Главная
Тема 18. Определение
критических сил в пределах пропорциональности
Задача об устойчивости стержня постоянного поперечного сечения с шарнирно закрепленными концами, сжатого силой, приложенной к торцу, была поставлена и решена Л.Эйлером. В его работе [307] в 1744 г. дано решение задачи на основе точного дифференциального уравнения изогнутой оси, которое Л.Эйлер проинтегрировал в рядах. В результате он получил формулу для определения критической силы, которую назвал силой колонны, и установил зависимость между прогибом и силой - Л.Эйлер провел анализ различных форм изогнутой оси и, рассматривая упругую линию, не сильно отличающуюся от прямой, «не без изумления» обнаружил, что для ничтожно малого изгиба сжатого стержня к нему нужно приложить сжимающую силу конечной величины.
Зависимость между прогибом и сжимающей силой может быть значительно упрощена [74], что и было сделано Р.Мизесом [434] в 1924 г. из рассмотрения приближенного (но нелинеаризованного) дифференциального уравнения изогнутой оси. Иная форма такого уравнения предложена С.П.Тимошенко [271] в 1936 г.
В работе [361] в 1757г. Л.Эйлер вывел ту же формулу для критической силы на основе приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси.
В мемуарах Ж.Лагранжа [413] в 1768 г. повторены решения Л.Эйлера, основанные как на точном, так и на приближенном дифференциальных уравнениях изогнутой оси. В случае использования точного уравнения он, так же как и Л.Эйлер, интегрировал его в рядах и получил зависимость прогиба от сжимающей силы.
Задача интегрирования точного дифференциального уравнения изогнутой оси в эллиптических функциях была впервые решена А.Клебшем [344] в 1860 г., причем последний выразил удивление, что интегрирование приближенного и точного дифференциальных уравнений изогнутой оси приводит к одному и тому же значению критической силы. А.Клебш полагал, что это является счастливой случайностью. Однако это не так. Для определения критической силы, при которой прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, достаточно предположить сколько угодно малый прогиб.
Ф.С.Ясинский в своих трудах [310,311] в 1892 — 1894 гг. на основе анализа точного и приближенного дифференциальных уравнений изогнутой оси объяснил указанное совпадение критических сил, полученных путем интегрирования различных дифференциальных уравнений. Заметим, что Ф.С.Ясинский использовал точное уравнение изогнутой оси в форме
где v — прогиб, s — длина дуги, M — изгибающий момент, EI — жесткость при изгибе.
А.Н.Крылов в 1931г. показал [191], что точное дифференциальное уравнение изогнутой оси может быть проинтегрировано в эллиптических интегралах, которые табулированы.
В 1918 г. Н.Е.Жуковский решил ряд задач устойчивости сжатых стержней применительно к расчету стоек самолетов [170].
Л.С.Лейбензон в статье [197], опубликованной в 1914 г., подробно исследовал устойчивость естественно закрученного стержня с шарнирно закрепленными концами и указал способ решения, когда концы стержня заделаны или когда один конец заделан, а второй шарнирно оперт. Как отметил автор, эта задача имеет практическое значение в связи с расчетом сжатых элементов прямолинейных образующих башен В.Г.Шухова.
В той же работе [361] Л.Эйлер изучал
устойчивость стержня, сжатого силой, приложенной на торце с шарнирно опертыми
концами, жесткость которого изменяется по закону
где l — длина стержня, z — координата текущего сечения, a и b — постоянные величины.
Решение этой задачи дано на основе приближенного дифференциального уравнения упругой линии. Л.Эйлер рассмотрел случаи, когда оно интегрируется в элементарных функциях.
Заметим, что Л.Эйлеру понятие момента инерции не было известно. Он по предложению Я.Бернулли принимал, что кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и не выяснял физический и геометрический смысл коэффициента пропорциональности. Ж.Лагранжем [413] в 1770 — 1773 гг. дано решение задачи об устойчивости шарнирно закрепленного стержня, сжатого силой, приложенной на торце, причем стержень ограничен поверхностью второго порядка. В этом же мемуарах Ж.Лагранж поставил задачу о наивыгоднейшей форме очертания стержня с точки зрения наименьшего веса. Эта задача была решена механиком Т.Клаузеном (Clausen) [409] в 1851г. Однако в этом решении не принято во внимание сопротивление стержня обычному сжатию. Поэтому оно является неполным. Поправка в него введена в работе [75] Е.Л.Николаи, опубликованной в 1907г.
Задача
об устойчивости стержня, поставленная Эйлером
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня при указанном выше законе изменения жесткости в общем случае интегрируется в функциях Бесселя. Этот вопрос рассмотрен в капитальной работе А.Н.Динника [159] в 1913 г. Им же изучена (1927г.) устойчивость сжатых стержней, жесткость которых изменяется по биномиальному [160] и показательному [160] законам.
Задача об устойчивости стержня постоянного поперечного сечения с шарнирно опертыми концами, сжатого силой F, приложенной на торце, и нагрузкой интенсивности q, равномерно распределенной по его длине, была поставлена Л.Эйлером в последней части работы [362] в 1757г. Однако при выводе дифференциального уравнения изогнутой оси Л.Эйлер допустил ошибку, не приняв во внимание изгибающего момента от реактивных сил, перпендикулярных недеформированной оси стержня.
В конце мемуаров [362] Л.Эйлер отказался от интегрирования полученного дифференциального уравнения в общем случае, ограничиваясь рассмотрением частного случая, когда сила, создаваемая равномерно распределенной нагрузкой (например, собственный вес стержня), мала по сравнению с сосредоточенной. Но и в этом частном случае из-за указанной выше ошибки полученный результат был неверен.
