Главная
Тема 12. Критерии
пластичности
Поскольку закон Гука при одноосном напряженном состоянии справедлив только в начальной стадии нагружения, обобщенный закон Гука верен тоже только в начальной стадии нагружения. Пределы применимости его определяются критериями пластичности, которые еще совсем недавно в курсах сопротивления материалов назывались теориями прочности.
Рассмотрим вначале критерии пластичности для изотропных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Вероятно, впервые критерий пластичности, известный в курсах сопротивления материалов как критерий наибольшего касательного напряжения, был высказан Ш.Кулоном в 1773 г. [352]. Он полагал, что разрушение сжатой призмы возникает в результате скольжения одной части по другой по некоторой плоскости под углом 45° к сжимающей силе. Однако Ш.Кулон безосновательно считал, что касательное напряжение в этой плоскости (максимальное) при скольжении равно предельному напряжению при растяжении, а не половине его. Таким образом, хотя Кулон и принял за критерий величину максимального касательного напряжения, однако использовал его скорее как критерий разрушения.
Как критерий пластичности (условие возникновения пластических деформаций) он был установлен в 1864 г. инженером А.Треска, который, начиная с 1863 г. в течение восьми лет занимался исследованием прессования и пробивания металлов. Краткое содержание результатов его исследований было опубликовано в 1864г. [489], а более подробное изложение дано в 1868г. [490]. А.Треска установил, что при неодноосном напряженном состоянии пластические деформации возникают тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает половины предела текучести при одноосном растяжении. Полученный результат был высоко оценен Б.Сен-Венаном, который использовал его при построении теории пластичности [253] в 1871 г. В теории пластичности этот критерий называется критерием Треска — Сен-Венана.
На рисунке представлен разрез установки А.Треска для изучения течения металлов, а также — сечение набора десяти свинцовых пластин после выдавливания на этой установке.
Установка А.Треска для изучения течения металлов
А.Треска на основе своих экспериментальных исследований установил также, что пластические деформации происходят без изменения объема, и вывел ряд формул, связывающих длину выбиваемой части стержня, силу, необходимую для создания течения, с радиусом штампа и радиусом образца.
Э.Бельтрами в 1885 г. [321] принял за критерий возникновения пластических деформаций потенциальную энергию деформации. Этот критерий не подтвердился экспериментально ни как критерий возникновения пластических деформаций, ни как критерий разрушения. В частности, при всестороннем равном сжатии он дает величины давлений, при которых возникают пластические деформации или разрушение, в то время как экспериментальные исследования П.Бриджмена всесторонних равных сжатий материалов при очень высоких давлениях порядка 30000МПа показали отсутствие не только разрушения, но и пластических деформаций [136, 137]. Несмотря на это, следует сказать, что гипотеза Бельтрами несколько продвинула развитие критериев пластичности, поскольку Бельтрами впервые в качестве критерия предложил величину, отличную от напряжений и деформаций.
Интересно, что еще до публикаций опытов П.Бриджмена Д.Максвелл в письме к своему другу физику У.Томсону (лорду Кельвину) от 18.12.1856 принял за критерий возникновения пластических деформаций не всю потенциальную энергию деформации, а только часть ее, связанную с изменением формы. Это письмо в серии писем было опубликовано значительно позднее, а в книге — только в 1937г. [421].
Этот же критерий был предложен в 1904г. в статье М.Хубера [392]. В этой работе М.Хубер, не зная о работе Э.Бельтрами, вначале повторяет его предложение, а затем в качестве критерия возникновения пластических деформаций принимает потенциальную энергию изменения формы. При этом автор указывает, что впервые разделение потенциальной энергии деформации на потенциальную энергию изменения объема и потенциальную энергию изменения формы было выполнено Г.Гельмгольцем [377]. Более подробно этот критерий изложен в другой работе М.Хубера, опубликованной в 1930 г. [391].
В курсах сопротивления материалов этот критерий называется критерием потенциальной энергии изменения формы.
Заметим, что в пространстве главных
напряжений геометрическим образом критерия наибольшего касательного напряжения
является шестигранная призма, ось которой равно наклонена к осям главных
напряжений и отсекающая на них отрезки, равные в определенном масштабе пределам
текучести σт, а геометрическим образом критерия
потенциальной энергии изменения формы — круглый цилиндр, описанный вокруг этой
призмы. Следами пересечения этих поверхностей с плоскостью, нормаль к которой
равно наклонена к осям главных напряжений (так называемой девиаторной
плоскостью), являются правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса 
, а оси главных напряжений σ1,
σ2, σ3, проецируются на линии 
, расположенные под углами 120°.
Р.Мизес, полагая, что результат, полученный экспериментально А.Треска, является истинным, но неудобным для расчетов (особенно проектировочных), так как стороны шестиугольника имеют различные уравнения, предложил в 1913 г. [211] приближенно заменить шестиугольник описанной вокруг него окружностью и таким образом пришел к критерию пластичности потенциальной энергии изменения формы.
Это же условие установил в 1924 г. механик Генрих Генки в разработанной им теории малых упругопластических деформаций [153].
В теории пластичности критерий потенциальной энергии изменения формы обычно называется критерием пластичности, или условием начала пластичности Хубера — Мизеса или Хубера — Мизеса — Генки, или Мизеса. Вероятно, правильнее было бы его называть критерием Максвелла — Хубера.
М.Рош и А.Эйхингер в 1949г. заметили, что касательное напряжение в площадке, равнонаклонной к главным площадкам (октаэдрической площадке), пропорционально квадратному корню из удельной потенциальной энергии изменения формы, что позволило им трактовать рассматриваемый критерий как критерий октаэдрического касательного напряжения: пластические деформации возникают тогда, когда октаэдрическое касательное напряжение достигает определенной величины. Заметим, что площадок, в которых касательное напряжение равно октаэдрическому, бесконечное множество (это следует из диаграммы Мора). Отличие октаэдричееской площадки от них в том, что в ней нормальное напряжение равно среднему нормальному напряжению.
В.В.Новожилов
установил в 1952 г. [219], что эквивалентное напряжение по критерию
пластичности потенциальной энергии изменения формы пропорционально квадратному
корню из среднего значения квадратов касательных напряжений в точке, которое
равно
где dΩ — элементарная площадка сферы, Ω — площадь поверхности сферы, τy — касательное напряжение в площадке сферы с нормалью y.
Выбор сферы в качестве замкнутой поверхности, окружающей рассматриваемую точку тела, объясняется тем, что только на сфере (ввиду ее полной симметрии) будет в равной мере представлено все множество площадок, проходящих через точку.
С.Д.Пономарев
показал в 1955 г. [245], что оно пропорционально квадратному корню из
минимального среднеквадратичного уклонения главных напряжений заданного
напряженного состояния от некоторого равноосного
напряженного состояния
Исследование этой величины на экстремум
приводит к заключению, что минимум ее имеет место при
и равен
Рассмотренные выше два критерия пластичности наибольших касательных напряжений и потенциальной энергии изменения формы справедливы для изотропного материала, у которого пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы.
Математик и механик Р.Хилл в 1950г. нашел [300], что если принять материал изотропным и имеющим одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, то тогда геометрическим образом условия текучести является поверхность цилиндра, который в пересечении с девиаторной плоскостью дает 12одинаковых выпуклых дуг. Очевидно, что окружность Максвелла — Хубера является хорошей аппроксимацией этих дуг. Таким образом, условие потенциальной энергии изменения формы не является гипотезой, как это часто излагается в курсах сопротивления материалов, а может быть доказано с точностью до аппроксимации. Если вокруг окружности Максвелла — Хубера описать правильный шестиугольник, то соответствующая призма в пространстве главных напряжений является геометрическим образом критерия пластичности наибольшего приведенного напряжения [210]. Этот критерий был впервые предложен в 1940г. механиком Александром Юльевичем Ишлинским (06.08.1913) [178], а затем, в 1951г., — Р.Хиллом и Г.Уиллсом [380]. В курсах сопротивления материалов обычно этот критерий не приводится, поскольку экспериментальные точки, как правило, располагаются между шестиугольником Треска — Сен-Венана и окружностью Максвелла — Хубера. Однако решение упруго пластических задач на основе критериев Треска — Сен-Венана и Ишлинского — Хилла позволяет дать нижнюю и верхнюю оценки решения задачи, основанного на условии пластичности Максвелла — Хубера. Следует отметить, что решение по первым двум условиям принципиально проще, чем решения по условию Максвелла — Хубера, так как эквивалентные напряжения в них линейно зависят от главных напряжений в отличие от условия Максвелла — Хубера.
Девиаторная плоскость по Р.Хиллу
Если пределы текучести
материала при растяжении и сжатии различны, то тогда в качестве критерия
пластичности используется критерий, предложенный О.Мором в 1900г. [212] и основанный на допущениях, что среднее главное
напряжение не оказывает влияния на возникновение пластических деформаций, и,
следовательно, образование их определяется окружностью, отсекающей на
горизонтальной оси отрезки, в определенном масштабе равные наибольшему и
наименьшему главным напряжениям (по определению Мора «главной»
окружностью), и что существует огибающая для главных окружностей напряженных
состояний при возникновении пластических деформаций. Таким образом, теория
возникновения пластических деформаций Мора, основанная на результатах
экспериментальных исследований, является феноменологической. Если принять, что
огибающая главных окружностей Мора для напряженных состояний при образовании
пластических деформаций — прямая линия, что достаточно надежно в случае, если
наибольшее и наименьшее главные напряжения имеют разные знаки или одно из них
равно нулю, то тогда легко получить простую формулу, выражающую условие возникновения
пластических деформаций:
где 
В частном случае, когда пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы, критерий Мора совпадает с критерием наибольшего касательного напряжения. Заметим, что критерий пластичности Мора может быть выведен без использования окружностей Мора на основе экспериментально полученной кривой зависимости предельного наибольшего напряжения от предельного наименьшего напряжения и аппроксимации ее прямой линией. В таком случае отпадает необходимость введения гипотезы о существовании огибающей предельных главных окружностей.
Критерий пластичности для анизотропных материалов, который иногда называют квадратичным критерием (или условием), пластичности, был предложен Р.Мизесом в 1928 г. [435]. В тензорной записи этот критерий имеет вид
Число постоянных в этом выражении равно 21. В частном случае ортотропного материала, если принять, что при всестороннем равном сжатии пластические деформации не возникают (что, вероятно, имеет место, так как касательные напряжения в этом напряженном состоянии во всех площадках равны нулю), число постоянных в условии пластичности уменьшается с 21 до 6. Последние можно определить из шести испытаний на три одноосных растяжения и три чистых сдвига в разных направлениях. Такое условие пластичности было предложено в 1948 г. Р.Хиллом [379] без ссылки на работу Р.Мизеса.
В работе Я.Рыхлевского (248] установлены возможности прямого обобщения энергетического условия Максвелла — Хубера для произвольных анизотропных линейно-упругих тел.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Теоретическая механика Строительная механика
Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов
