зависит от назначения вала и условий его работы. Если [θ] задано в град/м, то преобразовывать формулу (13) не следует. Проще просто перевести [θ] в рад/м, учитывая, что 1 рад ≈ 57,3 град. Неравенство (13) позволяет определить требуемый диаметр вала из условия жесткости. Так, для сплошного вала мы получим Напомним, что вал должен удовлетворять и условию прочности, и условию жесткости. Поэтому из двух значений диаметра, найденных нами по формулам (12) и (14), мы должны взять наибольшее значение. Потенциальная энергия деформации при кручении вала. При кручении, как и при других видах деформации стержня, работа внешней силы (скручивающего момента) расходуется на создание в деформируемом теле определенного запаса энергии (потенциальной энергии деформации), которая определяется по формуле:

Л

Линия балки упругая

Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии).

М

Малоцикловая усталость	усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит при упруго-пластическом деформировании. Условно принимают, что при N<50000 циклов имеет место малоцикловая усталость.
Массивное тело	тело, все три измерения которого мало отличаются друг от друга.
Материал идеально упругий	материал, который полностью восстанавливает свою форму и размеры после снятия нагрузки независимо от величин нагрузок и температуры тела.
Материал изотропный	материал, свойства которого во всех направлениях одинаковы.
Материал однородный	материал, свойства которого во всех точках одинаковы.
Метод сечений	Метод сечений позволяет определить внутренние силы (точнее говоря, внутренние силовые факторы), которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки. Рассмотрим, например, идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1, а). Рис.1 Мысленно выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю. Приложим теперь к стержню растягивающую силу P (рис. 1, б). Пусть в результате деформации стержня частица K перейдет в положение K1, а частица L – в положение L1. Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называется силой упругости или внутренней силой. Она, как уже отмечалось, может быть найдена методом сечений. Метод сечений подразделяется на четыре этапа. Для лучшего запоминания формулировки метода и его четырех этапов иногда вводится аббревиатура РОЗУ, представляющая начальные буквы наименований соответствующих этапов: разрежем, отбросим, заменим, уравновесим. Мысленно разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы Pi (рис. 2, а), на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z. Рис.2 Напомним, что реакции связей также относятся к внешним силам, поэтому среди сил, показанных на рис. 2, могут быть как активные, так и реактивные силы. Отбросим одну из частей стержня, например, переднюю и рассмотрим оставленную нами часть. Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые возникли между этими частицами вследствие деформации тела. Иными словами, действие отброшенной передней части стержня вместе с приложенными к ней внешними силами мы заменим внутренними силами (рис. 2, б). Эти внутренние силы оказывают противодействие внешней нагрузке, приложенной к оставленной части тела. Бесконечную систему внутренних сил по правилам теоретической механики с помощью известной теоремы Пуансо (1804 г.) можно привести к одной точке – к центру тяжести поперечного сечения. В результате мы получим главный вектор R и главный момент M (рис. 2, в). Разложим их на составляющие по осям x, y и z. Заметим, что оси x и y представляют собой главные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения. В итоге мы получим шесть внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы N, Qx, Qy (рис. 2, г) и три момента Mx, My, Mz (рис. 2, д). Сила N называется продольной силой, Qx, Qy – поперечными (или перерезывающими) силами, момент относительно оси z Mz – крутящим моментом, моменты относительно осей x, y Mx, My – изгибающими моментами. Необходимо отметить, что внутренние силовые факторы – векторные величины, составляющие главного вектора R и главного момента M по осям координат. Поэтому ошибочно говорить, например, что продольная сила N является проекцией главного вектора R на ось стержня, поскольку проекция вектора – это скалярная, а не векторная величина. Как мы уже отмечали выше, разрушение тела не произойдет только в том случае, если эти шесть внутренних усилий сумеют уравновесить внешнюю нагрузку, действующую на рассматриваемую нами часть стержня. Поэтому уравновесим оставленную нами часть стержня. Записываем уравнения равновесия: ΣX=0; ΣY=0; ΣZ=0; ΣMx=0; ΣMy=0; ΣMz=0. Из этих уравнений и определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня. При этом оказывается, что: - продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z; - поперечные силы Qx, Qy равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y соответственно; - крутящий момент Mz равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z; - изгибающие моменты Mx, My равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y соответственно.
Метод Мора	Рассмотрим балку, изображенную на рис. 1, а. Рис. 1. Определение перемещений балки методом Мора Эту балку будем называть заданной. Обозначим MxP и QyP, соответственно, изгибающий момент и перерезывающую силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки ∆КР в точке K. Введем в рассмотрение вспомогательную балку, представляющую собой ту же самую балку. Нагрузим ее только одной силой (рис. 1, б). Эту единичную силу мы приложим в точке K, то есть в той самой точке, где мы и собираемся определить прогиб. Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и . Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки, равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием перерезывающей силы, то есть второе слагаемое в (1) можно отбросить. Тогда, учитывая, что , окончательно получим: Эту формулу в 1874 г. получил Мор. Определение перемещений по этой формуле часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу – интегралом Мора. Необходимо иметь в виду, что входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z. Заметим, что если мы хотим в некоторой точке K определить угол поворота поперечного сечения θкр, то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 1, в). Приведем порядок вычисления перемещений балки методом Мора: 1) к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие (при определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ); 2) для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной MxP и вспомогательной балок; 3) вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам; 4) если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия (отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия). Пусть, например, для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости EIx=const, длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис.2, а), требуется определить прогиб посредине пролета f и угол поворота на левой опоре θA. Начнем с определения прогиба. В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис.2, б). Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков (0≤z1≤l/2; 0≤z2≤l/2) заданной и вспомогательной балок: Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим: Переходим к определению угла поворота поперечного сечения балки на левой опоре. Рис.2. Определение прогиба и угла поворота методом Мора Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 2, в). Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка (0≤z≤l): Тогда интеграл Мора будет иметь вид: Полученный нами положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .
Метод сил	Наиболее распространенный (но не единственный) метод раскрытия статической неопределимости Канонические уравнения метода сил: . . . . . . . . . . . . ; ; . коэффициенты находят по способу Верещагина:
Метод начальных параметров	интегрируем:
Механическое состояние материала	поведение материала под действием механической нагрузки. Применительно к центральному растяжению образца из мягкой стали различают, например, следующие механические состояния материала: упругости, общей текучести, упрочнения, местной текучести и разрушения.
Механические свойства	характеристики материала, описывающие его поведение при внешних силовых воздействиях.
Минимальное напряжение цикла	наименьшее по алгебраическому значению напряжение цикла.
Многоцикловая усталость	усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит в основном при упругом деформировании. Условно принимают, что при N>50000 циклов имеет место многоцикловая усталость.
Модуль продольной упругости, Модуль упругости первого рода, Модуль Юнга	Коэффициент пропорциональности E, стоящий в формуле σ=Eε, называется модулем продольной упругости или модулем Юнга – по имени английского ученого Томаса Юнга (Iounge, 1773–1829 гг.). Его значение для данного материала может быть установлено только опытным путем. В справочниках обычно приводится среднее значение модуля Юнга. Иногда модуль Юнга называют и «модулем упругости первого рода». Из формулы σ=Eε видно, что чем больше модуль Юнга, тем меньше (при том же значении напряжения) деформация материала. Следовательно, модуль продольной упругости характеризует жесткость материала при растяжении (сжатии). Из этой же формулы видно, что модуль Юнга измеряется в тех же единицах, что и нормальное напряжение σ. Так, например, для всех марок сталей E=2∙10^5 МПа, для алюминиевых сплавов E=0,7∙10^5 МПа, для пленки скорлупы яйца E=8 МПа, а для алмаза E=12∙10^5 МПа. К сожалению, само название – модуль продольной упругости – провоцирует иногда студента на неверное истолкование его физического смысла. Так, на вопрос о том, что он характеризует, зачастую можно услышать следующий неверный ответ: «Модуль Юнга характеризует упругость материала. Поэтому, чем он больше, тем больше упругость материала». Напомним, что упругость – это способность восстанавливать первоначальные размеры и форму после снятия внешней нагрузки. Следовательно, к упругости, в этом смысле слова, модуль Юнга не имеет никакого отношения. Закон Гука, в котором фигурирует модуль продольной упругости E, говорит нам о том, что напряжение пропорционально деформации только в пределах упругих деформаций. И именно в том смысле следует понимать слово «упругость» в упомянутом термине.
Модуль Сдвига, Модуль упругости второго рода	Величина, характеризующая упругие свойства материала при чистом сдвиге. В случае малых деформаций, когда справедлив закон Гука, т.е. имеет место линейная зависимость между касательными напряжениями и сдвиговыми деформациями, модуль упругости представляет собой коэффициент пропорциональности между этими соотношениями.
Момент инерции осевой, полярный, центробежный	Осевым моментом инерции площади фигуры называется интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Так, моменты инерции произвольной фигуры (см. рис. 1) относительно осей x и y соответственно равны: Рис.1. Поперечное сечение стержня Полярным моментом инерции площади фигуры относительно данной точки (полюса) называется интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса: Если через полюс проходят две взаимно перпендикулярные оси x и y, то . И тогда Из формул (1) и (2) видно, что значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, поскольку координаты x, y и расстояние ρ входят в них в квадрате. Центробежным моментом инерции площади фигуры называется интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y: Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см^4). Понятие о моменте инерции впервые ввел в науку в 1673 г. французский ученый Христиан Гюйгенс (Huygens, 1629–1695 гг.).
Моменты инерции собственные, переносные, главные центральные	Осевые и центробежный моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести поперечного сечения стержня, иногда называются собственными моментами инерции. По какой формуле вычисляются моменты инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной? Какие моменты инерции называются переносными? Пусть две взаимно перпендикулярные оси x и y проходят через центр тяжести C поперечного сечения стержня. Проведем другие оси координат x’ и y’, параллельные осям x и y. Обозначим a и b координаты центра тяжести С в новых осях x’ и y’ (рис.1, а). Рис. 1. Параллельный перенос и поворот координатных осей Тогда осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно новых осей x’ и y’ будут определяться по следующим формулам: Очень часто эти формулы необоснованно приписывают немецкому ученому Якобу Штейнеру (Steiner, 1796–1863 гг.). Однако на самом деле они были доказаны еще в 1749 г. Эйлером. Первые слагаемые в формулах (1) ранее нами были названы собственными моментами инерции. Вторые слагаемые в этих формулах называются переносными моментами инерции. Отметим, что координаты a и b подставляются в формулы (1) с учетом их знаков, что является крайне важным, в частности, для третьей из этих формул. Как изменяются собственные моменты инерции при повороте координатных осей? Пусть нам известны собственные моменты инерции Ix, Iy и Ixy относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, проходящих через центр тяжести C поперечного сечения стержня. Проведем через точку C другие оси x’ и y’, повернутые относительно осей x и y на угол α (рис. 1, б). Будем считать этот угол положительным, если поворот осей происходит против хода часовой стрелки. Можно показать, что моменты инерции поперечного сечения относительно