Главная

Задача 1. Подбор сечения составного вала, работающего на кручение

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 1 и схемам на рис. 1.

1. Нарисуйте схему стержня в масштабе. Отрицательные нагрузки направьте в сторону, противоположную показанной на рисунке. На рисунке поставьте размеры стержня и значения нагрузки в численном виде.

2. Постройте в масштабе эпюру крутящих моментов.

3. Из условия прочности подберите размеры поперечных сечений вала на каждом участке.

4. Проверьте условие жесткости на каждом участке. Если это условие не выполняется, найдите новые размеры поперечных сечений из условия жесткости.

5. Найдите максимальные касательные напряжения на каждом участке и нарисуйте эпюры распределения напряжений в поперечных сечениях.

6. Определите углы закручивания каждого участка стержня и постройте в масштабе эпюру их изменения по длине стержня.

7*. Замените круглое сечение вала на трубчатое с отношением внутреннего радиуса к внешнему R₁/R₂ из табл. 1. Сосчитайте экономию материала, полученную при такой замене.

Таблица 1

Номер строки	l1, м	l2, м	M1, кНм	M2, кНм	R1/R2	l3, м	M3, кНм	Поперечное сечение 1-1 2-2		Схема по рис.1	[θ’], град/м	h/b	Материал 1-1 2-2
01	0,5	1,1	20	-24	0,9	1,0	30	круг	квадрат	1	0,2	1,5	Бронза	Чугун
02	0,6	1,0	-10	16	0,8	0,8	-28	квадрат	круг	2	0,4	2,0	Чугун	Сталь
03	0,7	0,9	15	-20	0,7	1,0	26	круг	квадрат	1	0,6	2,5	Дюраль	Чугун
04	0,8	0,8	-15	30	0,6	1,2	-24	квадрат	круг	2	0,8	3,0	Чугун	Бронза
05	0,9	0,7	10	-20	0,5	1,0	22	круг	квадрат	1	2,0	1,0	Чугун	Сталь
06	1,0	0,6	-20	28	0,9	0,8	-20	квадрат	круг	2	1,8	1,5	Дюраль	Чугун
07	1,1	0,5	25	-28	0,8	1,2	18	круг	квадрат	1	1,6	2,0	Сталь	Чугун
08	1,2	0,8	-25	14	0,7	1,0	-16	квадрат	круг	2	1,4	2,5	Чугун	Дюраль
09	1,3	1,0	30	-10	0,6	1,2	14	круг	квадрат	1	1,2	1,0	Бронза	Чугун
10	1,0	1,0	-30	32	0,5	1,4	-10	квадрат	круг	2	1,0	1,5	Чугун	Сталь
	в	а	г	б	в	а	г	б	в	а	г	б	в	а

1 схема

2 схема

Рис. 1

Задача 2. Расчет составного вала, работающего на кручение. Подбор сечения.

К ступенчатому валу, состоящему из участков с круглым и кольцевым поперечным сечением (рис. 2), приложены пары сил моментами М и М₁.

Требуется определить из условия жесткости неизвестные размеры вала, округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм и вычислить максимальный угол поворота поперечного сечения вала (в град). Для этого необходимо:

1) построить эпюру крутящего момента в долях M;

2) построить эпюру максимальных (для каждого типа поперечного сечения) касательных напряжений (в долях M/D³) и изобразить распределение касательных напряжений по поперечному сечению на каждом участке стержня;

3) построить эпюру относительных (в долях M/GD⁴) и абсолютных (в долях Ml/GD⁴) углов закручивания;

4) найти запас прочности вала.

Дано: M=4,0 кНм; l=25 см; [θ]=3 град/м; материал Сталь 20, τ_Т=160 Мпа.

Остальные исходные данные к задаче выбираются по табл.2 и схемам на рис. 2.

Таблица 2

Номер строки	Схема по рис.2	l1/l	l2/l	d/D	d1/D	M1/M
01	I	1,0	3,0	0,90	0,95	1,5
02	II	2,0	1,0	0,80	0,85	2,0
03	III	3,0	1,0	0,60	0,65	1,5
04	IV	1,0	2,0	0,65	0,70	1,5
05	V	2,0	1,0	0,70	0,75	2,5
06	VI	3,0	1,0	0,75	0,80	1,5
07	VII	1,0	3,0	0,80	0,85	0,5
08	VIII	2,0	1,0	0,85	0,90	3,0
09	IX	2,0	1,0	0,90	0,95	3,0
10	X	1,0	2,0	0,85	0,90	2,0
	г	в	а	г	б	в

Рис.2

Задача 3. Расчет составного вала, работающего на кручение. Подбор сечения.