Эту же ошибку Л.Эйлер повторил в следующих мемуарах [363] в 1778 г., посвященном задаче устойчивости стержня постоянного поперечного сечения, сжатого только равномерно распределенной по его длине нагрузкой. В результате анализа решения Л.Эйлер установил, что рассматриваемый стержень не может потерять устойчивость ни при какой интенсивности распределенной нагрузки или длине.
Этот вывод показался Л.Эйлеру неубедительным
и в следующих мемуарах [363] он написал, что результат не только «парадоксален,
но и весьма подозрителен». Очень интересны соображения, при помощи которых в
этих мемуарах Л.Эйлер доказывает, что этот результат неверен. Он рассматривает
стержень AB, нижний конец которого оперт, а верхняя часть BC
заключена между длинными вертикальными направляющими, запрещающими
горизонтальное смещение и поворот ее. Как известно, величина критической силы
для этого случая равна
Этот результат не был известен Л.Эйлеру. Он
ошибочно считал, что для этого случая критическая сила такая же, как и для
стержня с двумя заделанными концами
Однако для рассматриваемого рассуждения это несущественно. Итак, если пренебречь силой тяжести нижней части стержня AC, прямолинейная форма равновесия стержня может стать неустойчивой под воздействием веса верхней части BC. Тем более прямолинейная форма равновесия стержня должна быть неустойчивой, если устранить направляющие и заменить их шарниром (что уменьшает жесткость системы) и принять во внимание вес нижней части стержня (что увеличивает нагрузку).
И только в следующих мемуарах [363] в 1778г. Л.Эйлер вскрыл ошибки предыдущих работ, учел реакции опор и, используя полученные ранее результаты, дал правильное решение задачи.
Кроме шарнирного закрепления концов Л.Эйлер рассмотрел также случай стержня с нижним заделанным и верхним свободным концами, нагруженного равномерно распределенной осевой нагрузкой [362].
Эта же задача была также решена Ф.С.Ясинским в 1894 г. в его диссертации на соискание ученого звания адъюнкта [311]. Для решения он использовал приведенное выше точное дифференциальное уравнение изогнутой оси. Это уравнение он проинтегрировал в рядах и получил значение критической силы, отличающееся от результата, найденного Л.Эйлером, только в третьем знаке. Заметим, что эта задача была решена также механиком А.Гринхиллом (GreenhiU A.) [375], который еще в 1881 г. проинтегрировал дифференциальное уравнение в функциях Бесселя и получил значение критической силы, несильно отличное от величин, найденных Л.Эйлером и Ф.С.Ясинским. Вероятно, Ф.С.Ясинский не знал о статье А.Гринхилла, который изучил также некоторые случаи устойчивости стержней переменного сечения, сжатых распределенной нагрузкой, и применил полученные результаты для объяснения очертания стволов деревьев.
Задача
об устойчивости стержня, поставленная Ф.С. Ясинским
В той же работе [311] Ф.С.Ясинский рассмотрел еще ряд случаев устойчивости сжатых стержней под воздействием распределенных нагрузок: стержень с одним заделанным и другим свободным концами, нагруженный распределенной осевой сжимающей нагрузкой, интенсивность которой пропорциональна расстоянию от заделанного сечения; стержень с шарнирно опертыми концами в упругой среде, реакция которой, перпендикулярная оси стержня, пропорциональна его прогибам, сжатый распределенной осевой сжимающей силой, интенсивность которой пропорциональна расстоянию от среднего сечения. Эта задача получила название «задачи Ясинского». Ф.С.Ясинский свел расчет сжатых верхних поясов открытых мостов к решению этой задачи.
В этом же труде он ввел понятие коэффициента приведения длины, которое в дальнейшем широко вошло в методы расчета сжатых стержней на устойчивость.
Задачи устойчивости сжатых стержней под воздействием равномерно распределенных продольных нагрузок при различных закреплениях концов были решены А.Н.Динником в функциях Бесселя. Решения изложены в его труде [159] в 1913г.
Энергетический метод определения критических сил, который позволяет избежать решения сложных трансцендентных уравнений методом попыток, и основан на равенстве потенциальной энергии деформации изгиба работе приложенных к стержню продольных сил, был предложен С.П.Тимошенко в 1910 г. в работе [276].
В отзыве на эту работу И.Г.Бубнов в 1913 г. сформулировал приближенный метод решения дифференциальных уравнений применительно к задаче устойчивости пластин. Согласно этому методу функции перемещений представляются в виде линейной комбинации некоторой системы функций координат, умноженных на неизвестные коэффициенты. Этот ряд подставляется в дифференциальные уравнения равновесия, полученный результат умножается на каждую из функций и интегрируется по объему тела. После интегрирования получается система алгебраических уравнений относительно коэффициентов, решение которой дает их значения, а следовательно, и функции перемещений. На примере устойчивости сжатого стержня И.Г.Бубнов показывает преимущества разработанного метода, не требующего вычисления потенциальной энергии деформации и приводящего к результату, найденному энергетическим методом.
В 1915 г., независимо от И.Г.Бубнова, идея этого метода была изложена Б.Г.Галеркиным в работе [149]. Затем он неоднократно использовался в решениях различных задач математической физики.
Первой работой, посвященной устойчивости стержней под воздействием периодических сил, явилась статья Н.М.Беляева [127]. В дальнейшем этому вопросу было посвящено большое количество работ. Следует отметить монографию механика и инженера академика Владимира Васильевича Болотина (26.03.1926 г.) [134]. Ему же принадлежит книга, в которой рассмотрена устойчивость элементов конструкций под воздействием неконсервативных сил [135].
Устойчивости рам и ферм посвящено большое число работ. Отметим только монографию [260] А.Ф.Смирнова, опубликованную в 1958 г., в которой эти задачи решаются с помощью ЭВМ.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Теоретическая механика Строительная механика
Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов
