Главная

Задача 1. Определение грузоподъемности деревянной (стальной) балки, работающей в условиях плоского поперечного изгиба.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 1.1 (1.2) и схемам на рис.1.

1. Нарисуйте схему балки, считая, что нагрузка q всегда направлена вниз, а направления F_i и M_i зависят от данных табл. 1.1 (1.2). (Отрицательные значения F_i/ql и M_i/ql²означают, что нагрузки F_i и M_i должны быть направлены в сторону, противоположную показанной на рис. 1.)

2. Найдите опорные реакции и постройте в масштабе эпюры распределения внутренних усилий Q и M по длине балки, выразив характерные ординаты через неизвестную нагрузку q.

3. Нарисуйте фасад балки и эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения. На фасаде покажите опасные точки.

4. Из условия прочности опасной точки, в которой действуют максимальные нормальные напряжения, найдите допускаемое значение нагрузки q [кН/м].

5. Проверьте, выполняется ли условие прочности в точке с максимальными касательными напряжениями. Если оно не выполняется, то заново найдите значение допускаемой нагрузки.

6*. Сравните грузоподъемность конструкции при замене балки круглого сечения на балку прямоугольного сечения (или наоборот), если площади сечений балок одинаковы.

Примечание. Размер сечения в табл. 1.2 для круга – диаметр в см, для прямоугольника – ширина в см, для двутавра и швеллера – их номер по таблице сортамента прокатной стали.

Таблица 1.1

Номер строки	l, м	r(b), см	Сечение	h/b	Схема по рис. 1	F₀/ql	F₁/ql	M₀/ql²	M₁/ql²
01	0,5	6	Квадрат	3,0	3	0	0	1	2
02	1,0	7	Круг	-	1	0	1	0	2
03	1,5	8	Квадрат	2,5	2	2	0	-1	0
04	2,0	9	Круг	-	3	0	0	-2	1
05	2,5	11	Квадрат	2,0	1	0	-1	0	2
06	3,0	13	Круг	-	2	-2	0	1	0
07	2,0	12	Квадрат	1,5	3	0	0	2	-1
08	1,0	10	Круг	-	1	0	-2	0	2
09	0,5	5	Квадрат	1,0	2	1	0	-1	0
10	1,0	12	Круг	-	3	0	0	-1	1
	а	г	в	а	б	в	г	б	а

Таблица 1.2

Номер строки	l, м	Сечение	h/b	Размер сечения	Схема по рис. 1	F₀/ql	F₁/ql	M₀/ql²	M₁/ql²
01	1,0	Круг	-	10	3	0	0	-1	2
02	1,1	Прямоугольник	2	12	1	0	-1	0	2
03	1,2	Двутавр	-	10	2	2	0	-1	0
04	1,3	2 швеллера	-	5	3	0	0	1	2
05	1,4	Круг	-	8	1	0	2	0	1
06	1,5	Прямоугольник	1,5	8	2	1	0	-3	0
07	1,4	Двутавр	-	12	3	0	0	-2	2
08	1,3	2 швеллера	-	6,5	1	0	-2	0	-1
09	1,2	Круг	-	12	2	-3	0	1	0
10	1,0	Прямоугольгик	2,5	10	3	0	0	-2	-2
	б	в	г	а	б	в	г	а	б

1 схема

2 схема

3 схема

Рис. 1

Задача 2. Определение грузоподъемности чугунной балки моносимметричного сечения, работающей в условиях плоского изгиба.

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 2 и схемам на рис. 2.1 и рис. 2.2.

1. Нарисуйте схему балки, считая, что нагрузка q всегда направлена вниз, а направления F_i и M_i зависят от данных табл. 2. (Отрицательные значения F_i/ql и M_i/ql²означают, что нагрузки F_i и M_i должны быть направлены в сторону, противоположную показанной на рисунке.)

3. Нарисуйте поперечное сечение балки в масштабе (размеры сечения должны быть показаны на рисунке в числах) и определите его геометрические характеристики. Найдите положение центра тяжести сечения и проведите главные центральные оси инерции. Сосчитайте осевые моменты инерции относительно этих осей.

4. В зависимости от вида эпюры изгибающих моментов рационально расположите поперечное сечение балки: полкой вверх или полкой вниз. (Необходимо, чтобы максимальные растягивающие напряжения в сечении с максимальным по модулю изгибающим моментом были меньше максимальных сжимающих.)

5. Нарисуйте фасад балки и эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения. На фасаде покажите опасные точки.

6. Из условия прочности в точке, где действуют максимальные растягивающие напряжения, найдите допускаемое значение нагрузки q [кН/м].

7. Проверьте прочность в остальных опасных точках. Если условие прочности в какой-нибудь точке не будет выполняться, найдите новое значение допускаемой нагрузки.

8*. Проверьте, выполняется ли условие жесткости балки. (При определении максимального прогиба можно использовать любой метод.) Если условие жесткости не выполняется, найдите, во сколько раз надо уменьшить допускаемую нагрузку q, чтобы условие жесткости выполнялось.

9*. Выясните, во сколько раз уменьшится грузоподъемность балки, если сечение расположить нерационально.

Таблица 2

Номер строки	Схема по рис. 2.2	b, см	t, см	h, см	, см	l, м	Схема по рис. 2.1	F₀/ql	F₁/ql	M₀/ql²	M₁/ql²
01	0	25	2,0	25	0,6	1,6	2	2	0	0	0
02	1	24	1,8	30	0,8	1,8	3	0	0	-2	1
03	2	22	1,4	35	1,0	2,0	1	0	-3	0	0
04	3	20	1,2	40	1,2	2,4	2	-2	0	0	0
05	4	18	1,0	45	1,4	2,5	3	0	0	2	-1
06	5	15	0,8	50	1,6	3,0	1	0	0	0	1
07	6	24	2,0	25	0,8	1,8	2	0	0	-1	0
08	7	22	1,6	30	1,0	2,0	3	0	0	2	1
09	8	20	1,4	34	0,8	2,2	1	0	0	0	0
10	9	16	1,0	40	1,0	2,8	2	0	0	1	0
	а	б	в	г	а	б	в	г	а	б	в

1 схема

2 схема

3 схема

Рис. 2.1

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

Рис. 2.2

Задача 3. Определение рационального сечения и допускаемого значения нагрузки F для балки, работающей в условиях плоского изгиба.

Для балки, поперечное сечение которой составлено из четырех равнобоких уголков, двух швеллеров или двух двутавров (рис. 3), требуется выбрать из двух вариантов расположения поперечного сечения (а) и (б) рациональное и определить для выбранного расположения поперечного сечения допустимое значение параметра нагрузки F.

Дано: материал – Сталь 5; σ_Т=280 Мпа; l=50 см; [n]=2.

Остальные исходные данные к задаче принимаются по табл. 3 и схемам на рис. 3.

Таблица 3

Номер строки	Схема по рис.3	Тип сечения	Равнополочный уголок	№ двутавра или швеллера	l₁/l	M/Fl
01	I	1	–	20	1	1
02	I	2	36×36×4	–	2	2
03	I	3	–	20а	3	3
04	I	4	–	24	4	4
05	I	1	–	22	1	5
06	II	2	45×45×5	–	2	–1
07	II	3	–	22а	3	–2
08	II	4	–	22	4	–3
09	II	1	–	24	2	–4
10	II	2	40×40×4	–	4	–5
	а	г	в	а	б	в

Рис.3

Задача 4. Определение допускаемого значения нагрузки F для хрупкой балки, работающей в условиях плоского изгиба.

Балка (рис. 4) выполнена из хрупкого материала.

Требуется:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов;

2) расположить сечение выгодным образом, из расчета на прочность определить допускаемую нагрузку;

3) вычертить поперечное сечение в масштабе и при найденном значении допускаемой нагрузки построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки.

Дано: l=40 см, [n]_Р=2,0, [n]_С=1,5.

Остальные исходные данные к задаче принимаются по табл. 4 и схемам на рис. 4.

Таблица 4

Номер строки	Схема по рис.4	Тип сечения	Материал	l₁/l	l₂/l	h/t	t, мм	d/t	c/t	F/P
01	I	1	СЧ12 (σ_вр=120 Мпа; σ_вс=500 Мпа)	1,0	1,5	8	8	8	1	1
02	II	4	СЧ35 (σ_вр=350 Мпа; σ_вс=900 Мпа)	1,5	1,0	6	6	6	2	3
03	III	3	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	2,0	2,5	8	10	10	3	2
04	IV	5	СЧ15 (σ_вр=150 Мпа; σ_вс=600 Мпа)	2,5	2,0	10	7	7	2	1
05	I	2	СЧ12 (σ_вр=120 Мпа; σ_вс=500 Мпа)	1,0	2,0	7	9	9	1	2
06	II	5	СЧ24 (σ_вр=240 Мпа; σ_вс=800 Мпа)	1,5	1,5	10	5	7	3	3
07	III	3	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	2,0	1,0	7	10	6	1	3
08	IV	4	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	2,5	2,5	9	6	10	3	1
09	I	1	СЧ15 (σ_вр=150 Мпа; σ_вс=600 Мпа)	1,5	2,0	6	8	9	2	2
10	II	2	СЧ35 (σ_вр=350 Мпа; σ_вс=900 Мпа)	2,0	2,5	5	9	8	1	1
	а	г	в	б	в	а	г	в	б	г

Рис.4

Задача 5. Определение допускаемого значения нагрузки F для хрупкой балки, работающей в условиях плоского изгиба.

Балка (рис. 5) выполнена из хрупкого материала.

Требуется:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов;

2) расположить сечение выгодным образом, из расчета на прочность определить допускаемую нагрузку;

Дано: l=40 см, [n]_Р=2,0, [n]_С=1,5.

Остальные исходные данные к задаче принимаются по табл. 5 и схемам на рис. 5.

Таблица 5

Номер строки	Схема по рис.5	Тип сечения	Материал	l₁/l	l₂/l	h/t	t, мм	d/t	c/t	F/P
01	I	1	СЧ12 (σ_вр=120 Мпа; σ_вс=500 Мпа)	1	3	5	5	4	–	2
02	II	2	СЧ35 (σ_вр=350 Мпа; σ_вс=900 Мпа)	2	1	6	6	5	–	3
03	I	3	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	3	2	7	7	6	–	1
04	II	4	СЧ15 (σ_вр=150 Мпа; σ_вс=600 Мпа)	3	1	5	8	4	1	3
05	I	5	СЧ12 (σ_вр=120 Мпа; σ_вс=500 Мпа)	2	2	6	9	5	2	2
06	II	6	СЧ24 (σ_вр=240 Мпа; σ_вс=800 Мпа)	1	3	7	10	6	–	1
07	I	1	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	1	3	5	5	4	–	1
08	II	2	СЧ18 (σ_вр=180 Мпа; σ_вс=670 Мпа)	2	2	6	6	5	–	2
09	I	4	СЧ15 (σ_вр=150 Мпа; σ_вс=600 Мпа)	3	1	7	7	6	1	3
10	II	5	СЧ35 (σ_вр=350 Мпа; σ_вс=900 Мпа)	2	2	6	8	4	2	2
	а	г	в	б	в	а	г	в	б	г

Рис.5

Задача 6. Проверка прочности балки по нормальным и касательным напряжениям.

Для прямой балки, нагруженной по схеме № 1 или 2 (рис. 6 и 7, табл.6 и 7) и имеющей указанное в таблице 8 сечение, необходимо:

1. Найти положение центра тяжести поперечного сечения (таблица 8 и 9).

2. Найти главные центральные моменты инерции поперечного сечения.

3. Записать выражения для поперечной силы Q_y(z) и изгибающего момента M_x(z).

4. Построить эпюры этих функций.

5. Вычислить нормальные напряжения в крайних точках опасного поперечного сечения (M_x_max).

6. Построить эпюру нормальных напряжений по высоте опасного сечения.

7. Вычислить наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении, где действует Q_y _max.

8. Проверить прочность стержня по нормальным и касательным напряжениям.

Исходные данные к балке по схеме нагружения №1 на рис.6 принимаются по табл.6.

Исходные данные к балке по схеме нагружения №2 на рис.7 принимаются по табл.7.

Исходные данные к поперечным сечениям балок по схемам №1 и №2 принимаются по табл. 8 и 9.

Рис.6. Схема нагружения № 1

Таблица 6. Исходные данные к схеме нагружения №1

Номер строки	l, м	a, м	b, м	c, м	d, м	e, м	f, м	P₁, кН	P₂, кН	q, кН/м	L₁, кНм	L₂, кНм	[σ], МПа
01	1,1	0,1	0,6	0	-	0	0,4	0,4	-1,1	8	1,2	0	114
02	1,7	0,2	0,7	0,1	-	0	0,7	-2,6	0,8	9	0,2	0	115
03	1	0,5	0,8	0,1	-	0,2	0,7	-1,3	1,1	9	-0,3	0	109
04	1,3	0,7	0,8	0,3	-	0	0,7	-1,8	-1,3	9	-0,4	0	107
05	2,1	0,2	0,8	0,4	-	0	1	-1	-1,6	10	-1	1	135
06	1,2	0,3	0,8	0	0,5	0,1	0,7	0,9	-1	8	-1,3	0,5	113
07	1,2	0,3	0,7	0,5	1	0	0,8	-2,1	-1,3	11	-0,7	0,3	126
08	2,2	0,7	1,0	0,6	1,5	0,3	1	1	-1,5	11	-1,6	0,8	131
09	1	0,6	0,7	0	0,2	0,4	0,7	3,1	-1,6	12	1,9	-1,9	115
10	1,8	0,4	1,4	0,3	0,7	0,3	0,9	-2,3	1,5	8	-0,1	-0,1	150
11	1,3	0,8	-	0,5	0,7	0,3	0,9	-4	0	13	0,2	0,2	141
12	2,5	0,3	1,0	0,5	2,5	0,7	0,9	-1,6	-2,0	11	0,1	0,1	154
13	2,5	0,3	-	0,4	0,8	0,7	0,8	-2,3	0	8	-0,3	-0,3	141
14	1,8	0,8	-	0,8	0,5	0	0,4	-1,8	0	13	-0,8	-0,8	106
15	2,4	0,3	1,0	0,8	2,4	0,1	0,7	-1,6	-2,0	10	0,4	-1	157
16	2,1	0,7	0,6	0	1,2	0,3	0,9	1,4	-2,1	10	0,2	-0,5	153
17	2,5	0,6	0,8	0,6	2	0,6	1,4	3,6	1,2	-12	0,3	-0,3	138
18	2,3	0,2	1,6	0,2	-	0,5	0,6	-1,9	1,1	8	-0,3	0	132
19	2	0,6	0,7	0,5	1,8	0,3	0,6	-1	-0,6	12	-0,8	0,5	106
20	2,5	0,6	1	0,3	2	0,5	1	-0,5	-0,8	10	-1	1	137
21	1,2	0,4	0,7	0,5	0,2	0,6	0,9	1,2	-0,7	9	-0,3	0,6	162
22	1,5	0,8	0,6	0,3	1	0,3	0,6	-0,6	-0,7	13	-0,8	0,4	154
23	2,4	0,2	0,6	0,3	-	0,2	1	0,8	-1,9	11	-0,6	0	160
24	2,3	0,3	0,8	0,1	1,8	0,5	1,4	0,5	-1,2	12	0,9	-0,9	110
25	1,3	0,8	-	0,4	0,7	0,4	1	-1,5	0	13	-0,3	-0,3	154
26	2,3	1	-	0	0,7	0,2	0,4	-0,8	0	11	0,2	0,2	163
27	1,8	0,2	-	0,4	0,8	0	0,9	-1,7	0	13	0,4	0,4	168
28	2,4	0,4	-	0,1	0,5	0,7	1,4	-0,6	0	11	-0,3	0,5	142
29	1,1	0,3	0,9	0,1	0,5	0,5	0,7	-0,8	1,5	16	0,8	-0,8	191
30	2,1	0,5	1,6	0,7	0,3	0,3	0,9	-2	1	16	0,4	-1	164
	в	г	б	а	в	г	б	а	в	г	б	а	в

Рис.7. Схема нагружения № 2

Таблица 7. Исходные данные к схеме нагружения №2

Номер строки	l, м	a, м	b, м	c, м	d, м	e, м	f, м	P₁, кН	P₂, кН	q, кН/м	L₁, кНм	[σ], МПа
01	1	0,2	0,8	0	0,6	0	0,4	4	-1	10	2	101
02	1,3	0,3	0,7	0,1	0,6	0	1	6	2	11	1,5	105
03	1,1	0,6	0,5	0,2	0,8	0	0,8	2,5	1,5	10	-3	107
04	2	0,2	0,8	0,3	1	0,1	1,6	-3,5	-4,6	11	-2,8	112
05	1,8	1	0,8	0,2	0,9	0,2	0,7	-1,5	-1,8	13	-1,6	125
06	2,2	0,3	0,8	1	1,6	0,1	0,8	1,9	-1,9	14	-1,3	132
07	2,2	0,3	0,9	0,1	1,7	0,5	1,2	-2,1	-1,3	15	-1,8	136
08	2,4	0,3	0,7	2	1,7	0,2	0,9	1,2	-2,8	14	-1,6	125
09	2,3	0,9	0,7	0,6	1,5	0,4	1	1,1	-2,6	13	1,9	101
10	1,6	1	1,2	0,3	0,7	0,2	0,8	-1,3	1,6	10	-2,1	106
11	1,5	0,3	0,9	0,3	0,9	0,7	1	-0,8	2	13	0,2	114
12	1,5	0,6	-	0,2	1,2	0,7	1,5	-4,1	0	13	0,1	133
13	1,5	0,7	-	0,2	1,1	0,3	0,7	-3,3	0	14	-0,3	121
14	2,2	0,3	1,2	0,8	1,7	0,7	1,7	-2,8	3	12	-0,8	127
15	2	0,5	1	0,5	1,5	0,3	0,7	-3,6	3,1	9	0,4	162
16	2	0,3	0,6	0,2	1,5	0	0,8	1,4	-5,1	14	0,2	121
17	2,2	0,6	0,8	0,6	1,7	0,4	1,6	-6,6	2,2	14	0,6	124
18	2,2	0,7	1,3	0,7	2	0,3	0,6	-2,3	1,6	10	-0,3	132
19	1,1	0,3	0,7	0,5	0,6	0,2	0,9	-2,6	-1,4	18	-0,8	103
20	1,7	0,2	0,7	0,8	1	0,3	1,7	2,8	-1,9	10	-1	166
21	1,1	0,9	0,7	0,1	0,8	0,3	1	1,9	-4,2	18	-0,3	111
22	1	0,2	0,4	0,5	0,5	0,2	0,8	-2,5	-1,3	16	-0,8	173
23	2,3	0,2	0,6	0,2	1,6	0,4	1,0	1,2	-6,8	18	-0,6	131
24	2,1	0,7	0,8	0,1	1,3	0,1	1,4	1,1	-6,6	16	0,7	107
25	2,1	0,4	1	0,6	1,6	0,2	1,8	-4,1	3,5	17	-0,4	179
26	2,1	0,5	-	0,8	1,2	0,1	1,4	-6,8	0	17	0,2	100
27	2,1	0,2	1,6	0,6	1,2	0,5	2,1	-3,6	5,4	9	0,6	195
28	1,6	1,1	0,2	0,8	0,6	0,2	1,6	-3,9	2,8	15	-0,9	146
29	2,4	1	-	0,4	1,2	0,2	1,8	-7,8	0	19	-0,8	144
30	1,8	0,3	-	0,2	1,1	0,3	1,6	-1,6	0	10	1	138
	б	г	а	в	б	г	а	в	б	г	а	в

Таблица 8. Поперечные сечения балок к схемам нагружения №1 и №2

Схема 1

Схема 2

Схема 3

Схема 4

Схема 5

Схема 6

Схема 7

Схема 8

Схема 9

Схема 10

Схема 11

Схема 12

Схема 13

Схема 14

Схема 15

Схема 16

Схема 17

Схема 18

Схема 19

Схема 20

Схема 21

Схема 22

Схема 23

Схема 24

Схема 25

Схема 26

Схема 27

Схема 28

Схема 29

Схема 30

Таблица 9. Исходные данные к поперечным сечениям по таблице 8

Номер строки	Сечение угловое неравнополочное	Сечение угловое равнополочное	Сечение швеллерное	Сечение двутавровое	a, мм	b, мм
01	5/3,2	8	12	12	150	24
02	6,3/4	7	10	10	60	12
03	7/4,5	8	14	16	149	13
04	5/3,2	7,5с	8	10	86	19
05	8/5	6,3	16	14	127	21
06	7,5/5 с	8 в	16	16	176	25
07	9/5,6	7,5	14 а	16	136	12
08	6,3/4	9	14	16	180	18
09	9/5,6 в	8	10	12	125	13
10	8/5	5 с	12	16	82	16
11	5,6/3,6	4,5	8	10	89	18
12	7/5,5 в	8 с	10	14	174	13
13	8/5 в	6,3	16	14	141	24
14	6,3/4 в	5,6	10	16	112	12
15	7,5/5 с	8	14	16	137	18
16	9/5,6	5 в	12	14	186	23
17	7/4,5	6,3	16	18	149	21
18	9/5,6 с	9 в	12	16	96	18
19	8/5 в	8 с	14 а	18	105	12
20	7,5/5 с	5,6	16	12	110	23
21	5/3,2	4,5	10	12	90	13
22	7/4,5	7 е	14 а	16	102	25
23	6,3/4	9с	12	14	120	17
24	8/5 в	7,5 с	16	16	179	24
25	9/5,6	7	16	18	145	18
26	7/4,5	8 с	14 в	14	116	13
27	6,3/4 с	8 в	12	12	150	25
28	8/5	7 с	12	16	172	14
29	7/4,5	7,5	18	10	163	14
30	7/5,5с	6,3	12	12	121	12
	в	г	а	б	в	г

Примеры выполнения задач

Пример 1

Чугунная балка таврового сечения (рис. 8) нагружена изгибающим моментом, действующим в вертикальной плоскости и растягивающим верхние волокна. Определить, как изменится фактический коэффициент запаса прочности, если изгибающий момент изменит свой знак, при условии, что временное сопротивление на сжатие в четыре раза больше временного сопротивления на растяжение.

1. возрастёт в 2 раза;

2. сохранится таким же;

3. уменьшится в 2 раза;

4. уменьшится в 2,5 раза.

Рис.8

Решение.

Определим величину момента инерции сечения относительно оси z, установив предварительно положение центра тяжести сечения:

Тогда:

Напряжение в точке С

Напряжение в точке В

Это напряжение превышает напряжение в точке С в:

Первый случай, когда в точке С изгибающий момент вызывал растягивающие напряжения более благоприятен и прочность определялась условием безопасной прочности в растянутой зоне (т. С) поскольку соотношение (а) меньше четырёх. Следовательно для второго случая, когда точка В будет работать в растянутой зоне фактический коэффициент запаса прочности уменьшится в 2,5 раза.

Пример 2

Под действием нагрузки в вертикальной плоскости в балке, поперечное сечение которой изображено (1) (рис.9), возникает текучесть, σ_мах=280МПа > σ_Т= 240 МПа. В каком состоянии окажется та же балка, если её расположить в положении (2), если нормативный коэффициент запаса n_adm=1,5?

1) σ_мах< σ_adm;

2) σ_мах= σ_adm;

3) σ_adm< σ_мах < σ_T;

4) σ_мах> σ_T.