Главная

 

Задача 1. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений.

Для сечения, изображенного на рис.1 требуется:

1) вычертить сечение в масштабе и показать основные размеры в числах.

2) определить положение центра тяжести и указать положение главных центральных осей.

3) вычислить величину главных моментов инерции и моментов сопротивления сечения.

4) определить главные радиусы инерции сечения.

При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 1.

Таблица 1

 

1 схема                                 2 схема                                  3 схема

 

4 схема                             5 схема                                  6 схема

 

7 схема                                 8 схема                                  9 схема

 

10 схема                                 11 схема                                  12 схема

 

13 схема                                 14 схема                                  15 схема

 

16 схема                                 17 схема                                        18 схема

 

19 схема                                 20 схема                                  21 схема

 

22 схема                      23 схема                                  24 схема

 

25 схема                                 26 схема                                  27 схема

 

28 схема                                 29 схема                                  30 схема

 

31 схема                                 32 схема                                  33 схема

 

34 схема                                 35 схема                                        36 схема

Рис.1

 

Задача 2. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для составного поперечного сечения (рис.2), состоящего из двутавра, швеллера, уголка, заданных в табл.2, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти величину осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей;

3) определить направление главных центральных осей;

4) найти величину моментов инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечений в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.

При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 2 и сортамента.

Таблица 2

 

1 схема                                 2 схема                                  3 схема

 

4 схема                                 5 схема                                  6 схема

                    

 

 

7 схема                                                        8 схема

 

9 схема                                          10 схема

   

 

11 схема                                 12 схема                                  13 схема

 

14 схема                         15 схема                            16 схема

                    

 

 

17 схема                                                        18 схема

 

19 схема                                          20 схема

   

 

21 схема                                 22 схема                              23 схема

 

24 схема                        25 схема                                  26 схема

                    

 

 

27 схема                                                        28 схема

 

29 схема                                          30 схема

   

 

31 схема                                 32 схема                                  33 схема

 

34 схема                            35 схема                               36 схема

                    

Рис. 2

 

Задача 3. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для заданных схем (рис.3) необходимо:

1) Вычертить поперечное сечение в строгом масштабе.

2) Определить положение центра тяжести.

3) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей.

4) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей.

5) Определить положение главных осей инерции.

6) Найти главные моменты инерции.

При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 3 и сортамента.

                                                                                                                                                

Таблица 3

 

1 схема                       2 схема                   3 схема                4 схема

                                     

 

 

5 схема                       6 схема                          7 схема                    8 схема   

               

 

 

9 схема                       10 схема                      11 схема                    12 схема   

                                            

 

 

13 схема                       14 схема                      15 схема                    16 схема   

                                                        

 

 

    17 схема                       18 схема                      19 схема                    20 схема   

                         

 

 

21 схема                       22 схема                      23 схема                    24 схема   

                                            

 

 

25 схема                       26 схема                      27 схема                    28 схема   

                

 

 

       29 схема                 30 схема              31 схема                32 схема   

                               

 

 

33 схема                       34 схема                      35 схема                   36 схема   

            

 

Рис.3

 

Задача 4. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для несимметричных сечений (рис.4) при размерах, указанных в таблице 4, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;

3) определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;

4) построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;

5) сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

При расчете все необходимые данные для прокатных профилей следует взять из сортамента.

                                                                                                                                                          

Таблица 4

      

1 схема                             2 схема                                 3 схема

                                    

 

 

4 схема                                      5 схема                                 6 схема

                                               

 

 

7 схема                                          8 схема                                           9 схема

                                       

 

 

10 схема                                   11 схема                                             12 схема

                                                   

 

 

13схема                                    14 схема                                            15 схема

                                                                     

 

 

16 схема                                    17 схема                                          18 схема

                                

 

 

19 схема                             20 схема                                            21 схема

                           

 

 

22 схема                             23 схема                                 24 схема

                                        

 

 

25 схема                             26 схема                                 27 схема

                                       

 

 

28 схема                                     29 схема                                     30 схема

                             

 

 

31 схема                                 32 схема                                   33 схема

                                             

 

 

34 схема                                      35 схема                                 36 схема

               

 

Рис.4

 

Задача 5. Расчет сложных составных симметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для симметричных сечений (рис.5) при размерах, указанных в таблице 5, требуется:

1) Определить положение центра тяжести.

2) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей.

3) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей.

4) Определить положение главных центральных осей инерции.

5) Найти главные моменты инерции.

6) Построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей.

7) Сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

При расчете все необходимые данные для прокатных профилей следует взять из сортамента.

Таблица 5

 

1 схема                                                2 схема

3 схема                                                 4 схема

5 схема                                                  6 схема

 

7 схема                                                      8 схема

 

9 схема                                                   10 схема

      

 

11 схема                                                   12 схема

 

 

13 схема                                                       14 схема

 

15 схема                                                    16 схема

 

17 схема                                                       18 схема

 

19 схема                                                        20 схема

 

21 схема                                                       22 схема

 

23 схема                                                   24 схема

25 схема                                                    26 схема

27 схема                                                      28 схема

 

29 схема                                                  30 схема

 

31 схема                                               32 схема

 

33 схема                                             34 схема

 

35 схема                                                     36 схема

Рис.5

 

Задача 6. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для несимметричных сечений (рис.6) при размерах, указанных в таблице 6, требуется:

1) Определить положение центра тяжести.

2) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей.

3) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей.

4) Определить положение главных центральных осей инерции.

5) Найти главные моменты инерции.

6) Построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей.

7) Сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

При расчете все необходимые данные для прокатных профилей следует взять из сортамента.

Таблица 6

 

1 схема                                          2 схема

 

3 схема                                                 4 схема

 

5 схема                                              6 схема

 

7 схема                                                 8 схема

 

9 схема                                                   10 схема

      

 

11 схема                                                   12 схема

 

 

13 схема                                                14 схема

 

15 схема                                                16 схема

 

 

17 схема                                                     18 схема

 

19 схема                                                        20 схема

 

21 схема                                               22 схема

 

23 схема                                            24 схема

 

25 схема                                        26 схема

 

27 схема                                                28 схема

    

 

29 схема                                             30 схема

 

 

31 схема                                               32 схема

           

 

 

33 схема                                             34 схема

      

 

 

35 схема                                                     36 схема

Рис.6

 

Задача 7. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для несимметричных составных сечений (рис.7) при размерах, указанных в табл. 7, требуется:

1) Определить положение центра тяжести x_c и y_c.

2) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей J_x и J_y.

3) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей J_xy.

4) Определить положение главных центральных осей инерции (угол наклона главной оси инерции α_x).

5) Найти главные моменты инерции J_max и J_min.

6) Построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей.

Ось x горизонтальная, направлена направо, ось y вертикальная, направлена вверх.

При расчете все необходимые данные для прокатных профилей следует взять из сортамента.

Таблица 7

 

1 схема                    2 схема                3 схема

                                                   

 

 

               4 схема                                   5 схема                       6 схема

                 

                        

 

     7 схема                         8 схема                     9 схема

                                                    

 

 

10 схема                                   11 схема                                     12 схема

                                              

 

 

13 схема                       14 схема                15 схема

                                          

 

 

16 схема                                  17 схема                       18 схема

 

 

 

19 схема                     20 схема                     21 схема

                        

 

 

22 схема                       23 схема                24 схема

                                     

 

 

25 схема                                 26 схема                           27 схема

 

 

28 схема                       29 схема                30 схема

                                                             

 

 

31 схема                   32 схема                33 схема

                                        

 

 

34 схема                 35 схема                       36 схема

                            

Рис.7

 

Задача 8. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для составного несимметричного сечения, состоящего из листа и прокатных профилей, требуется:

1. Определить координаты центра тяжести сечения.

2. Вычислить центральные моменты инерции сечения.

3. Определить направление главных центральных осей инерции сечения.

