Задача 1. Расчет статически определимого
вала, работающего на кручение.
К стальному валу приложены скручивающие моменты: М1, М2, М3, М4, (рис.1). Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и
округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35,
40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;
3) построить эпюру углов закручивания;
4) найти наибольший относительный угол закручивания.
Данные взять из табл.1.
Таблица 1
Номер
строки
Схема
по рис.1
Расстояние, м
Моменты, кНм
[τ],
МПа
а
b
с
М1; М3
М2; М4
01
1
1,1
1,1
1,1
2,1
1,1
35
02
2
1,2
1,2
1,2
2,2
1,2
40
03
3
1,3
1,3
1,3
2,3
1,3
45
04
4
1,4
1,4
1,4
2,4
1,4
50
05
5
1,5
1,5
1,5
2,5
1,5
55
06
6
1,6
1,6
1,6
1,6
0,6
60
07
7
1,7
1,7
1,7
1,7
0,7
65
08
8
1,8
1,8
1,8
1,8
0,8
70
09
9
1,9
1,9
1,9
1,9
0,9
75
10
10
2,0
2,0
2,0
2,0
1,0
80
11
11
1,6
1,3
1,6
2,3
1,2
35
12
12
1,7
1,4
1,7
2,4
1,3
40
13
13
1,8
1,5
1,8
2,5
1,4
45
14
14
1,9
1,6
1,9
1,6
1,5
50
15
15
2,0
1,7
2,0
1,7
0,6
55
16
16
1,3
1,8
1,1
1,8
0,7
60
17
17
1,4
1,1
1,2
1,9
0,8
65
18
18
1,5
1,2
1,3
1,6
0,9
70
19
19
1,6
1,3
1,4
1,7
1,1
60
20
20
1,7
1,4
1,5
1,8
1,2
65
21
21
1,9
1,5
1,9
1,9
1,3
70
22
22
2,0
1,6
2,0
2,0
1,4
75
23
23
1,6
1,7
1,6
2,3
1,5
80
24
24
1,7
1,6
1,7
2,4
0,6
35
25
25
1,8
1,7
1,8
2,5
0,7
40
26
26
1,9
1,8
1,9
1,6
0,8
45
27
27
2,0
1,9
1,1
1,8
0,9
50
28
28
1,3
2,0
1,2
1,9
1,0
55
29
29
1,1
1,3
1,3
2,0
1,2
35
30
30
1,2
1,4
1,4
2,3
1,3
40
31
31
1,3
1,5
1,5
2,4
1,4
45
32
32
1,4
1,4
1,6
2,5
1,5
50
33
33
1,5
1,5
1,7
1,6
0,6
55
34
34
1,6
1,6
1,8
1,7
0,7
60
35
35
1,7
1,7
1,9
1,8
0,8
65
36
36
1,8
1,6
1,6
2,3
0,9
45
б
а
в
г
а
б
в
1 схема2 схема
3 схема4 схема
5 схема6 схема
7 схема8 схема
9 схема10 схема
11 схема12 схема
13 схема14 схема
15 схема16 схема
17 схема18 схема
19 схема20 схема
21 схема22 схема
23 схема24 схема
25 схема26 схема
27 схема28 схема
29 схема30 схема
31 схема32 схема
33 схема34 схема
35 схема36 схема
Рис. 1
Задача 2. Подбор сечения статически
определимого вала, работающего на кручение.
Для заданной расчетной схемы
(рис.2) необходимо:
1) Вычертить расчетную схему вала в
произвольном масштабе.
2) Построить эпюру крутящих
моментов.
3) Из условия прочности определить
размеры поперечного сечения вала, приняв сечение вала круглым, кольцевым,
прямоугольным.
4) Построить эпюру углов
закручивания для круглого вала, приняв жесткость сечения постоянной.
5) Сравнить веса валов.
Данные взять из табл.2.
Таблица 2
Номер
cтроки
Схема
по рис.2
а,
м
b,
м
с,
м
М1,
Нм
М2,
Нм
М3,
Нм
М4,
Нм
М5,
Нм
ξ=d/D
h/b
[τ],
МПа
01
1
0,2
0,7
0,5
100
500
800
400
600
0,4
1,1
50
02
2
0,3
0,6
0,6
200
600
700
300
500
0,5
1,2
60
03
3
0,4
0,5
0,4
300
700
600
800
300
0,6
1,3
70
04
4
0,5
0,4
0,3
400
800
500
700
200
0,7
1,4
80
05
5
0,6
0,3
0,5
500
900
400
600
700
0,8
1,5
90
06
6
0,7
0,2
0,8
600
1000
300
500
800
0,9
1,6
50
07
7
0,8
0,3
0,7
700
900
200
600
900
0,8
1,7
60
08
8
0,7
0,4
0,3
800
800
100
300
1000
0,7
1,8
70
09
9
0,6
0,5
0,4
900
700
1000
200
400
0,6
1,9
80
10
10
0,5
0,6
0,2
1000
100
900
300
100
0,5
2,0
90
11
11
0,3
0,6
0,6
300
600
700
800
500
0,5
1,2
60
12
12
0,4
0,5
0,4
400
700
600
700
300
0,6
1,3
70
13
13
0,5
0,4
0,3
500
800
500
600
200
0,7
1,4
80
14
14
0,6
0,3
0,5
600
900
400
500
700
0,8
1,5
90
15
15
0,7
0,2
0,8
700
1000
300
600
800
0,9
1,6
50
16
16
0,8
0,3
0,7
800
900
200
300
900
0,8
1,7
60
17
17
0,7
0,4
0,3
900
800
100
200
1000
0,7
1,8
70
18
18
0,6
0,5
0,4
1000
700
1000
300
400
0,6
1,9
80
19
19
0,5
0,7
0,5
100
600
900
800
600
0,5
2,0
90
20
20
0,5
0,6
0,6
200
700
500
700
500
0,6
1,8
60
21
21
0,6
0,5
0,4
300
800
400
600
300
0,7
1,9
70
22
22
0,7
0,4
0,3
400
900
300
500
200
0,8
2,0
80
23
23
0,8
0,3
0,5
500
1000
200
600
700
0,9
1,2
90
24
24
0,7
0,2
0,8
600
900
100
300
800
0,8
1,3
50
25
25
0,6
0,3
0,7
700
800
1000
200
900
0,7
1,4
60
26
26
0,5
0,4
0,3
800
700
900
300
1000
0,6
1,5
70
27
27
0,3
0,5
0,4
900
100
700
800
400
0,5
1,6
80
28
28
0,4
0,6
0,2
1000
600
600
700
100
0,5
1,7
90
29
29
0,5
0,6
0,6
300
700
500
600
500
0,6
1,8
60
30
30
0,6
0,5
0,4
400
800
400
500
300
0,7
1,9
70
31
31
0,7
0,4
0,3
500
900
300
600
200
0,8
2,0
80
32
32
0,8
0,3
0,5
600
1000
200
300
700
0,9
1,2
90
33
33
0,7
0,2
0,8
700
900
100
800
800
0,8
1,3
50
34
34
0,6
0,3
0,7
800
800
1000
700
900
0,8
1,4
50
35
35
0,5
0,4
0,3
900
700
700
600
500
0,9
1,5
60
36
36
0,3
0,5
0,4
300
900
600
500
300
0,8
1,6
70
б
г
в
б
а
в
б
а
г
а
б
в
1 схема2 схема
3 схема4 схема
5 схема6 схема
7 схема8 схема
9 схема10 схема
11 схема12 схема
13 схема14 схема
15 схема16 схема
17 схема18 схема
19 схема20 схема
21 схема22 схема
23 схема24 схема
25 схема26 схема
27 схема28 схема
29 схема30 схема
31 схема32 схема
33 схема34 схема
35 схема36 схема
Рис.2
Задача 3. Подбор сечения статически
определимого вала, работающего на кручение.
К стальному брусу круглого поперечного сечения
приложены четыре крутящих момента M1, M2, M3, X, три из
которых известны.
Требуется:
1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого
сечения равен нулю;
2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;
3) при заданном значении допускаемого напряжения [τ] определить
диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей
большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;
4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса
при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания [θ]= 1 град/м;
5) построить эпюру углов закручивания.
Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали G=8∙105 Мпа.
Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы –
на рис. 3.
Таблица 3
Номер
строки
Схема
по рис. 3
Размер, м
Момент, кНм
[τ],
МПа
а
в
с
M1
M2
M3
01
1
0,8
0,4
1,0
2,0
1,6
1,0
35
02
2
0,6
0,5
0,5
1,8
1,7
1,2
40
03
3
0,4
0,7
0,7
1,7
0,9
0,7
50
04
4
0,6
0,4
0,6
1,5
0,8
1,5
45
05
5
0,5
0,8
0,4
1,3
2,0
1,4
60
06
6
0,7
1,0
0,8
1,0
1,7
2,0
40
07
7
1,0
0,7
1,0
1,6
1,5
1,6
35
08
8
0,4
0,6
0,5
1,4
1.6
1,8
70
09
9
0,7
0,4
0,6
1,5
0,8
0,9
80
10
10
0,5
0,5
0,4
0,9
1,0
1,5
60
з
ж
а
б
в
г
д
е
1
схема2 схема
3
схема4 схема
5
схема6 схема
7
схема8 схема
9
схема10 схема
Рис.
3
Задача 4. Расчет статически определимого
вала, работающего на кручение. Определение допускаемой нагрузки.
На вал постоянного сечения насажены три шкива (рис.4).
Из условия равновесия вала определить силу F3 и построить эпюру крутящего момента.
Числовые данные берутся из табл. 4, расчетные схемы – на
рис. 4.
Таблица 4
Номер
cтроки
Схема
по рис.4
r1,
м
r2,
м
r3,
м
F1,
кН
F2,
кН
01
I
0,20
0,05
0,10
40
50
02
II
0,10
0,20
0,15
10
20
03
III
0,15
0,10
0,20
30
10
04
IV
0,20
0,10
0,30
15
10
05
V
0,10
0,15
0,20
30
20
06
VI
0,30
0,10
0,15
40
10
07
VII
0,20
0,15
0,10
20
20
08
VIII
0,15
0,20
0,05
10
30
09
IX
0,05
0,15
0,20
20
10
10
X
0,10
0,20
0,15
30
30
11
I
0,20
0,05
0,10
40
50
12
II
0,10
0,20
0,15
10
20
13
III
0,15
0,10
0,20
30
10
14
IV
0,20
0,10
0,30
15
10
15
V
0,10
0,15
0,20
30
20
16
VI
0,30
0,10
0,15
40
10
17
VII
0,20
0,15
0,10
20
20
18
VIII
0,15
0,20
0,05
10
30
19
IX
0,05
0,15
0,20
20
10
20
X
0,10
0,20
0,15
30
30
21
I
0,20
0,05
0,10
40
50
22
II
0,10
0,20
0,15
10
20
23
III
0,15
0,10
0,20
30
10
24
IV
0,20
0,10
0,30
15
10
25
V
0,10
0,15
0,20
30
20
26
VI
0,30
0,10
0,15
40
10
27
VII
0,20
0,15
0,10
20
20
28
VIII
0,15
0,20
0,05
10
30
29
IX
0,05
0,15
0,20
20
10
30
X
0,10
0,20
0,15
30
30
31
I
0,20
0,05
0,10
40
50
32
II
0,10
0,20
0,15
10
20
33
III
0,15
0,10
0,20
30
10
34
IV
0,20
0,10
0,30
15
10
35
V
0,10
0,15
0,20
30
20
36
VI
0,30
0,10
0,15
40
10
а
г
в
б
а
в
Рис.4
Задача 5. Расчет статически определимого
вала, работающего на кручение. Построение эпюры Mk.
Вал (рис. 5) находится в равновесии под действием
двух пар сил моментами M1 и M2 и двух равномерно распределенных по длине стержня
моментов интенсивностью m1 и m2. Построить эпюру крутящего момента в долях ml.
Числовые данные берутся из табл. 5, расчетные схемы –
на рис. 5.
Таблица 5
Номер
cтроки
Схема
по рис.5
l1/l
l2/l
m1/m
m2/m
M1/ml
M2/ml
01
I
1,0
1,5
1,0
1,0
–1,0
–2,0
02
II
2,0
1,0
2,5
–2,0
2,0
1,5
03
III
3,0
2,0
1,5
3,0
2,5
1,0
04
IV
1,5
3,0
2,0
–1,5
3,0
2,5
05
V
1,0
1,5
1,0
–2,5
–1,5
–1,0
06
VI
2,0
1,0
–1,5
–1,0
–1,5
1,0
07
VII
3,0
2,0
–2,5
2,0
2,0
–1,5
08
VIII
1,5
1,0
–1,0
–3,0
1,0
2,5
09
IX
1,0
2,0
–2,0
1,5
–2,5
–3,0
10
X
2,0
3,0
–1,0
2,5
1,5
–2,5
11
I
1,0
1,5
1,0
1,0
–1,0
–2,0
12
II
2,0
1,0
2,5
–2,0
2,0
1,5
13
III
3,0
2,0
1,5
3,0
2,5
1,0
14
IV
1,5
3,0
2,0
–1,5
3,0
2,5
15
V
1,0
1,5
1,0
–2,5
–1,5
–1,0
16
VI
2,0
1,0
–1,5
–1,0
–1,5
1,0
17
VII
3,0
2,0
–2,5
2,0
2,0
–1,5
18
VIII
1,5
1,0
–1,0
–3,0
1,0
2,5
19
IX
1,0
2,0
–2,0
1,5
–2,5
–3,0
20
X
2,0
3,0
–1,0
2,5
1,5
–2,5
21
I
1,0
1,5
1,0
1,0
–1,0
–2,0
22
II
2,0
1,0
2,5
–2,0
2,0
1,5
23
III
3,0
2,0
1,5
3,0
2,5
1,0
24
IV
1,5
3,0
2,0
–1,5
3,0
2,5
25
V
1,0
1,5
1,0
–2,5
–1,5
–1,0
26
VI
2,0
1,0
–1,5
–1,0
–1,5
1,0
27
VII
3,0
2,0
–2,5
2,0
2,0
–1,5
28
VIII
1,5
1,0
–1,0
–3,0
1,0
2,5
29
IX
1,0
2,0
–2,0
1,5
–2,5
–3,0
30
X
2,0
3,0
–1,0
2,5
1,5
–2,5
31
I
1,0
1,5
1,0
1,0
–1,0
–2,0
32
II
2,0
1,0
2,5
–2,0
2,0
1,5
33
III
3,0
2,0
1,5
3,0
2,5
1,0
34
IV
1,5
3,0
2,0
–1,5
3,0
2,5
35
V
1,0
1,5
1,0
–2,5
–1,5
–1,0
36
VI
2,0
1,0
–1,5
–1,0
–1,5
1,0
г
а
в
б
а
в
б
Рис.5
Задача 6. Расчет статически определимого
вала, работающего на кручение. Подбор сечения.
Для прямого стержня, нагруженного крутящими моментами по схеме,
указанной на рис.6, необходимо:
1. Записать выражение крутящего момента M(z) и построить его график.
2. Подобратьиз
расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений диаметр круглого
поперечного сечения.
3. Подобрать из расчета на прочность размеры
кольцевого сечения при условии d=α∙D.
4. Сравнить веса выбранных стержней.
5. Найти величину и направление главных напряжений в
опасной точке одного из стержней.
Числовые данные берутся из табл. 6, расчетная схема –
на рис.6.
Рис.6. Схема нагружения и поперечное сечение
Таблица 6
Номер
строки
l,
м
a,
м
b,
м
c,
м
e,
м
L1,
кНм
L2,
кНм
m,
кНм/м
α
[σ],
МПа
1
0,4
0,2
0,4
0
0,3
1,2
- 1,7
4,0
0,8
103
2
0,5
0,4
0,2
0
0,5
1
- 1,5
3,7
0,5
109
3
0,4
0,4
0,2
0,1
0,3
1,5
- 1,9
4,6
0,6
119
4
0,6
0,4
0,6
0,1
0,2
1,5
1,8
- 4,0
0,8
120
5
0,8
0,5
0,7
0,2
0,8
1,2
2,4
3,6
0,7
122
6
0,8
0,3
0,6
0,2
0,8
- 2,6
- 1,1
5,4
0,8
134
7
0,6
0,4
0,6
0,1
0,5
1,5
- 2
3,4
0,8
114
8
0,8
0,3
0,1
0,5
0,8
- 2,5
1,5
3,9
0,6
142
9
0,5
0,3
0,5
0,1
0,2
- 1,2
1,4
3,9
0,6
113
10
0,4
0,2
0,4
0,1
0,2
- 1,4
1,2
3,7
0,9
120
11
0,8
0,3
0,7
0,1
0,5
- 1,5
-2,3
6,3
0,8
100
12
0,8
0,8
0,1
0,3
0,5
- 1,8
1,3
4,5
0,5
113
13
0,4
0,1
0,3
0,2
0,4
0,9
- 1,5
3,7
0,8
121
14
0,5
0,3
0,5
0,1
0,5
- 2,4
1,7
5,4
0,6
102
15
0,6
0,1
0,5
0,2
0,6
1
- 2,6
5,5
0,6
126
16
0,7
0,7
0,3
0,3
0,7
2,2
1,7
-6,4
0,5
117
17
0,4
0,3
0,1
0
0,4
- 1
2,2
5,5
0,6
151
18
0,6
0,6
0,1
0,2
0,4
1,5
- 2,9
5,3
0,6
161
19
0,5
0,3
0,5
0,1
0,4
1,5
1,8
3,7
0,6
164
20
0,5
0,4
0,3
0,1
0,5
- 2,1
1,4
5,7
0,5
124
21
0,4
0,4
0,2
0
0,3
- 0,6
- 0,3
5,2
0,7
122
22
0,8
0,2
0,8
0,3
0,8
1,5
2,5
-3,2
0,7
150
23
0,4
0,3
0,1
0,2
0,4
- 0,5
0,5
7,6
0,7
167
24
0,5
0,3
0,5
0
0,5
- 0,6
0,4
7,3
0,9
166
25
0,8
0,6
0,8
0
0,6
- 0,7
0,6
3,7
0,7
129
26
0,6
0,3
0,1
0,2
0,6
- 1
- 0,3
5,6
0,7
100
27
0,6
0,5
0,6
0,1
0,4
- 0,7
0,3
6,9
0,5
131
28
0,4
0,4
0,2
0
0,1
0,9
- 0,5
6,4
0,6
177
29
0,4
0,1
0,2
0
0,3
- 0,6
1,5
7,1
0,8
162
30
0,6
0,3
0,1
0
0,5
1,5
- 0,8
8,9
0,7
171
в
г
а
б
а
г
в
б
а
г
Примеры выполнения
задач
Пример 1
Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) требуется:
1) определить величину момента X,
при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю,
2) построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания,
3) подобрать диаметр сечения по условию прочности и произвести
проверку бруса на жесткость.
Рис.7. Брус, работающий на кручение:
а - расчетная схема; б - эпюра крутящих моментов; в - эпюра углов закручивания
Решение.
1.Определение величины неизвестного крутящего
момента Х.
Брус жестко заделан левым концомА, правый конец Е свободный.
В сеченияхВ, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения
неизвестного момента Х используем
условие равенства нулю угла поворота сечения Е.
Угол поворота сечения Е относительно
сеченияА
определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:
Крутящие моменты Mкр, входящие в выражение (1), определяются по
приведенному выше правилу.
Вычисления начинаем с незакрепленногоконца:
Используя выражения (2) и сокращая на GJρ,
приводим уравнение (1) к виду
(X-1,9)∙a+(X+0,1)∙b+(X+1,0)∙c+X∙a=0.
Подставляя значения a, b, c(рис.7, а) и решая это уравнение, получаемХ =
0,34 кНм.
Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направление
крутящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, следовательно, направление крутящего
момента, показанное на рис.7, правильно.
2. Построение эпюры крутящих моментов.
Найденное значение Х = 0,34кНм подставляем в выражения
(2), вычисляя таким образом величину крутящего
момента на каждом участке:
;;
;
По найденным значениям Мкр строим эпюру крутящих моментов. Для этого
рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA.
Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.
Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения
сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих
моментов ограничена отрезками прямых(рис.7,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е.
такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.
В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента
3. Подбор диаметра поперечного сечения
бруса.
Используем условие прочности
Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности
Подставляя и [τ]=40∙106 Па, вычисляем диаметр поперечного
сечения, округляя его до стандартной величины:
4. Проверка условия жесткости.
Условие жесткости записываем в форме:
По условию задачи [q]= 1 град/м. Переводя
значение угла из градусной меры в радианную, получаем
Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, определив
предварительно величину полярного момента инерции бруса:
Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно
выполняется:
5. Построение эпюры углов закручивания.
Вычисляем углы закручивания по участкам, используя формулу :
Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих
участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного конца А:
По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания
(рис. 7, в).
Равенство φE=0 является проверкой решения, так как неизвестный крутящий
момент Х определялся из условия
равенства нулю угла поворота свободного конца бруса.
Пример 2
К стальному валу приложены четыре сосредоточенных
момента (рис. 8).
Дано: a=1,2 м,b=1,9
м,c=1,7 м,M1=1,2 кНм, M2=1,9 кНм, M3=1,7 кНм, [τ]=40 Мпа.
Для стали модуль поперечного сдвига равен G=80 Гпа.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) при заданном значении [τ] определить
диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей
величины из нормального ряда чисел: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100,
110, 125, 140, 160, 180, 200 мм;
3) найти наибольший относительный угол закручивания и
проверить жесткость вала при [θ]=0,05 рад/м.
Рис. 8
Решение.
Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях
вала, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений
(рис. 9):
участок № 1 (0≤z1≤1,2
м), =-1,2 кНм;
участок № 2 (0≤z2≤1,7
м), =-1,2+1,7=0,5 кНм;
участок № 3 (0≤z3≤1,9
м), =-1,2+1,7+1,9=2,4 кНм;
участок № 4 (0≤z4≤1,2
м), =-1,2+1,7+1,9-1,2=1,2 кНм.
Для удобства построения эпюр Мкр
принимаем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным,
если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий
на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки.
Рис. 9
Диаметр вала находим из условия прочности по
касательным напряжениям
Принимаем d = 70
мм.
Крутильная жесткость поперечного сечения вала будет
равна (полярный момент инерции для круглого сечения )
Наибольший относительный угол закручивания определяем
по формуле
В нашем случае имеем θmax<[θ], где [θ]=0,05.
Таким образом, условие жесткости (θmax≤[θ])
соблюдается.
Пример 3
К стальному валу приложены четыре сосредоточенных
момента (рис. 10).
Дано: a= b= c=1,4 м,M1=M2=M3=1,4 кНм, [τ]=50 Мпа. Для стали модуль поперечного сдвига равен G=8∙104
МПа.
Требуется:
1)
Установить, при каком значении момента угол поворота концевого сечения вала равен
нулю.
2)
Построить эпюру крутящих моментов.
3)
Определить диаметр вала из условия прочности.
4)
Построить эпюру углов закручивания.
5)
Найти наибольший относительный угол закручивания.
Рис.10
Решение.
1)
Найдем, при каком значении момента угол поворота концевого сечения вала равен
нулю
Получили
значение момента , следовательно, нужно изменить
направление действия момента.
2)
Определи крутящие моменты на каждом участке вала
Участок
АВ:
Участок
BC:
Участок
CD:
Участок
DC:
По
полученным результатам построим эпюру крутящих моментов (рис.11).
Рис.11. Эпюра
3)
Определим диаметр вала
Условие
прочности:
где
–
полярный момент сопротивления сечения вала, –
наибольший по величине крутящий момент.
По
полученным результатам построим эпюру углов закручивания (рис.12).
Рис.12. Эпюра
5)
Наибольший относительный угол закручивания
Пример 4
К статически неопределимому валу приложены четыре
сосредоточенных момента (рис. 13).
Дано: М = 12 кНм; = 2,9 м; = 1,3 м; d = 0,25 м.
Требуется:
1) Раскрыть статическую неопределимость.
2) Построить эпюру крутящих моментов.
3) Вычислить максимальные напряжения в сечениях на
каждом участке вала.
Рис.13
Решение.
Жесткость
вала при кручении по всей его длине постоянна и равна GIp. Для раскрытия статической неопределимости вала
выберем основную систему, отбросив правую заделку и приложив
вместо нее неизвестный пока моментXB.
Составим
уравнение деформаций, приравняв угол закручивания в сечении В
от действия всех скручивающих моментов М, включая момент XB, нулю. При составлении уравнения деформаций будем
пользоваться принципом наложения, суммируя углы закручивания от действия
каждого момента в отдельности:
Отсюда
определим величину
Так
как нагрузка действующая на вал симметрична, то момент в сечении А будет направлен в туже сторону и равен:
Теперь
при известных крутящих моментах построим эпюру крутящих моментов (рис.14).
Рис.14
Вычислим
максимальные напряжения в сечениях на каждом участке вала по формуле:
Пример 5
Для
стержня постоянного сечения (рис. 15) требуется построить эпюру углов
закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал
стержня – сталь, G=80 Гпа.
По
условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допускаемый []=0,001рад/м, то есть . Из эпюры углов поворота, построенной в долях от GIp видно, что максимальный угол поворота находится в
сечении А.
Полярный
момент инерции сечения , откуда найдем диаметр стержня:
Примем
(из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=160 мм.
Окончательно
рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем рад/м; =0 рад/м; рад/м;
По
полученным данным строим эпюру углов закручивания Э(рис.16).
Онлайн-калькулятор "Расчет прочности при кручении вала круглого сечения"
Расчет прочности при кручении вала круглого сечения
кНм - крутящий момент в сечении
см - диаметр сечения
МПа - допускаемые касательные напряжения, определяются исходя из материала и требований к конструкции, можно найти в справочниках
Касательные напряжения при кручении определяются по формуле
τmax=MкрWρ
Полярный момент сопротивления определяется так
Wρ=πd316
Поэтому, условие прочности при кручении
τmax=16Mкрπd3<=[τ]
где, если момент в Ньютонах на метр (Нм), а диаметр в см, напряжения получатся в Мегапаскалях (МПа).
Для нашего случая
τmax=16⋅70000π⋅123=206МПа>[τ]=80МПа
Условие прочности не выполняется, необходимо увеличить сечение
Больше калькуляторов - на SOPROMAT.XYZ, кроме этого: