Главная

Задача 1. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для балки, изображенной на рис.1, требуется:

1) простроить эпюры внутренних усилий;

2) указать положение опасного сечения.

3) для стальной балки из швеллера, подобрать номер прокатного профиля из условия прочности.

Данные взять из табл.1.

Таблица 1

Номер cтроки	Схема балки по рис.1	F1, см^2	а, м	b, м	М, кНм	q, кН/м
01	1	12	1	2	24	5
02	2	10	2	2	16	4
03	3	12	3	2	12	6
04	4	6	2	3	18	2
05	5	8	1	3	20	4
06	6	10	3	1	12	2
07	7	6	2	2	12	3
08	8	8	1	2	12	6
09	9	6	2	1	16	5
10	10	12	1	3	10	6
11	11	11	1	2	12	6
12	12	12	3	3	18	2
13	13	10	2	3	20	4
14	14	12	1	1	12	2
15	15	6	2	2	12	3
16	16	8	1	2	12	6
17	17	10	2	1	18	5
18	18	6	3	2	20	6
19	19	8	2	2	12	2
20	20	6	1	3	12	4
21	21	12	3	3	12	2
22	22	12	2	1	16	3
23	23	13	1	2	10	6
24	24	14	1	2	12	5
25	25	12	3	1	18	6
26	26	10	2	3	20	6
27	27	12	1	2	12	2
28	28	6	2	3	24	4
29	29	8	1	3	16	2
30	30	10	2	1	12	3
31	31	6	3	2	18	6
32	32	8	2	2	20	5
33	33	6	1	1	12	6
34	34	12	3	3	12	2
35	35	11	2	2	16	4
36	36	12	3	3	12	2
	г	г	а	б	б	в

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

31 схема 32 схема

33 схема 34 схема

35 схема 36 схема

Рис.1

Задача 2. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для одной из многопролетных балок, изображенных на рис. 2 требуется:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечении k;

2) определить усилия в сечении k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах;

3) найти максимальное и минимальное значение изгибающего момента в сечении k от подвижной системы связанных грузов, показанной на рис.3.

Исходные данные для расчета принять из табл. 2.

Таблица 2

Номер строки	Схемы балки по рис. 2	l, м	M, кНм	F, кН	q, кН/м
01	1	2	6	4	2
02	2	3	5	5	1
03	3	4	4	3	3
04	4	2	6	6	4
05	5	2	8	7	2
06	6	4	10	2	1
07	7	3	7	8	3
08	8	5	10	3	2
09	9	1	9	4	1
10	10	2	8	7	4
11	11	4	7	8	5
12	12	3	6	3	2
13	13	2	5	6	4
14	14	5	2	5	3
15	15	3	5	2	5
16	16	4	6	8	1
17	17	3	7	5	4
18	18	1	8	3	2
19	19	2	9	4	5
20	20	5	10	8	3
21	21	3	4	9	1
22	22	2	5	2	3
23	23	4	8	3	2
24	24	2	7	5	4
25	25	1	6	7	5
26	1	5	4	6	2
27	2	5	2	5	3
28	3	3	5	2	5
29	4	4	6	8	1
30	5	3	7	5	4
31	6	1	8	3	2
32	7	2	9	4	5
33	8	5	10	8	3
34	9	3	4	9	1
35	10	2	5	2	3
	б	в	а	г	в

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема

Рис.2

Рис.3

Пояснения к решению задачи

1) Стержневая система является статически определимой, если степень ее свободы W равна нулю и она геометрически неизменяемая. В геометрически неизменяемых системах перемещения от нагрузок являются следствием только деформаций ее элементов. Для многопролетных статически определимых балок анализ геометрической неизменяемости проще выполнять через построение т.н. «монтажно-поэтажной» схемы, показывающей последовательность монтажа отдельных балок. На каждом «этаже» такой схемы должно присутствовать три связи.

2) При определении реакций в связях многопролетной статически определимой балки целесообразно воспользоваться наиболее общим подходом, заключающимся в том, что любая многодисковая статически определимая система может быть представлена в виде набора отдельных дисков с действующими на них внешними нагрузками и реакциями связей, обеспечивающих им равновесие в составе системы. В теории статически определимых систем доказано, что число независимых уравнений статики в точности равно числу реакций в связях, включая и силы взаимодействия в шарнирах, которые на смежные диски прикладываются в соответствии с законом Ньютона «действие равно противодействию», т.е. равными и противоположно направленными.

Примечание. Сосредоточенные внешние силы, действующие на шарниры, можно приложить к любому из смежных дисков.

После построения эпюр внутренних силовых факторов в отдельных дисках они объединяются и образуют эпюры для многопролетной балки в целом.

3) При построении линий влияния усилий в многопролетных балках проще всего воспользоваться статико-кинематическим методом. Поскольку линии влияния усилий в статически определимых системах имеют полигональный вид, то достаточно найти всего одну наиболее просто определяемую из условий равновесия ординату этой линии влияния. В примере определена ордината, когда единичный груз установлен над сечением k. При таком положении груза второстепенные балки не работают, их можно отбросить и из законов равновесия определить изгибающий момент и поперечную силу в сечении k основной балки.

4) Определение максимального и минимального значений усилия S от подвижной системы связанных между собой сосредоточенных грузов требует нахождения невыгодного загружения линии влияния этой системой грузов. В теории линий влияния доказано, что в при невыгодном загружении один из грузов (критический) должен находиться над одной из вершин (критической) линии влияния: над выпуклой, если отыскивается maxS, и вогнутой, если отыскивается minS (линия влияния при этом не должна быть перевернута). Условием, что груз и вершина действительно критические, является смена знака производной усилия при переходе грузом вершины: с «+» на «–», если отыскивается maxS, и с «–» на «+», если minS. Производная усилия определяется по формуле:

где F_i – сосредоточенный груз;

α_i - угол наклона линии влияния в месте приложения сосредоточенного груза F_i.

Задача нахождения критического груза и критической вершины решается перебором возможных вариантов. Определение maxS и minS осуществляется по формуле влияния

где F_i – сосредоточенный груз;

у_i – ординаты линии влияния усилия S под сосредоточенными грузами, установленными в положение невыгодного загружения.

Задача 3. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для одной из многопролетных балок, изображенных на рис.4 требуется определить реакции опор.

Исходные данные для расчета принять из табл. 3.

Таблица 3

Номер cтроки	Схемы балки по рис.4	m, кНм	q1, кН/м	q2, кН/м	P, кН	F, кН
01	1	2	6	5	8	7
02	2	2	7	8	9	8
03	3	8	8	6	7	9
04	4	4	2	7	8	5
05	5	6	5	9	6	8
06	6	9	9	4	8	7
07	7	7	3	2	9	9
08	8	5	6	8	7	5
09	9	8	5	8	8	6
10	10	2	6	6	6	7
11	11	3	6	7	8	8
12	12	2	2	9	9	9
13	13	2	4	4	7	5
14	14	8	2	2	8	8
15	15	4	3	3	6	7
16	16	6	6	8	8	9
17	17	9	5	6	9	5
18	18	7	6	7	7	6
19	19	5	2	9	8	9
20	20	8	4	4	6	5
21	21	2	2	2	8	6
22	22	3	3	8	9	7
23	23	2	6	8	7	8
24	24	2	5	6	8	9
25	25	8	6	7	6	5
26	26	4	6	2	8	8
27	27	6	2	3	9	7
28	28	9	4	8	7	9
29	29	7	2	6	8	9
30	30	5	3	7	6	5
31	31	8	6	6	6	8
32	32	2	5	7	8	7
33	33	3	6	9	9	9
34	34	5	2	4	7	5
35	35	8	4	2	8	6
36	36	9	6	8	6	7
	б	г	в	а	б	а

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

31 схема 32 схема

33 схема 34 схема

35 схема 36 схема

Рис.4

Задача 4. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для составной балки, изображенной на рис.5 построить эпюры внутренних силовых факторов Q и M.

Исходные данные для расчета принять из табл. 4 и рис.4.

Таблица 4

Номер cтроки	Схема балки по рис.5	l1/l	l2/l	l3/l	F1/P	F2/P	M/Pl
01	I	2	1	1	2	1	1
02	II	1	2	2	2	2	1
03	III	2	1	1	3	1	1
04	IV	1	2	2	3	2	1
05	V	1	2	1	1	1	2
06	VI	2	1	2	1	2	2
07	VII	2	1	2	2	2	1
08	VIII	1	2	1	3	1	1
09	IX	1	2	2	1	2	2
10	X	2	1	1	2	1	1
11	I	2	1	1	2	1	1
12	II	1	2	2	2	2	1
13	III	2	1	1	3	1	1
14	IV	1	2	2	3	2	1
15	V	1	2	1	1	1	2
16	VI	2	1	2	1	2	2
17	VII	2	1	2	2	2	1
18	VIII	1	2	1	3	1	1
19	IX	1	2	2	1	2	2
20	X	2	1	1	2	1	1
21	I	2	1	1	2	1	1
22	II	1	2	2	2	2	1
23	III	2	1	1	3	1	1
24	IV	1	2	2	3	2	1
25	V	1	2	1	1	1	2
26	VI	2	1	2	1	2	2
27	VII	2	1	2	2	2	1
28	VIII	1	2	1	3	1	1
29	IX	1	2	2	1	2	2
30	X	2	1	1	2	1	1
31	I	2	1	1	2	1	1
32	II	1	2	2	2	2	1
33	III	2	1	1	3	1	1
34	IV	1	2	2	3	2	1
35	V	1	2	1	1	1	2
36	VI	2	1	2	1	2	2
	а	г	б	а	в	б	г

Рис.5

Задача 5. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для балки, выбранной согласно варианту (рис.6), требуется:

1) построить эпюры изгибающих моментов M и поперечных сил Q от заданной внешней нагрузки аналитически;

2) построить линии влияния изгибающего момента M и поперечной силы Q во всех сечениях, показанных на рис. 6, а также линию влияния опорной реакции R (по выбору) от действия подвижной нагрузки;

3) определить по линиям влияния изгибающий момент M, поперечную силу Q и опорную реакцию R от заданной внешней нагрузки и сравнить их со значениями, полученными в пункте 1).

Исходные данные выбираются из табл.5.

Таблица 5

Номер cтроки	Схема балки по рис.6	а, м	q1, кН/м	q2, кН/м	P1, кН	P2, кН	M1, кНм	M2, кНм
01	1	0,8	1,2	0	0	3,2	2,0	0
02	2	1,5	0	2,2	3,0	0	0	1,5
03	3	1,9	2,0	0	0	4,0	2,2	0
04	4	1,4	0	1,0	2,5	0	0	2,8
05	5	2,1	1,8	0	0	8,0	2,7	0
06	6	1,3	0	0,8	6,0	0	0	3,0
07	7	2,2	3,0	0	0	5,0	2,4	0
08	8	2,0	0	1,4	2,8	0	0	2,6
09	9	1,2	1,5	0	0	3,3	2,5	0
10	10	1,0	0	2,5	7,0	0	0	1,1
11	11	0,9	1,4	0	0	2,6	1,7	0
12	12	1,6	0	1,5	3,6	0	0	1,1
13	13	1,7	1,6	0	0	2,2	1,8	0
14	14	1,8	0	1,8	2,8	0	0	1,2
15	15	1,1	2,2	0	0	2,4	1,9	0
16	16	1,9	0	2,0	5,5	0	1,3	0
17	17	1,5	2,4	0	0	3,3	2,9	0
18	18	1,4	0	1,9	4,5	0	0	1,4
19	19	2,0	1,7	0	0	3,5	2,6	0
20	20	2,1	0	1,3	3,0	0	0	1,6
21	21	2,2	3,0	0	0	5,0	2,4	0
22	22	2,0	0	1,4	2,8	0	0	2,6
23	23	1,2	1,5	0	0	3,3	2,5	0
24	24	1,0	0	2,5	7,0	0	0	1,1
25	25	0,9	1,4	0	0	2,6	1,7	0
26	26	1,5	0	2,2	3,0	0	0	1,5
27	27	1,9	2,0	0	0	4,0	2,2	0
28	28	1,4	0	1,0	2,5	0	0	2,8
29	29	2,1	1,8	0	0	8,0	2,7	0
30	30	1,3	0	0,8	6,0	0	0	3,0
31	31	2,2	3,0	0	0	5,0	2,4	0
32	32	2,0	0	1,4	2,8	0	0	2,6
33	33	1,2	1,5	0	0	3,3	2,5	0
34	34	1,0	0	2,5	7,0	0	0	1,1
35	35	1,4	0	1,9	4,5	0	0	1,4
36	36	2,0	1,7	0	0	3,5	2,6	0
	а	г	б	а	в	б	г	а

1 схема

2 схема

3 схема

4 схема

5 схема

6 схема

7 схема

8 схема

9 схема

10 схема

11 схема

12 схема

13 схема

14 схема

15 схема

16 схема

17 схема

18 схема

19 схема

20 схема

21 схема

22 схема

23 схема

24 схема

25 схема

26 схема

27 схема

28 схема

29 схема

30 схема

31 схема

32 схема

33 схема

34 схема

35 схема

36 схема

Рис.6

Пояснения к решению задачи

Для построения эпюр изгибающих моментов M и поперечных сил Q в многопролетных балках удобнее пользоваться схемой взаимодействия ("поэтажной" схемой), которую следует расположить непосредственно под схемой заданной балки. При построении "поэтажной" схемы нужно вначале выделить основные балки, что легко делается мысленным удалением шарниров, соединяющих балки между собой. Те балки, которые окажутся способными самостоятельно нести нагрузку (защемленные или имеющие две наземные опоры), будут основными. Вспомогательные балки имеют только одну опору или не имеют их вовсе. Недостающими опорами для них служат соединительные шарниры. После построения "поэтажной" схемы заданную балку можно рассматривать как ряд самостоятельных балок. Особенность задачи заключается в том, что для расчета нижележащих балок необходимо знать силы взаимодействия в шарнирах, являющихся опорными реакциями для вышележащих балок и нагрузкой для нижележащих. Для расчета схемы каждой отдельной балки должны быть вычерчены отдельно, а эпюры изгибающих моментов M и поперечных сил Q можно строить на общей базе под "поэтажной" схемой. Ординаты эпюры моментов откладываются со стороны растянутых волокон (положительные вниз от оси). Знаков на эпюре моментов обычно не ставят, но обязательно надо проставлять значения характерных ординат с указанием размерности. При построении эпюры поперечных сил положительные ординаты откладываются вверх и на эпюрах обязательно проставляются знаки.

Линия влияния это график, изображающий закон изменения какого-либо фактора в сечении при передвижении по сооружению силы P=1. Для построения любой линии влияния усилия в данном месте сооружения применим следующий статический метод: поставив груз в произвольное положение, определяемое абсциссой x, и используя условия равновесия, даем аналитическое выражение данного усилия; затем представляем это выражение в графическом форме.

Необходимо вычертить "поэтажную" схему без заданной внешней нагрузки. В начале строится линия влияния искомого усилия в пределах той отдельной балки, к которой относится исследуемое сечение (или опора). Затем добавляется продолжение линии влияния, обусловленное взаимодействием отдельных балок.

Построенные линии влияния усилий можно использовать для отыскания их полных значений при действии на конструкцию сосредоточенных сил, распределенной нагрузки или внешнего момента. Величина S от действия сосредоточенных сил находится как сумма произведений сил на ординаты линии влияния, под ними расположенные. Величина S от равномерно распределенной нагрузки определяется произведением интенсивности нагрузки q на площадь, ограниченную линией влияния и осью абсцисс на участке действия нагрузки (площадь участка линии влияния). Величина S от действия внешнего момента равна произведению момента на тангенс угла наклона касательной к линии влияния в точке приложения этого момента (при возрастании ординат – знак плюс). При положительном моменте (по часовой стрелке) и убывании ординат нужно брать знак минус.

Задача 6. Расчет составных многопролетных балок, работающих на поперечный изгиб

Для заданной балки с размерами и нагрузкой, определяемыми по табл. 6 и 7 и рис.7 и 8, требуется:

1) произвести кинематический анализ системы и построить поэтажную схему;

2) определить опорные реакции и построить эпюры М и Q;

3) рассчитать балку на ЭВМ и по результатам счета проверить правильность вычислений М и Q;

Таблица 6. Размеры балки

Номер cтроки	Схема балки по рис.7	l3, м	l2, м	l1, м	К
01	1	5	7	7	0,3
02	9	6	8	6	0,2
03	8	6	9	8	0,7
04	7	8	6	6	0,5
05	4	8	6	9	0,8
06	5	9	8	7	0,45
07	6	10	9	6	0,35
08	3	9	10	8	0,7
09	2	6	7	6	0,5
10	6	5	8	9	0,3
11	1	6	9	6	0,2
12	2	6	6	8	0,7
13	3	8	6	8	0,5
14	4	8	8	6	0,8
15	5	9	9	7	0,45
16	6	10	10	6	0,35
17	7	5	6	8	0,5
18	8	6	7	6	0,8
19	9	6	8	9	0,45
20	5	8	9	6	0,35
21	1	8	9	8	0,7
22	2	9	10	8	0,5
23	3	10	6	6	0,3
24	4	9	7	7	0,2
25	5	6	8	6	0,7
26	6	5	9	8	0,5
27	7	6	6	6	0,3
28	8	6	6	9	0,2
29	9	8	8	6	0,7
30	4	8	9	8	0,5
31	1	9	10	8	0,8
32	2	10	6	6	0,45
33	3	9	7	7	0,35
34	4	6	8	6	0,7
35	5	5	9	8	0,5
36	6	6	6	6	0,3
	г	в	б	а	в

Таблица 7. Нагрузка на балку

Номер cтроки	Номер схемы загрузки по рис.8	М, кНм	P2, кН	P1, кН	q1=q2, кH/м
01	2	16	20	30	6,0
02	8	10	9	14	2,0
03	7	8	9	15	1,5
04	6	18	10	8	3,0
05	5	10	15	9	2,0
06	4	17	20	10	2,5
07	3	16	8	8	5,0
08	2	10	20	9	4,0
09	9	8	9	30	2,0
10	6	18	9	14	6,0
11	1	10	10	15	2,0
12	2	17	15	8	1,5
13	3	14	20	9	3,0
14	4	6	8	10	2,0
15	5	12	10	8	2,5
16	6	16	15	9	5,0
17	7	10	20	6	4,0
18	8	8	8	30	2,0
19	9	18	6	14	6,0
20	5	10	10	15	2,0
21	1	17	20	8	6,0
22	2	14	9	9	2,0
23	3	10	9	10	1,5
24	4	17	10	8	3,0
25	5	14	20	9	2,0
26	6	6	9	6	2,5
27	7	12	9	30	5,0
28	8	16	10	9	4,0
29	9