новых осей x’ и y’ будут определяться по формулам: Из формул (2) видно, что Следовательно, сумма собственных осевых моментов инерции поперечного сечения является величиной постоянной, то есть она не изменяется при повороте координатных осей. Из этих же формул (2) можно получить следующую важную зависимость: Как уже отмечалось выше, две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями инерции. Тогда при из третьей формулы (2) после несложных преобразований можно определить направления этих осей: Из полученного выражения (5) мы найдем два значения угла α0, которые отличаются друг от друга на угол 90°. Они и определяют положение двух главных центральных осей инерции. Какие собственные осевые моменты инерции называются главными центральными моментами инерции? При повороте центральных осей и приближении их к главным центральным осям больший из собственных осевых моментов инерции становится еще больше, стремясь к своему максимальному значению Imax, а меньший – еще меньше, приближаясь к минимальному значению Imin. Моменты инерции фигуры относительно главных центральных осей Imax и Imin называются главными центральными моментами инерции. Они могут быть вычислены по следующим формулам, вытекающим из соотношений (2) и (4): Из (6) легко получить следующее условие, аналогичное (3): Как для сложной фигуры определить, какая из главных центральных осей является осью максимум, то есть той осью, относительно которой осевой момент инерции принимает наибольшее значение Imax? По определению осевой момент инерции равен интегралу произведений элементарных площадей на квадрат их расстояний до соответствующей оси. Поэтому чем больше элементарные площади удалены от оси и чем больше таких площадей, тем больше и осевой момент инерции. Чему равны главные центральные моменты инерции простейших фигур: прямоугольника и круга? Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 2, а) оси x и y являются главными центральными осями, поскольку они проходят через центр тяжести фигуры и являются осями симметрии. Рис. 2. Прямоугольное и круглое поперечные сечения стержня Главные моменты инерции прямоугольника равны: Необходимо запомнить, что размер стороны, параллельной рассматриваемой оси, входит в выражение для главного момента инерции прямоугольника в первой степени, а размер стороны, перпендикулярной к оси, – в третьей степени. Для круглого поперечного сечения любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, являются главными центральными осями (рис. 2, б). Очевидно также, что для круга Imax=Imin. Если d – диаметр круга, то Учитывая, что Iρ=Ix+Iy, можно легко получить следующую формулу для полярного момента инерции стержня круглого поперечного сечения:
Момент сопротивления осевой	В том случае, когда поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, нормальные напряжения в точках, наиболее удаленных от нее (при |y|=h/2), определяются по формуле Геометрическую характеристику поперечного сечения балки, равную и называют осевым моментом сопротивления при изгибе. Он измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см^3). Тогда наибольшие нормальные напряжения равны Заметим, что формула (1) по внешнему виду напоминает формулу для наибольших касательных напряжений при кручении стержня. И здесь буквенное обозначение W, выбранное для обозначения осевого момента сопротивления при изгибе, очень похоже на перевернутую букву M, что также способствует лучшему запоминанию очень важной формулы (1). Чему равны моменты сопротивления при изгибе для балок прямоугольного и круглого поперечных сечений? Рис. 1. Прямоугольное и круглое поперечные сечения стержня Для прямоугольного поперечного сечения (см. рис. 1) момент сопротивления при изгибе относительно нейтральной оси x равен: Из этой формулы видно, что при той же самой площади поперечного сечения балки ее момент сопротивления существенно возрастает с увеличением высоты балки h. Если балка имеет квадратное поперечное сечение со стороной a, то В случае круглого поперечного сечения балки момент сопротивления при изгибе равен Заметим, что для катанных профилей, таких, например, как швеллер, двутавр и уголок, значения моментов сопротивления балки при изгибе (а также другие геометрические характеристики) определяются по сортаментам, которые приводятся в приложениях практически к каждому учебнику по сопротивлению материалов.
Мора круги	графический способ определения напряжений на наклонных или главных площадках.

Н

Нагрузка	совокупность активных внешних сил, действующих на рассматриваемое тело.
Нагрузка погонная	При расчете балок часто приходится сталкиваться с погонной нагрузкой. Так называется нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки. Ее интенсивность, как правило, обозначается буквой q. Как уже отмечалось в первой беседе, единицы погонной нагрузки – ньютон на метр, килоньютон на метр (Н/м, кН/м) или килограмм силы на метр, килограмм силы на сантиметр (кгс/см, кгс/м) и т. д. Определение значения погонной нагрузки, действующей на балку, рассмотрим на следующем примере. Пусть, например, помещение комнаты представляет собой в плане прямоугольник со сторонами 9 и 5 м. Пять балок пола уложены параллельно меньшей из сторон прямоугольника через 1,5 м и оперты концами на стены. Пусть давление на пол p=4 кН/м^2 кН/м^2. Подсчитаем интенсивность погонной нагрузки q, приходящуюся на одну балку. Будем предполагать, что давление p и соответственно нагрузка на площадь, расположенную между двумя смежными балками, распределяется поровну между этими балками. Следовательно, ширина полосы, с которой давление «собирается» на одну балку с двух сторон, будет равна b=1,5 м. Тогда погонная нагрузка q=pb=4×1,5=6 кН/м.
Наклеп материала	повышение прочности и уменьшение пластичности материала вследствие предварительной нагрузки выше предела текучести.
Напряжения	Очевидно, что в общем случае нагружения внутренние силы в стержне распределены и по его длине, и по его поперечному сечению неравномерно. Для суждения об интенсивности внутренних сил, возникающих, например, в некоторой точке поперечного сечения стержня, вводится понятие о напряжении в этой точке. Это понятие является ключевым понятием в сопротивлении материалов. Напряжением в точке тела K (обозначим его буквой p) называется интенсивность внутренней силы dR, возникающей на бесконечно малой площадке dF в окрестности данной точки (рис. 1, а). В количественном выражении напряжение, возникающее в точке тела на площадке dF, равно: p=dR/dF. Заметим, что приведенное выражение, конечно же, неправомерно рассматривать как процедуру дифференцирования, при которой роль аргумента играет площадь поперечного сечения. Рис. 1. Напряжение в точке тела поперечного сечения Понятие о напряжении в точке твердого тела в некотором смысле напоминает понятие о давлении, которое действует, например, внутри жидкости. В технике под термином «давление» понимают величину, численно равную силе, действующей на единицу поверхности. Однако, хотя эти два понятия и сопоставимы, необходимо отметить следующее. Согласно закону Блеза Паскаля (Paskal, 1623 – 1662 гг.), давление в точке жидкости одинаково во всех направлениях. Если же мы проведем через точку K твердого тела другое сечение, то в новый разрез попадет другая пружинка и иной в общем случае будет и внутренняя сила. Следовательно, иным будет и напряжение, хотя оно и возникает в той же самой точке K. Таким образом, при произвольном приложении внешней нагрузки напряжения, возникающие в некоторой точке тела на разных площадках, проходящих через данную точку, отличаются друг от друга. Понятие о напряжении в точке деформируемого твердого тела ввел в 1822 г. французский ученый Огюстен Луи Коши (Cauchy, 1789 – 1857 гг.). Основную роль в расчетах прочности конструкций играет не полное напряжение p, а его составляющие на оси координат x, y и z: нормальное напряжение (σz – сигма), направленное по перпендикуляру к площадке (параллельно оси z), и касательные напряжения (τzx, τzy), лежащие в плоскости сечения и направленные соответственно вдоль осей x и y (рис. 1, б). Первый индекс z у касательных напряжений τzx, τzy характеризует нормаль к площадке, на которой они возникают. Заметим, что иногда касательные напряжения называются тангенциальными напряжениями (от латинского слова tangens – касающийся) или скалывающими. Между полным p, нормальным σz и касательными напряжениями τzx и τzy существует следующая очевидная зависимость: Отметим, что касательные напряжения служат мерой тенденции одной части сечения смещаться относительно другой его части. Единица измерения нормальных и касательных напряжений в системе СИ – паскаль (Па). Один паскаль – это напряжение, при котором на площадке в один квадратный метр возникает внутренняя сила, равная одному ньютону (то есть равная приблизительно весу одного яблока). Как мы увидим в дальнейшем, эта единица напряжения очень мала. В сопротивлении материалов чаще используются другие единицы: 1 МПа = 10^6Па; 1 кН/см^2 ≈10^7Па = 10 МПа. В технической системе единиц напряжения, как правило, измеряются в килограммах силы на миллиметр (или сантиметр) в квадрате (кгс/мм^2 или кгс/см^2) . Следует запомнить, что 1 кгс/мм^2≈1 кН/см^2 = 10 МПа. Необходимо отметить следующее. Ведя речь о напряжениях или о внутренних силовых факторах, мы не рекомендуем говорить, что они действуют в поперечном (или в некотором другом) сечении стержня, как поступают авторы некоторых учебниках по сопротивлению материалов. Правильнее говорить, что они возникают в рассматриваемом сечении стержня, поскольку при деформировании стержня и напряжения, и внутренние силовые факторы противодействуют внешней нагрузке, то есть они не играют активной роли. В крайнем случае слово «действуют» следует употреблять, заключая его в кавычки. Наконец, еще раз подчеркнем, что нельзя говорить о напряжении в данной точке тела, не указывая положения площадки, на которой оно возникает.
Напряжения и площадки главные	По каким формулам вычисляются нормальные и касательные напряжения, возникающие на наклонных площадках, проходящих через рассматриваемую точку? При изучении плоского напряженного состояния (НС) мы будем рассматривать только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны граням параллелепипеда, на которых отсутствуют нормальные и касательные напряжения (рис. 1). Рис. 1. Напряжения на наклонной площадке, проходящей через точку К Наклон площадки будем определять углом α, который образует внешняя нормаль z’ к этой площадке с осью z. Угол 𝛼 считается положительным, если он отсчитывается от оси z против хода часовой стрелки. Тогда нормальные и касательные напряжения, возникающие на наклонной площадке, проходящей через точку К, определяются соответственно по следующим формулам: Формулы (1) позволяют нам фактически определять напряжения, возникающие на любой площадке, проходящей через заданную точку. Таким образом, плоское НС в точке тела определено, если нам известны (заданы) напряжения, возникающие на двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку тела. Из формул (1) видно, что нормальные и касательные напряжения являются непрерывными функциями угла α и, следовательно, могут иметь экстремальные значения: максимумы и минимумы. Найдем угол наклона площадки , при котором нормальное напряжение принимает экстремальное значение. Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю: Тогда Из формулы (3) мы найдем два угла и , которые и определяют положение двух взаимно перпендикулярных площадок, на которых возникают экстремальные в рассматриваемой точке К нормальные напряжения σmax и σmin (рис.2). Рис.2. Главные площадки и главные напряжения Необходимо отметить, что σmax всегда направлено в ту сторону, где сходятся касательные напряжения 𝜏zy=𝜏yz. Объяснение этого правила следует из рассмотрения рис. 3. Рис. 3. Деформация элемента под «действием» касательных напряжений Видно, что касательные напряжения «создают» дополнительное удлинение одной из диагоналей. Заметим, что формула (3) внешне напоминает формулу , по которой определяется положение главных центральных осей инерции. Чему равны касательные напряжения на площадках, на которых возникают экстремальные нормальные напряжения? Из формулы (2) можно сделать следующий, очень важный вывод: касательные напряжения на этих площадках равны нулю. Какие площадки и какие напряжения называются главными? Площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых касательные напряжения отсутствуют, называются главными площадками, а возникающие на этих площадках нормальные напряжения – главными напряжениями. По каким формулам вычисляются экстремальные нормальные напряжения в исследуемой точке тела? Исключив из формул (1) угол 2α, мы получим следующее уравнение Значения экстремальных нормальных напряжений можно найти из полученного уравнения (4), если положить в нем =0, поскольку на главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Тогда: Заметим, что формулы (5) внешне похожи на формулы, по которым вычисляются значения главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня. Отметим также важную закономерность, которая вытекает из выражений (5): Следовательно, при плоском НС сумма нормальных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через некоторую точку тела, остается постоянной. Как обозначаются главные напряжения? В общем случае нагружения (при объемном НС) среди бесчисленного множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки. Следовательно, в окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения. Главные напряжения обозначаются через σ1, σ2, σ3. Индексы расставляются лишь после того, как эти напряжения вычислены, при этом должно выполняться следующее неравенство: σ1≥σ2≥σ3. Таким образом, σ1 – наибольшее по алгебраической величине, а σ3 – наименьшее по алгебраической величине нормальное напряжение, возникающее в исследуемой точке тела. В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной. В заключение отметим, что именно по значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела. При плоском НС на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Тогда получается, что эта площадка тоже является главной? Да. И главное напряжение на этой площадке равно нулю. Иногда такую площадку называют нулевой главной площадкой. Пусть, например, для случая плоского НС мы по формулам (5) нашли, что экстремальные нормальные напряжения в исследуемой точке равны 𝛔max=200 МПа, а 𝛔min=50 МПа. Как в этом случае расставить индексы у главных напряжений? В этом случае σ1=200 МПа, σ2=50 МПа, σ3=0 МПа. Если же, например, получилось, что σmax=-100 МПа, а σmin=-250 МПа, то тогда σ1=0 МПа, σ2=-100 МПа, σ3=-250 МПа. По какой формуле вычисляются наибольшие касательные напряжения в исследуемой точке тела и на каких площадках они возникают? Найдем угол наклона площадки α1, при котором касательное напряжение , определяемое по формуле (6.3), принимает экстремальное значение. Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю: Отсюда Сопоставляя равенства (6) и (3), мы видим, что следовательно, или Таким образом, для данной точки существуют две взаимно перпендикулярные площадки, на которых возникают равные по закону парности экстремальные касательные напряжения τmax. Эти площадки расположены под углом 45° к главным площадкам (рис. 4), на которых «действуют» главные напряжения σ1 и σ3. Рис. 4. Площадки, на которых возникают наибольшие касательные напряжения Абсолютное значение экстремальных касательных напряжений определяется по формуле В общем случае нагружения на площадках, на которых возникают наибольшие касательные напряжения, возникают и нормальные напряжения. Последние равны половине суммы главных напряжений σ1 и σ3. Если же, например, на площадках, где возникают наибольшие касательные напряжения, нормальные напряжения отсутствуют, то эти площадки называются площадками чистого сдвига. Вернемся к чистому сдвигу. Чему в этом случае равны главные напряжения и в каких направлениях они возникают? Напомним, что при чистом сдвиге в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения τzy. По закону парности касательных напряжений τyz=τzy. Напряженное состояние в рассматриваемой точке является плоским. Пусть dy=dz (рис. 5). Рис.5. Чистый сдвиг По формуле (2) найдем, что Тогда По формуле (4) получим: Следовательно, главные напряжения при чистом сдвиге равны: Их направления показаны на рис. 5. Наибольшие касательные напряжения равны: Таким образом, чистый сдвиг можно рассматривать как простую комбинацию растяжения и сжатия под углом 45°.
Напряжения допускаемые	Испытания материала на растяжение и сжатие позволяют определить предельные напряжения σпред, то есть те напряжения, при которых материал образца непосредственно разрушается или же в нем возникают большие пластические деформации. Таким образом, в качестве предельного напряжения принимается: - для пластичного материала – предел текучести (то есть считается, что разрушение пластичного материала начинается при появлении в нем заметных пластических деформаций): - для хрупкого материала – предел прочности, значение которого при растяжении и сжатии различно: Для обеспечения прочности реального стержня необходимо так выбрать его размеры и материал, чтобы наибольшее нормальное напряжение, возникающее в некоторой точке, было меньше предельного напряжения: σzmax<σпред. Однако даже в том случае, когда наибольшее расчетное напряжение σzmax в стержне будет близко к предельному напряжению, гарантировать его прочность еще нельзя. Дело в том, что внешние нагрузки, воздействующие на реальный стержень, не могут быть нами определены достаточно точно. Да и расчетные напряжения в стержне в ряде случаев могут быть вычислены лишь приближенно. Наконец, возможны отклонения действительных механических характеристик материала, применяемого для стержня, от характеристик, заложенных в расчете. Из сказанного следует, что стержень должен быть спроектирован с некоторым расчетным коэффициентом запаса прочности: Ясно, что чем больше n, тем прочнее деталь. Однако совершенно очевидно, что очень большой коэффициент запаса прочности приводит к перерасходу материала и это делает стержень тяжелым и неэкономичным. В зависимости от назначения конструкции и целого ряда других обстоятельств устанавливается допускаемый (или нормативный) коэффициент запаса прочности, который обозначается [n]. Прочность стержня считается обеспеченной, если n≥[n]. Это условие и называют условием прочности. Используя выражение (1), перепишем условие прочности в виде: Отсюда можно получить и другую форму записи условия прочности: Отношение предельного напряжения к допускаемому коэффициенту запаса прочности (то есть отношение, стоящее в правой части последнего неравенства) называется допускаемым напряжением. Оно обозначается [σ] и определяется по формуле В случае, когда предельные и соответственно допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают и . Пользуясь понятием допускаемого напряжения, можно условие прочности сформулировать следующим образом: прочность стержня будет обеспечена, если возникающее в нем наибольшее напряжение не превышает допускаемого напряжения. Тогда окончательно условие прочности при растяжении (сжатии) записывается в следующем виде: В случае, когда расчетное напряжение получается значительно ниже допускаемого, площадь опасного поперечного сечения стержня должна быть уменьшена. Если расчетное напряжение незначительно, но все же превышает допускаемое напряжение, такое незначительное превышение в расчетах на прочность допускается, но не более, чем на 5%. К сожалению, приходится констатировать, что студенты не всегда правильно понимают условие прочности (2). Так, на естественный вопрос, что произойдет со стержнем (конструкцией), если расчетное напряжение превысит допускаемое напряжение [σ], например, на 10%, можно услышать ответ, что конструкция разрушится. Это неверно. Она может и не разрушиться, если, например, выполняется условие, что . Еще раз подчеркнем, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения. Поэтому незначительное превышение расчетного напряжения над допускаемым напряжением означает лишь только снижение надежности конструкции. В этом случае расчетный коэффициент запаса прочности получается меньше допускаемого (n<[n]).
Напряжения касательные	составляющие полного вектора напряжений, лежащие в плоскости рассматриваемого сечения и обозначаются .
Напряжения касательные при поперечном изгибе	Вырежем из балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 1, а) элемент длиной dz и дополнительным продольным сечением рассечем его на две части (рис.1, б). Рис.1. Касательные напряжения при изгибе Рассмотрим равновесие верхней части, в поперечных сечениях которой из-за отличия изгибающих моментов возникают разные сжимающие напряжения. Для того чтобы эта часть балки находилась в равновесии (то есть выполнялось условие равновесия ΣZ=0), в ее продольном сечении должна возникнуть касательная сила dT. Тогда Отсюда где интегрирование ведется только по отсеченной части площади поперечного сечения балки Fотс. Эта часть площади (рис. 1, в) нами заштрихована. В формуле (1) – статический момент отсеченной (заштрихованной) части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x. Будем предполагать, что касательные напряжения τyz, возникающие в продольном сечении балки, равномерно распределены по ее ширине by в месте сечения. Это допущение, известное под названием гипотезы Журавского, справедливо только в том случае, когда ширина поперечного сечения много меньше его высоты, то есть сечение является узким. Тогда и соответственно Учитывая формулу (1), найдем, что Но, согласно формуле Шведлера – Журавского, dMx/dz=Qy, а τyz=τzy. Тогда окончательно касательные напряжения 𝜏zy, возникающие в точках поперечного сечении балки, находящихся на расстоянии y от нейтральной оси x, определяются по следующей формуле Приближенная формула (2) впервые была получена в 1855 г. Дмитрием Ивановичем Журавским, и поэтому она носит его имя. Проанализируем формулу Журавского. Для конкретного сечения балки перерезывающая сила Qy и момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси Ix являются постоянными величинами. Поэтому из формулы (2) следует, что по высоте поперечного сечения касательные напряжения изменяются по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения к ширине поперечного сечения by, в котором они вычисляются. Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной оси, то есть по всей ширине сечения by, касательные напряжения одинаковы. Во всех самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения равны нулю, поскольку в этом случае Fотс=0. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю. Как выглядят эпюры касательных напряжений для балок прямоугольного и двутаврового поперечных сечений? Напомним, что при выводе формулы Журавского мы предполагали, что балка имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 2), поэтому где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной оси x. Подставляя выражения (3) в формулу (2), получим: Отсюда видно, что для балки прямоугольного профиля касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратичной параболы (см. рис. 2). Рис. 2 Эпюра касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения балки При , то есть для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси, τzy=0. Для точек, расположенных на нейтральной оси (при y=0), касательные напряжения достигают максимального значения: Характерной особенностью двутаврового сечения балки является то обстоятельство, что в том месте, где полка соединяется со стенкой, происходит резкое изменение ширины поперечного сечения by (рис. 3). Рис. 3. Эпюра касательных напряжений для двутаврового поперечного сечения балки Определим касательное напряжение в некоторой точке K. Для этого проведем через эту точку сечение. Ширина этого сечения равна толщине стенки, то есть by=d. Рассмотрим верхнюю отсеченную часть площади поперечного сечения, которая состоит из площади полки F1 и площади части стенки F2 (обе эти площади на рис. 3, а заштрихованы). Статический момент этой отсеченной части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x равен: Эпюра касательных напряжений, возникающих в точках стенки двутавра, имеет вид, показанный на рис. 3, б. Касательные напряжения τzy, возникающие в точках полки двутавра, по формуле Журавского вычислять нельзя, поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только в том случае, если ширина сечения by невелика. Однако очевидно, что эти напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Их эпюра показана штриховой линией (см. рис. 3, б). Касательное напряжение в точке L, то есть в том месте, где полка соединяется со стенкой, вычисляется по формуле Как и для балки прямоугольного поперечного сечения, наибольшие касательные напряжения в балке двутаврового профиля возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x. По какой формуле можно вычислить значения касательных напряжений для балки прямоугольного поперечного сечения, если оно не является узким? Точное решение задачи, полученное Сен-Венаном, показывает, что касательные напряжения при поперечном изгибе балки не одинаковы по ширине поперечного сечения. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, расположенных по краям нейтральной оси. Значения этих напряжений можно определить по следующей формуле где k – коэффициент, зависящий от отношения сторон b/h. Так, например, при b/h=0,5 коэффициент k=1,033, то есть для узкого поперечного сечения формула Журавского дает практически точное значение. Если же сечение широкое, например, b/h=4, то тогда коэффициент k=1,988. Следовательно, формула Журавского занижает максимальные касательные напряжения почти в два раза. Как выглядит эпюра касательных напряжений для балки круглого поперечного сечения? Прежде чем ответить на этот вопрос, попробуем сначала выяснить, какое вообще направление имеет касательное напряжение, возникающее в некоторой точке контура поперечного сечения стержня. Рассмотрим поперечное сечение стержня, имеющее совершенно произвольную форму (рис. 4, а). Предположим, что в некоторой точке К его контура возникает касательное напряжение τ, направленное под каким-то углом по отношению к контуру. Разложим это напряжение на две составляющие: τn – по нормали и τt – по касательной к контуру сечения. Если напряжение τn действительно существует, то по закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно существовать и равное ему по значению касательное напряжение . Но поверхность стержня при изгибе не нагружена внешними силами, параллельными оси балки z. Поэтому касательное напряжение на поверхности стержня =0 и, следовательно, τn=0. Таким образом, при изгибе балки касательное напряжение, возникающее в некоторой точке контура поперечного сечения, всегда направлено по касательной к контуру. Покажем, что в вершине угла прямоугольного поперечного сечения балки касательное напряжение при изгибе равно нулю (рис. 4, б). Рис.4. Касательное напряжение в точке контура поперечного сечения стержня Предположим, что в вершине угла, в точке M, возникает некоторое касательное напряжение τ. Разложим его на составляющие τzx и τzy. Но касательные напряжения на поверхности балки отсутствуют (τxz=τyz=0). Поэтому по закону парности касательных напряжений должны быть равны нулю и составляющие τzx и τzy. Следовательно, в точке M 𝜏=0. С учетом изложенного выше, задача вычисления касательных напряжений в произвольной точке балки круглого поперечного сечения заметно усложняется. Однако, если сделать предположение о том, что в точках, расположенных на некоторой линии ab (рис. 5), касательные напряжения τ направлены так, что все они пересекаются в точке О, и дополнительно предположить, что вертикальные проекции этих напряжений равномерно распределены вдоль линии ab, то формулу Журавского можно использовать для вычисления вертикальных проекций τzy. Вычисление всех остальных величин, входящих в формулу (2), производится так же, как и, например, для прямоугольного поперечного сечения. Рис.5. Эпюра касательных напряжений для балки круглого поперечного сечения В частности, наибольшие касательные напряжения, возникающие в точках, расположенных на нейтральной оси x, вычисляются по формуле Согласно гипотезе Бернулли считается, что при изгибе балки ее продольные волокна не оказывают давления друг на друга. Такое предположение для чистого изгиба вполне естественно. Но насколько это допущение справедливо при поперечном изгибе балки? Рассмотрим, например, жестко защемленную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную сверху равномерно распределенной поперечной нагрузкой q. Тогда в точках, принадлежащих верхним волокнам балки, возникнут нормальные напряжения: В нижних же волокнах, ввиду отсутствия поверхностной нагрузки, σy=0. При существующих на практике значениях внешней нагрузки напряжение настолько мало по сравнению с наибольшим нормальным напряжением σz, возникающем в поперечном сечении балки, что им можно пренебречь. Покажем это. Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент возникает в заделке. Он равен В этом случае Тогда . Для реальных балок отношение l/h>10, поэтому окончательно получим:
Напряжения нормальные	составляющие полного вектора напряжений, направленные по нормали к рассматриваемому сечению и обозначаются σ
Напряжения нормальные при растяжении-сжатии	Из гипотезы Бернулли следует, что все продольные волокна стержня деформируются одинаково. Поэтому можно считать, что при растяжении (сжатии) напряжения во всех точках поперечного сечения стержня одинаковы и направлены по нормали к поперечному сечению. Такие напряжения, напомним, называются нормальными напряжениями. Если в рассматриваемом поперечном сечении стержня возникает продольное усилие N, а F – площадь этого поперечного сечения, то, с учетом изложенного выше, нормальные напряжения при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле Для нормального напряжения σ, как и для продольной силы N, принимается следующее правило знаков: при растяжении оно считается положительным, а при сжатии – отрицательным. Какие напряжения возникают в наклонных сечениях стержня, то есть в сечениях, которые не являются поперечными? Начнем ответ со следующих рассуждений. Да, мы уже умеем определять нормальные напряжения, которые возникают в опасном поперечном сечении стержня. Но можем ли мы утверждать, что эти нормальные напряжения являются наибольшими и именно их значения следует использовать для оценки прочности стержня? Нам уже известно, что касательные напряжения в поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии) не возникают. Но возникают ли они в наклонных сечениях? Таким образом, нам необходимо научиться определять напряжения на любых площадках, проходящих через некоторую точку К тела, и находить именно те площадки, на которых нормальные и касательные напряжения достигают наибольших значений. А теперь ответим на поставленный вопрос. Разрежем стержень, растягиваемый силами P, плоскостью, проходящей через точку К и наклоненной под углом α к поперечному сечению (рис. 1, а). Отбросим правую часть стержня. Рис.1. Напряжения в наклонных сечениях Внешняя нормаль к этому наклонному сечению будет составлять с осью z такой же угол α. Действие отброшенной нами правой части стержня на левую часть заменим внутренними усилиями (рис. 1, б). Чтобы левая часть стержня находилась в равновесии, в каждой точке наклонного сечения стержня должно возникнуть продольное противодействующее усилие. Очевидно, что равнодействующая всех этих внутренних усилий N равна внешней силе P. Будем считать, что внутренние усилия равномерно распределены по всей площади наклонного сечения F1=F/cosα. Тогда полное напряжение в каждой точке наклонного сечения будет равно: где – нормальное напряжение, возникающее в этих же точках (в том числе и в точке К), но в поперечном сечении стержня (рис. 1, в). Разложим полное напряжение p, возникающее в некоторой точке К наклонного сечения, на две составляющие – нормальное и касательное напряжения (рис. 1, г). Они будут равны: Проследим, как будет меняться каждое из этих напряжений с изменением угла наклона сечения α от нуля до 90°. При увеличении угла α нормальное напряжение в точке К будет постепенно уменьшаться от своего максимального значения до нуля. Касательное напряжение при этом будет сначала возрастать от нулевого до максимального значения при α=45°, а затем убывать. При угле α=90° касательное напряжение снова станет равным нулю. Следовательно, наибольшее нормальное напряжение действительно возникает в точках поперечного сечения стержня. В продольном сечении оно равно нулю. Отсюда следует, что продольные волокна стержня не давят друг на друга. Наибольшие касательные напряжения возникают в сечениях, расположенных под углом 45° к оси стержня. В поперечном и в продольном сечениях стержня они равны нулю.
Напряжения нормальные при чистом изгибе	Допущения, принимаемые при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе балки. 1) гипотеза плоских сечений при изгибе балки. Мысленно нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси балки) прямых линий. В результате изгиба балки мы увидим, что продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки. Таким образом, поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации. Это обстоятельство свидетельствует о том, что при изгибе (как при растяжении и кручении) выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Помимо упомянутой гипотезы плоских сечений принимается ещё одно допущение: считается, что продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга (то есть напряжения σy=0). Эти два допущения вместе называют гипотезой Бернулли. Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (Qy=0). Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями выделим элемент балки длиной dz (рис. 1. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав между собой угол dθ. Пусть при этом верхние волокна испытывают сжатие, а нижние – растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим ρ. Для удобства далее будем условно считать, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 1. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна, будут соответственно равны: По закону Гука Рис.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе Покажем теперь, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x. Поскольку длина балки (а точнее, длина ее оси) при изгибе не изменяется, продольное усилие N, возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие . Тогда или, с учетом выражения (1), Множитель E/ρ≠0 можно вынести за знак интеграла, так как он не зависит от переменной интегрирования. В итоге получим Выражение (2) представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю только в том случае, когда эта ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (или нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения. Очевидно, что изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Поэтому перейдем к его вычислению. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой , равен , тогда где – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение k=1/ρ называется кривизной оси балки. Произведение EIx в формуле (3) называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе. Чем больше эта величина, тем меньше кривизна оси балки при том же значении изгибающего момента. Формула (3) представляет собой закон Гука для стержня при изгибе: изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки. Выражая из (3) радиус кривизны ρ и подставляя его значение в (1), получим окончательно следующую формулу для нормальных напряжений 𝜎z, возникающих в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x: Отметим, что в формулу (4), которая, кстати, впервые была получена Навье, следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента Mx и координаты y. Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или же сжимающим легко установить по характеру изгиба балки или, что является тем же самым, по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются нами со стороны сжатых волокон балки. Из формулы (4) видно, что нормальные напряжения σz изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. Напомним, что по ширине сечения они считаются постоянными. На рис. 1, в показана эпюра нормальных напряжений. Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, что при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси как, например, у двутаврового профиля.
Напряжения нормальные при поперечном изгибе	В отличие от чистого изгиба, при поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента Mx возникает и перерезывающая сила Qy. Поэтому в поперечном сечении наряду с нормальными напряжениями σz возникают и касательные напряжения τzy. На основании закона парности касательных напряжений в продольных сечениях балки возникают касательные напряжения τyz=τzy. Возникновение касательных напряжений τyz в плоскостях, параллельных нейтральной плоскости, покажем на следующем простом примере. Мысленно представим себе балку прямоугольного поперечного сечения высотой h, шарнирно опертую по концам. Поместим поверх этой балки точно такую же балку. Приложим к этим двум балкам посредине пролета сосредоточенную силу P. Если пренебречь трением между этими балками, изгиб каждой из них будет происходить независимо от изгиба другой балки. При этом у обеих балок будут сжаты верхние и растянуты нижние волокна. В результате нижние продольные волокна верхней балки сместятся относительно верхних волокон нижней балки. Иную картину мы будем наблюдать в сплошной балке высотой 2h. Никакого смещения верхней части балки относительной нижней мы, естественно, не обнаружим. Отсутствие этого смещения и объясняется возникновением, в данном случае в нейтральном слое, касательных напряжений τyz. Поскольку при поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения τzy, поперечные сечения балки искривляются (рис. 1) и, следовательно, гипотеза плоских сечений нарушается. Рис. 1. Нарушение гипотезы плоских сечений Однако теоретические и экспериментальные исследования показали, что если балка является достаточно длинной (l/h>10), то влияние искривления поперечного сечения на значения нормальных напряжений невелико. Поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений при изгибе пренебрегают и нормальные напряжения вычисляют по формуле
Напряжения переменные	Рассмотрим, ось вагона, имеющую круглое поперечное сечение диаметром d, нагруженную силами P и вращающуюся с постоянной угловой скоростью 𝜔=const (рис. 1, а). Подшипники, на которые опирается вал, будем рассматривать как шарнирные опоры. Рис.1. Напряжения, переменные во времени На участке AB между опорами вал испытывает чистый изгиб (эпюра изгибающих моментов Mx построена на сжатых волокнах). Проследим за изменением нормального напряжения в точке К, расположенной вблизи контура поперечного сечения (рис. 1, б). Напомним, что напряжения при изгибе в произвольной точке поперечного сечения равно: При повороте вала расстояние y от точки К до нейтральной оси x будет изменяться от 0, когда точка находится на оси x, до ymax=d/2, когда точка К занимает крайнее верхнее или крайнее нижнее положение. В некоторый момент времени t это расстояние может быть определено по формуле y(t)=(d/2)sinωt. Тогда Из последней формулы видно, что напряжение в точке К изменяется по синусоидальному закону (рис. 1, в). За один полный оборот оси рассматриваемая точка попадает из зоны растяжения в зону сжатия (или наоборот). Мысленно представим теперь, что к этой же оси вагона помимо двух сил P (рис. 1, а), вызывающих ее изгиб, по концам приложены и две растягивающие постоянные силы P1. Тогда напряжение в точке К будет равно алгебраической сумме напряжений, возникающих как от растяжения, так и от изгиба: В этом случае график изменения напряжений в рассматриваемой точке K во времени будет представлять собой синусоиду, но смещенную вверх относительно оси t на величину P1/F.
Напряжения и состояния предельные	Прежде всего, отметим, что речь будет идти об оценке прочности не всего тела, а о прочности материала в отдельно взятой его точке. Напомним, что в случае линейного НС оценка прочности в исследуемой точке тела довольно легко производится путем непосредственного сопоставления возникающего в ней расчетного напряжения либо с предельным 𝜎пред, либо с допускаемым напряжением [𝜎]. Коэффициент запаса прочности равен отношению предельного напряжения к расчетному: n=σпред/σ. Состояние материала, при котором хотя бы в одной точке тела отмечено возникновение текучести или признаков хрупкого разрушения, рассматривается как предельное, то есть соответствующее началу нарушения прочности всего тела. Соответствующее этому состоянию напряжение называется предельным. Для пластичных материалов за предельное напряжение принимается предел текучести σm, а для хрупких – предел прочности σпч. Расчет на прочность, основанный на таком представлении о предельном состоянии тела, называется расчетом по опасной точке или расчетом по допускаемым напряжениям. В современной практике, однако, применяют и другие методы расчета, например, по предельным нагрузкам или несущей способности, по расчетным предельным состояниям и т. д. Эти методы основаны на иных представлениях о предельных состояниях тела.
Напряжения температурные	Если при нагреве (охлаждении) стержня ничто не препятствует изменению его длины, то никаких напряжений в нем не возникает. При нагреве линейные размеры тела увеличиваются, а при охлаждении – уменьшаются. Абсолютное удлинение стержня, вызванное изменением его температуры на ∆t градусов Цельсия, определяется по формуле где α – коэффициент линейного расширения материала стержня, а l – его длина. Для стали, например, коэффициент линейного расширения примерно равен α=0,0000115. Если стальной стержень с первоначальной длиной l=1 м равномерно нагреть на 20℃, то его длина увеличится на 0,23 мм. Иная картина имеет место для статически неопределимого стержня. Предположим, что мы нагреваем стержень, жестко защемленный по концам (см., например, рис. 1, а (P=0)). Рис. 1. Статически неопределимый стержень при растяжении (сжатии) Стержень хотел бы удлиниться на величину но этому препятствуют заделки. В них возникают реактивные силы RA=R