К стальному валу (рис. 3) приложены пары сил моментами М и М₁.

Требуется определить из условия прочности неизвестные размеры вала, округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм и вычислить максимальный угол поворота поперечного сечения вала (в град). Для этого необходимо:

1) построить эпюру крутящего момента (в долях M);

2) построить эпюру максимальных (для каждого типа поперечного сечения) касательных напряжений (в долях M/D³) и изобразить распределение касательных напряжений для каждого типа поперечного сечения;

3) построить эпюру относительных (в долях M/GD⁴) и абсолютных (в долях Ml/GD⁴) углов закручивания.

Дано: M=3 кНм; l=30 см; τ_Т=300 МПа; [n]=2,0; G=0,8∙10⁵ МПа.

Остальные исходные данные к задаче выбираются по табл.3 и схемам на рис.3.

Таблица 3

Номер строки	Схема по рис.3	l1/l	l2/l	d/D	b/D	M1/M
01	I	1,0	3,0	0,90	0,50	0,5
02	II	2,0	1,0	0,80	1,50	2,0
03	III	3,0	1,0	0,60	0,50	1,5
04	IV	1,0	2,0	0,65	1,00	0,5
05	V	2,0	1,0	0,70	1,00	2,5
06	VI	3,0	1,0	0,75	1,50	1,5
07	VII	1,0	2,0	0,80	0,50	0,5
08	VIII	2,0	1,0	0,85	2,00	2,5
09	IX	3,0	1,0	0,90	2,00	3,0
10	X	1,0	3,0	0,95	1,50	2,0
	а	в	а	г	б	в

Рис.3

Задача 4. Расчет составного вала, работающего на кручение. Подбор сечения.

Стальной ступенчатый вал (рис.4) круглого поперечного сечения защемлен одним концом и нагружен системой скручивающих моментов.

Требуется подобрать базовую величину диаметра d по условиям прочности и жесткости участков вала, построив при этом эпюры максимальных касательных напряжений и углов закручивания.

Дано: модуль сдвига стали G = 8∙10⁴ МПа, [τ] = 90 МПа.

Остальные исходные данные к задаче выбираются по табл.4 и схемам на рис.4.

Рекомендуемый порядок выполнения задачи:

1. Нарисовать в масштабе расчетную схему вала. Отрицательные нагрузки принять направленными в сторону, противоположную показанным на рисунке;

2. Определить и построить в масштабе эпюру крутящих моментов;

3. Из условия прочности подобрать диаметр поперечных сечений вала.

4. Найти размеры поперечных сечений из условия жесткости.

5. Определить максимальные касательные напряжения на каждом участке и построить эпюры распределения напряжений в поперечных сечениях.

6. Указать опасное сечение по условиям прочности и жесткости.

7. Определить углы закручивания каждого участка и построить их эпюру в масштабе.

Таблица 4

Номер строки	Схема по рис.4	a, м	b, м	c, м	M1, кНм	M2, кНм	M3, кНм	[θ], град/м
01	1	0,5	1,1	1,0	-20	-24	25	0,8
02	2	0,6	1,0	0,8	10	16	30	1,2
03	1	0,7	0,9	1,0	-15	20	14	0,6
04	2	0,8	0,8	1,2	15	-30	20	0,8
05	1	0,9	0,7	1,0	-10	20	-10	1,1
06	2	1,0	0,6	0,8	20	-28	16	1,8
07	1	1,1	0,5	1,2	10	30	22	1,6
08	2	1,2	0,8	1,0	-15	32	14	1,3
09	1	1,3	1,0	1,2	-25	10	-14	1,2
10	2	1,0	1,0	1,4	40	-20	10	1,0
	а	в	а		г	б	в

Рис.4

Задача 5. Расчет статически неопределимого вала при кручении

Для статически неопределимого вала требуется:

1. Определите величину реактивных моментов на опорах и постройте эпюру крутящих моментов в сечениях вала, раскрыв статическую неопределимость. Для этого выполните следующее:

- запишите уравнения равновесия;

- составьте условия совместности деформаций;

- запишите физические уравнения (закон Гука);

- решите совместно эти уравнения.

2. Вычислите максимальные напряжения в сечениях на каждом участке вала.

3. Из условия прочности подберите размеры поперечного сечения вала. Материал вала – сталь.

4. Постройте эпюру углов закручивания.

5*. Исследуйте, как изменится эпюра крутящих моментов, если жесткость стержня на всех участках будет одинакова.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 5 и схеме на рис. 5.

Таблица 5

Номер строки	l1, м	M1, кНм	α	l2, м	M2, кНм	β	l3, м
01	2	-5	2	1	-10	0,5	3
02	2,5	-6	1	1,5	-8	1,5	2,5
03	3	-8	0,5	2	-6	2	2
04	1	-10	1	2,5	-5	2,5	1,5
05	1,5	-12	1,5	3	-4	2	1
06	2	10	2	2,5	5	1,5	1,5
07	2,5	8	2,5	2	6	2,5	2
08	3	6	2	1,5	8	0,5	2,5
09	1,5	5	0,5	1	10	2	3
10	1	4	1	1,5	12	2,5	2
	в	а	б	в	г	а	б

Рис.5

Примеры выполнения задач

Пример 1

Подобрать из условия прочности и жесткости диаметр ступенчатого вала круглого поперечного сечения (см. рис.6, а).

Дано: M₁=9 кНм; M₂=4 кНм; M₃=3 кНм; [τ]=150 МПа; G=0,8∙10¹¹ Па; l=0,5 м, допускаемый угол закручивания []=1/4 град/м.

Рис.6

Решение.

1. Построение эпюры M_к

Вал разделен на 3 участка в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применяя метод сечений, определяем M_к на каждом участке.

На участке 1:

M_к1=M₁=9 кНм.

На участке 2:

M_к2=M₁-М₃=5 кНм.

На участке 3:

M_к3=M₁-М₃-М₂=-2 кНм.

Эпюра M_к приведена на рис. 6, б.

2. Построение эпюры касательных напряжений 𝜏

Так как диаметр вала изменяется по длине вала, для определения наиболее опасного сечения построим эпюру касательных напряжений, используя формулу

Участок 1.

Участок 2.

Участок 3.

По этим результатам построена эпюра касательных напряжений (рис.6, в).

3. Определение диаметра вала из условия прочности

Наибольшие касательные напряжения возникают на втором участке вала. Следовательно, из условия прочности диаметр вала должен быть равен

4. Определение диаметра вала из условия жесткости

Для нахождения наибольшего относительного угла закручивания следует рассмотреть участки, где имеют наибольшее значение крутящие моменты и касательные напряжения. Следовательно, необходимо найти θ на первом и втором участках, так как жесткости на этих участках имеют различные значения.

Участок 1.

Участок 2.

По условию жесткости находим диаметр вала, учитывая, что

Отсюда

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение диаметра вала d=11,2 см.

5. Построение эпюры углов закручивания

За начало отсчета принимаем сечение в заделке, так как угол закручивания этого сечения равен нулю. При расчете пользуемся формулой

Сечение а. φ_a=0.

Сечение b.

Сечение с.

Сечение d.

Эпюра углов закручивания представлена на рис.6, г.

Пример 2

Для ступенчатого стержня из стали 30Х, представленного на рис. 7, необходимо построить эпюру крутящих моментов, эпюру условных касательных напряжений как функцию параметра сечения d, из условия прочности найти искомое значение d.

Рис.7

Решение.

1. Построение эпюры крутящих моментов.

Направим ось z вдоль оси стержня (рис. 8).

Рис.8

Из условия равновесия находим значение М₄:

Участок AB (0z₁l₁) (рис. 9, а):

Участок BC (0z₂l₂) (рис. 9, б):

Участок BC (0z₃l₃) (рис. 9, в):

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов ЭМ (рис. 8).

Рис.9

2. Построение эпюры напряжений.

Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

где - полярный момент сопротивления, I_p – полярный момент инерции сечения, r_max – максимальный радиус.

Определим геометрические характеристики сечений:

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

Определим опасное сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, в долях 1/d³:

Участок AB (0z₁l₁):

Участок BC (0z₂l₂):

Участок CD (0z₃l₃):

По полученным данным строим Эd³ (рис. 8).

3. Расчет на прочность. Подбор сечения.

На эпюре Эd³ видно, что опасными являются сечения на участке CD, де действуют наибольшие напряжения.

Условие прочности при кручении имеет вид:

где – допускаемое касательное напряжение.

Примем для материала Ст30 .

Тогда условие прочности примет вид:

Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=48 мм.

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок AB:

Участок BC:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Э (рис. 8).

Онлайн-калькулятор "Подбор диаметра вала постоянного сечения при кручении"

---

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика Строительная механика

Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

00:00:00