4. Вычислить главные центральные моменты инерции сечения.

5. Выполнить проверку расчета.

Примечания:

1. При решении задачи сечение в плоскости чертежа не поворачивать.

2. Данные для решения задачи взять в табл. 8 и на рис 8.

3. Все чертежи выполнить согласно государственных стандартов с нанесением необходимых обозначений и размеров.

 

Таблица 8

 

1 схема                      2 схема                       3 схема                     4 схема                  5 схема

                         

 

 

6 схема                7 схема                8 схема                   9 схема                  10 схема

                        

 

 

11 схема             12 схема                13 схема                14 схема               15 схема

                            

 

 

16 схема             17 схема                18 схема                 19 схема               20 схема

                    

 

 

21 схема                22 схема                23 схема                24 схема            25 схема

                    

 

 

26 схема                27 схема                  28 схема               29 схема                 30 схема

                    

Рис. 8

 

Задача 9. Расчет сложных составных симметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Для двух заданных сечений, состоящих из нескольких элементов или име­ю­щих вырезы, определить положение главных центральных осей инер­ции и вы­чис­лить величины моментов инерции относительно этих осей.

Первое сечение для расчета выбирается на рис. 9.1, второе – на рис. 9.2. Размеры элементов сечений и номера прокатных профилей берутся из таблицы 9. При рас­чете сечения, состоящего из прокатных профилей, уголок следует при­нимать в соответствии с заданными размерами; он может быть равнобоким или не­рав­нобоким.

Таблица 9

 

1 схема                                  2 схема

        

 

3 схема                                         4 схема

 

5 схема                                     6 схема

        

 

7 схема                                8 схема

      

 

9 схема                                        10 схема

     

Рис. 9.1

 

1 схема                                     2 схема

 

 

3 схема                                     4 схема

     

 

5 схема                                         6 схема

 

 

7 схема                                        8 схема

  

 

9 схема                                 10 схема

 

Рис. 9.2

 

Задача 10. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей.

Задано  сечение стального бруса, который состоит из листа и профильного проката – швеллера или двутавра. Одна ось (X или Y) является общей центральной осью составного сечения  (рис. 10).

Требуется:

1. Привести геометрические характеристики простых составляющих сечения относительно их собственных центральных осей.

2. Вычертить сечение в масштабе с указанием основных размеров в числах и обозначением центральных осей простых составляющих сечения, параллельных вспомогательным осям.

3. Определить координаты центра тяжести всего сечения и построить на чертеже главные центральные оси, параллельные вспомогательным осям.

4. Выполнить проверку правильности выполнения третьего пункта путём вычисления статического момента всего сечения относительно общих центральных осей.

5. Определить значения главных центральных моментов инерции сечения.

6. Определить значения осевых моментов сопротивления (W_X, W_Y).

Данные взять из табл. 10 и рис.10.

Таблица 10

 

1 схема                     2 схема

        

 

3 схема                    4 схема             

    

 

5 схема                           6 схема                   

            

 

7 схема                   8 схема

         

 

9 схема                   10 схема

              

Рис. 10

 

Задача 11. Расчет сложных составных несимметричных поперечных сечений из прокатных профилей и фигур.

Для несимметричных сечений состоящих из двух фигур: поперечного сечения стандартного стального прокатного профиля и прямоугольника или треугольника (рис.11) при размерах указанных в таблице 11 требуется:

1) определить положение центра тяжести составной фигуры;

2) вычислить моменты инерции фигуры (осевые и центробежный) относительно произвольных центральных осей;

3) вычислить главные центральные моменты инерции;

4) определить положение главных центральных осей;

5) вычертить фигуру в масштабе, при этом  показать все необходимые оси с указанием расстояний между ними, а также всех используемых размеров фигур, составляющих общую фигуру. Рисунок выполнить на отдельном листе формата А4.

При расчете все необходимые данные для прокатных профилей следует взять из сортамента.

 

Таблица 11

 

 

Рис.11

 

Задача 12. Расчет сложных симметричных поперечных сечений из фигур.

Для заданного сложного симметричного поперечного сечения требуется:

1. Начертить составную фигуру в масштабе 1:2 и указать на чертеже все размеры в буквенном и численном виде.

2. Ввести вспомогательную ось х_в и определить положение центра тяжести фигуры.

3. Определить главные моменты инерции фигуры.

Данные взять из табл. 12 и рис.12.

Таблица 12

 

1 схема                                                2 схема

          

 

 

3 схема                                                               4 схема

       

 

 

5 схема                                                     6 схема

            

 

 

7 схема                                                    8 схема

       

 

 

9 схема                                                         10 схема

           

Рис.12

 

 

Примеры выполнения задач

Пример 1

Плоская симметричная фигура (рис. 13) представлена трапецией с основаниями 12 см и 4 см с высотой 9 см. С центром на расстоянии 5 см от нижнего основания вырезан круг диаметром 6 см.

Требуется:

1. Найти центр тяжести фигуры.

2. Определить моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей х_с и у_с.

Рис.13

Решение.

Вводим вспомогательную ось х_В. Ординату у_с центра тяжести сечения найдем по формуле

Дополним трапецию треугольником с основанием 4 см, высота которого определяется пропорцией

Заданная фигура представляется совокупностью треугольника с основанием 12 см и высотой 13,5 см; круга и построенного треугольника с основанием 4 см и высотой h = 4,5 см.

Их площади и ординаты центров тяжести

Общая площадь фигуры

A=A₁-A₂-A₃=481-9-28,87=43,7 см².

Ордината центра тяжести составной фигуры

Оси х₁, х₂ и х₃ удалены от оси х_С на расстояния

Момент инерции составной фигуры относительно оси х_С в соответствии с формулами параллельного переноса

Ось симметрии у является главной центральной осью инерции. Момент инерции относительно оси у находится без использования формулы параллельного переноса оси.

 

Пример 2

В примере приняты схема, изображенная на рис. 14, и данные, представленные в табл. 14.

Рис.14. Схема фигуры

 

Таблица 14

 

Решение.

Исходные данные фигур

Швеллер № 18 (см. раздел «Справочные данные»):

H = 18 см – высота швеллера;

b = 7 см – ширина полки;

А = 20,7 см²  – площадь поперечного сечения;

J_max = 1090 см⁴ – наибольший момент инерции;

J_min = 86 см⁴ – наименьший момент инерции;

z₀ = 1,94 см – расстояние от наружной грани до центральной оси.

Прямоугольник:

h₁ = 0,75b = 0,75∙7 = 5,25 см;

h₂ = 0,25b = 0,25∙7 = 1,75 см;

d = 0,7b = 0,7∙7 = 4,9 см;

А = b∙0,7b = 7² ∙0,7 = 34,3 см².

Рисунок фигуры в масштабе

Рис. 15. Расчетные положения систем координатных осей составной фигуры

Примечание: оси, обозначения размеров или размеры наносятся на рисунок по мере выполнения расчетов.

 

1) Определение положения центра тяжести составной фигуры

(Далее индекс 1 относится к параметрам швеллера, а 2 – прямоугольника).

Определяются координаты центров тяжести отдельных фигур в выбранных осях X, Y (рис. 15):

X₁ = z₀ = 1,94 см;

Y₁ = H/2 = 18/2 = 9 см;

X₂ =  b + d/2 = 7 + 4,9/2 = 9,45 см;

Y₂ = H – h₁ + b/2 = 18 – 5,25 + 7/2 = 16,25 см.

Вычисляются координаты центра тяжести всей фигуры:

Через центр тяжести (точка С) проводятся центральные оси х, у.

 

2) Определение моментов инерции фигуры относительно центральных осей х, у

Предварительно вычисляются расстояния от центральных осей отдельных фигур до центральных осей х, у (см. рис. 15):

а₁ = X_C  - X₁ = 6,62 – 1,94 = 4,68 см;

b₁ = Y_C  - Y₁ = 13,52 - 9 = 4,52 см;

а₂ = X_C  -  X₂ = 6,62 – 9,45 = -2,83 см;

b₂ = Y_C  – Y₂ = 13,52 – 16,25 = -2,73 см.

Вычисляются моменты инерции фигуры относительно центральных осей х, у:

J_х = J_x1+ b₁²А₁ + J_x2+ b₂²А₂ =

= 1090 + 4,52²∙20,7 + 4,9∙7³/12 + (-2,73)²∙34,3 = 1908,6 см⁴;

J_у = J_y1+ а₁²А₁ + J_y1+ а₂²А₂ =

= 86 + 4,68² ∙20,7 + 7∙4,9³/12 + (-2,83)²∙34,3 = 882,7 см⁴;

J_ху = J_x1y1+ а₁b₁А₁ + J_x2y2+ а₂b₂А₂ =

= 0 + 4,68∙4,52∙20,7 + 0 + (-2,83)(-2,73)∙34,3= 702,9 см⁴.

3) Определение главных центральных моментов инерции фигуры

J_max  = 2265,9 см⁴.         J_min  = 525,5 см⁴.

 

4) Определение положения главных центральных осей

α = -26,9^°.

Через центр тяжести фигуры проводятся главные центральные оси u, v (см. рис.15).

Таким образом,

J_u = J_max  = 2265,9 см⁴,

J_v = J_min  = 525,5 см⁴.

 

 

Пример 3

Рассмотрим сечение, имеющее две оси симметрии (рис. 16). Разбиваем это составное сечение на элементарные: I, II – прямоугольники, III - круг.

Рис.16

 

Решение.

1. Определение центра тяжести.

В качестве вспомогательных осей выбираем оси круга X₃, Y₃. В этом случае координата центра тяжести X_C= 0,  т.к.  центр тяжести сечения  должен быть  на  оси симметрии Y₃.

На основании формулы получим:

где A₁=b_1∙h₁=2∙2 = 4 см²;    A₂=b_2∙h₂=4∙6= 24 см²;    A₃=πd²/4=3,14∙1,5²/4=1,76 см²;

Y₁=-5 см;   Y₂=-1 см;   Y₃=0.      

Проводим центральные оси X_C, Y_C. Эти оси являются главными центральными осями сечения.

2. Определение главных центральных моментов инерции.

Для определения главных центральных моментов инерции применим формулы параллельного переноса

J_x=J_Xc+n²A,

J_y=J_yc+m²A,

J_xy=J_XcYc+nmA,

а также формулы:

                                

И формулы

Получаем

где n₁= –3,32 см; n₂= 0,68 см; n₃= 1,68 см.

Так как оси Y₁, Y₂, Y₃, Y_C совпали, то главный центральный момент инерции всего сечения относительно оси Y_C определим как алгебраическую сумму осевых моментов составляющих сечений:

 

 

Пример 4

Задано сечение, составленное из прокатных профилей: швеллера № 16а и двух неравнобоких уголков 80×50×6 (рис. 17). Требуется вычислить главные центральные  моменты инерции.

Рис. 17

Решение.

1. Из таблиц сортамента выписываются геометрические характеристики прокатных профилей, составляющих заданное сечение.

Швеллер №16а: размеры h =160 мм, b = 68 мм, площадь сечения F₁ =19,5 см²; осевые моменты инерции =823 см⁴,  =78,8 см⁴, коор­дината центра тяжести z₀=2 см.

Неравнобокий уголок 80×50×6: площадь сечения F₂ =7,55 см²; осевые моменты инерции =49 см⁴,  =14,8 см⁴, координаты центра тяжести  y₀=2,65 см, x₀=1,17 см..

Примечание. Если в состав сечения входит прямоугольник, то следует  вычислить площадь  и  осевые  моменты   инерции    

В соответствии с заданным вариантом сечения выполняется чертеж в масштабе 1:2 с указанием характерных размеров.

На чертеж наносятся центры тяжести швеллера C₁ и уголка C₂  и проводятся их собственные центральные оси y₁, z₁ и y₂, z₂ (см. рис. 17).

2. Определение положения центра тяжести заданного сечения.

Заданное сечение имеет одну ось симметрии, которая является главной цент­ральной осью. Выбираем исходную систему координат: ось абсцисс y ^/ совмещаем c нижней границей сечения, а ось ординат Z -  с осью симметрии. Координаты точек C₁ и C₂ легко опреде­ляются по чертежу.

Учитывая симметрию сечения, вычисляем ор­ди­нату его центра тяжести по формуле

где  F₁ - площадь швеллера, F₁=19,5 см²,

z_c1 - ордината точки C₁, z_c1 =6,8-2,0=4,8 см;

F₂ - площадь одного уголка, F₂ =7,55 см²;

Z_c2 - ордината точки – C₂, Z_c2 =y₀=2,65 см.

После подстановки числовых значений получаем

Откладывая найденное значение z_c=3,9 см на оси Z вверх от оси y^/, находим положение центра тяжести всего сечения C и проводим главные центральные оси  Y , Z.

Примечание. Если фигура имеет две оси симметрии, центр тяжести лежит на их пересечении, то вычислений для определения его положения про­из­во­дить не нужно.

3. Вычисление главных центральных моментов инерции сечения отно­си­тельно осей  Y и  Z .

Расстояния между осями определяются по чертежу:

а₁=6,8-3,9-2=0,90 см;

а₂=3,9-2,65=1,25 см;

b₁=0, так как оси Z и Z₁ совпадают;

b₂=8+1,17=9,17 см.

Главные центральные моменты инерции составного сечения J_Y и J_Z вычис­ляются по формулам

После подстановки числовых значений в эти формулы, получаем:

J_y=(78,8+0,9²∙19,5)+2∙(49+1,25²∙7,55)=216,2 см⁴;

J_z=(823)+2∙(14,8+9,17²∙7,55)=2122 см⁴.

 

 

Пример 5

Задано сечение (рис. 18). Размеры сечения заданы в сантиметрах. Требуется определить  главные центральные моменты инерции этого сечения.

 

Рис. 18

 

Решение.

1. Заданное сечение вычерчивается в масштабе 1:2 и разбивается на про­стейшие фигуры: квадрат (1), прямоугольник (2) и круговое отверстие (3). На чертеже по­казываются центры тяжести составляющих фигур (точки C₁ и C_2,3) и про­водятся их главные центральные оси y₁, z₁; y₂, z₂ и y₃, z₃ (см. рис. 18). Площади и моменты инерции составляющих фигур отно­сит­ель­но их централь­ных осей вычисляются по известным формулам.

Для квадрата

F₁=a²=20²=400 см²;

Для прямоугольника

F₂=a∙1,5a=20∙1,5∙20=600 см²;

Для круга

 

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Центр тяжести составной фигуры лежит на ее оси симметрии Y. Вспо­мо­га­­тельная ось z’ совмещается с левой границей сечения. Коор­дината це­н­тра тя­же­с­ти всего сечения y_c  в системе Yoz’ определяется по фор­­муле:

По чертежу определяются абсциссы точек C₁ и C_2,3:

y_c1=1,5a=1,5∙20=30 см;

y_c2=y_c3=0,5a=0,5∙20=10 см.

Площадь круга подставляется в формулу (1) со знаком минус, так как площадь отверстия принято считать отрицательной величиной.

Подставляя числовые значения, получаем

Откладывая на оси Y отрезок ОС =19,5 см, находим точку С - центр тя­жес­ти составного сечения и проводим главную центральную ось Z, парал­лельную оси z^/ (см. рис.18).

3. Вычисление моментов инерции относительно главных центральных осей Y, Z.

Используем формулы

как и в предыдущем примере. Перед послед­ним слагаемым в скобках ставится знак минус, так как моменты инерции от­­вер­стия считаются отрицательными:

    

Моменты инерции составляющих фигур относительно собственных гла­в­­ных центральных осей вычислены ранее. Оси y₁, y₂ и y₃ совпадают с гла­в­ной центральной осью Y всей фигуры, поэтому расстояния между эти­ми ося­ми и осью  Y  равны нулю:

a₁=a₂=a₃=0.

По чертежу находим расстояние между осями Z  и Z₁

b₁=a+0,5a-y_c=20+0,5∙20-19,5=10,5 см.

и расстояние между осями Z и Z₂

b₂=b₃=z_c-0,5a=19,5-0,5∙20=9,5 см.

Подставляя числовые значения в (2), вычисляем главные центральные моменты инерции составного сечения:

J_Y=13333+45000-1885=56448 см⁴;

J_z=(13333+400∙10,5²)+(20000+600∙9,5²)-(1885+154∙9,5²)=115800 см⁴.

 

 

Пример 6

Для заданного поперечного сечения (рис. 19), состоящего из двух стандартных профилей (швеллера и равнобокого уголка), требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей;

3) определить направление главных центральных осей (u и ν);

4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечение и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Дано: Сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 125×125×12.

Рис. 19

Решение.

Из сортамента прокатной стали выписываем необходимые геометрические для швеллера №20 (ГОСТ 8240-86): A=23,4 см²,   h=20 см,   b=7,6 см,   z₀=2,07 см,   I_x=1520 см⁴,   I_y=113 см⁴; для уголка (ГОСТ 8509-86) имеем: A=28,9 см²,   b=12,5 см,   z₀=3,53 см,   I_x=422 см⁴,  =670 см⁴,  =174 см⁴.

Определяем координаты центра тяжести сечения относительно координат x₁ и y₂, представив его в виде двух простых фигур (рис. 18):

Здесь y_шв, y_уг и x_шв, x_уг - расстояния от центров тяжести простых фигур швеллера и уголка до вспомогательных осей x₁ и y₂.

Центр тяжести заданного сечения (точка C) должен лежать на прямой C₁C₂. Проводим через него центральные оси инерции x_c, y_c и определяем осевые и центробежный моменты инерции относительно этих осей по формулам для случая параллельного переноса осей:

Рис. 20

 

Здесь a₁=-y_c=-7,48 см,   b₁=3,81 см,  a₂=6,05 см,   b₂=-x_c=-3,09 см - координаты центров тяжести швеллера и уголка в осях x_c, y_c.

Центробежный момент инерции сечения для уголка относительно осей x₂, y₂ можно определить по формуле:

Знак минус здесь поставлен, так как большая часть сечения уголка находится во второй и четвертой четвертях, где координаты имеют разные знаки. Центробежный момент инерции сечения для всего сечения:

Определяем угол наклона главных центральных осей:

Для нахождения оси max u ось x_c () поворачиваем против часовой стрелки  (∠α>0)  на α=21,3°.

Находим значения главных центральных моментов инерции:

I_max=4877 см⁴,   I_min=583 см⁴.  

Проверкой нам служит соблюдение равенства

4309+1151=4877+583;  

5460=5460.

 

 

Пример 7

Для заданного поперечного сечения (рис. 21), состоящего из двух стандартных профилей (швеллера и равнобокого уголка), требуется:

1) Вычертить сечения в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры в числах.

2) Определить положение центра тяжести сечения.

3) Найти осевые и центробежный момент инерции относительно центральных осей.

4) Определить направление главных центральных осей.

5) Найти моменты инерции относительно главных осей.

Дано: Сечение состоит из швеллера №20 и равнобокого уголка 90×90×8.

Рис.21

Решение.

1) Выбираем вспомогательные оси  и выпишем все необходимые геометрические характеристики каждого профиля:

Уголок равнополочный (ГОСТ 8509 – 86):

Швеллер №20 (ГОСТ 8240 – 72):

2) Определим положение центра тяжести сечения в системе координат

 

3) Вычислим осевые и центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей

4) Угол наклона главных центральных осей

Т.к. , то поворот выполняем по часовой стрелке.

5) Вычислим моменты инерции относительно главных центральных осей

Проверка:

 

 

Пример 8

Для заданного поперечного сечения (рис.22), состоящего из двух стандартных профилей (швеллера и неравнобокого уголка), требуется:

1) Определить положение центра тяжести несимметричного сечения, состоящего из стандартных профилей;

2) Определить положение главных центральных  осей и  вычислить значения главных центральных моментов инерции сечения.

Дано: Сечение состоит из швеллера №18а и неравнобокого уголка 14×9×0,8; а=37 мм.

Рис.22

 

Решение.

По размерам, взятым из ГОСТ8240-72 и ГОСТ8510-72, вычерчиваем соответственно швеллер 18а и уголки .

1) Определим центр тяжести сечения:

Разобьем сечения на элементы I, III и обозначаем их центры тяжести (C₁ и C₂), через которые проводим соответственно параллельные центральные оси X₁ и Y₁, X₂ и Y₂ (рис.23). Вычислим расстояние между осями и указываем  их на чертеже.

Площади сечений швеллера и уголка даны в таблицах ГОСТов:

Общая площадь сечения:

По рис.23 рассчитаем расстояние .

По условию АВ = a = 37 мм, ВС = 140 мм. Отсюда АС = АВ+ВС = 177 мм.

Из ГОСТ8240-72 и ГОСТ8510-72 найдем расстояния DE (оно равно 21,3 мм) и CF (оно равно 20,3 мм), HC (оно равно 44,9 мм).

Расстояние AJ = DE= 21,3 мм,

Расстояние от C₁ до C₂  по оси X- это расстояние  (отрезок JH):

JH = AC – AJ – HC = 177 – 44,9 – 21,3 = 110,8 мм 

Расстояние от C₁ до C₂  по оси Y- это расстояние  (отрезок LM):

LM = AL + AM

AM = - CF = -20,3 мм; AL = -90 мм

LM = AL + AM = - 90 + (-20,3) =  -110,3 мм

Находим положение центров тяжести сечения в системе координат C₁X₁Y₁:

Отмечаем центр тяжести на чертеже (т. С). Сделаем проверку. Проведем прямую С₁С₂. Точка С лежит на данной прямой, значит координаты  найдены верно.

Через центр тяжести сечения проводим оси X₀ и Y₀ и указываем расстояние между осями X₁ и X₀ , Y₁ и Y₀.

Размеры указаны в миллиметрах

Рис.23

 

2) Определение осевых и центробежного моментов инерции сечения (рис.24).

Выписываем из таблиц ГОСТов необходимые значения моментов инерции элементов сечения относительно указанных на чертеже осей:

Ось  для уголка есть ось минимального момента инерции. Она наклонена к центральной оси, параллельной длинной полке под углом  (по ГОСТу ) и пересекает обе полки уголка. В данном случае

Вторая главная центральная ось уголка (V₂) перпендикулярна оси . Для этой оси:

Центробежный момента инерции  уголка относительно его центральных осей X₂ и Y₂:

Проверим полученное значение:

Значения равны, значит, центробежный момент инерции  уголка найден правильно.

Для швеллера оси X₁ и Y₁ являются главными центральными, т.к. ось X₁  есть ось симметрии. Поэтому

Расстояние a₁ =

Расстояние a₂ =

Расстояние b₁ =

Расстояние b₂ =

Вычислим осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей X₀ и Y₀: 

 

Размеры указаны в миллиметрах

Рис.24

 

3) Определение положения главных центральных осей и вычисление значения главных центральных моментов инерции сечения.

Следовательно:

  

Т.к. , оси X₀ и Y₀ для получения направлений главных центральных осей заданного сечения следует повернуть против хода часовой стрелки.

Вычислим значения главных центральных моментов инерции сечения:

 

 

 

Проверим правильность определения :

 

Главные центральные оси U (min) и V (max) проведены на чертеже сечения.

 

Онлайн-калькулятор "Расчет геометрических характеристик кольцевого сечения"

 

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов