1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Теории упругости, пластичности и другие аналитические теории позволяют решить большое количество инженерных задач. Однако многие практические инженерные задачи не могут быть решены аналитически из-за сложности моделирования реальных граничных условий и геометрии конструкции. Случаи с простой геометрией, как A, B и C могут быть решены аналитическими методами для получения значений внутренних напряжений, деформаций и собственных частот колебаний аналитическими методами. Задачи со сложной геометрией (судовой винт D), обычно решаются численными методами, такими как метод конечных элементов (МКЭ).

В методе конечных элементов (МКЭ) сложная конструкция разделяется на небольшие элементы (конечные элементы, КЭ). Любая непрерывная величина (перемещения, напряжения, температура и т.п.) аппроксимируется в пределах каждого элемента. Результатом моделирования является получение распределения искомой величины во всей конструкции. Решение с помощью МКЭ получают, выполняя следующие шаги: 1. Определяют задачу и нагрузки, создают эскиз конструкции. 2. Строят геометрическую модель конструкции с помощью модулей твердотельного моделирования, встроенных в КЭ программы, или системы автоматизированного проектирования. 3. Создают КЭ сетку. 4. Задают граничные условия (кинематические связи и нагрузки). 5. Решают систему уравнений МКЭ. 6. Анализируют полученные результаты. Шаги 1, 2, 3, 4 называют предпроцессорной обработкой, 5 - процессором и 6 - постпроцессорной обработкой. КЭ модель конструкции представляет собой набор элементов простой формы. Типичный 3D конечный элемент может быть в виде сплошного параллелепипеда (кирпич) или призмы с узлами, расположенными в вершинах. Перемещения в конечных элементах определяются узловыми перемещениями и простыми функциями полиномиальной формы, которые описывают форму элемента. Деформации и напряжения рассчитываются по неизвестным узловым перемещениям. Деформации и напряжения элемента могут быть рассчитаны, как только узловые перемещения определены. Наиболее трудная и продолжительная стадия FEM создание конечно-элементной модели (препроцессор). Эта стадия включает генерацию конечно-элементной сетки и правильное приложение нагрузки и граничных условий по перемещениям. Автоматическое создание сетки не всегда просто, особенно в очень маленьких особенностях структуры или по граням и углам. Также нелегко установить правильные граничные условия, которые соответствуют реальной ситуации. Однако FEM процессоры, которые решают уравнения на шаге (5) работают автоматически и довольно быстро в зависимости от количества узлов. Анализ результатов (6) может быть сделан мощными инструментами визуализации результатов.

Степени свободы (DOF) связаны с каждым неизвестным узловым перемещением. Каждый узел 3D четырехгранных элементов имеет три степени свободы, представленные тремя видами движения. Уравнения равновесия представляются в матричной форме. Решение уравнений с более чем 100,000-ми степеней свободы может быть произведено на настольном компьютере. Сумма всех сил на оси всегда равна нулю. Сумма внутренних сил равна сумме внешних сил.

Количество узлов обычно больше, чем количество элементов для структурных 3D моделей. Количество степеней свободы в 3 раза больше, чем общее количество узлов, за вычетом кинематических граничных условий. То есть узлы могут быть ограничены в перемещении в одном направлении в зависимости от типа граничных условий.

Матрица жесткости [K] это отношение между векторами узловых перемещений {D} и сил {F}. Матрица жесткости – это диагональная матрица и симметрична относительно диагонали. Ее решением являются узловые перемещения данной загруженной схемы.