Главная
Тема 11. Теории
напряжений и деформаций
Теории напряжений и деформаций были созданы О.Коши. Они изложены в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1822 г., краткое содержание которой опубликовано в 1823 г. [339] и ряде последующих статей. О.Коши вывел три уравнения равновесия элементарного четырехгранника, доказал закон парности касательных напряжений, ввел понятия главных осей и главных напряжений и вывел дифференциальные уравнения равновесия (обычно они в курсе сопротивления материалов не выводятся). Им же введена поверхность нормальных напряжений (квадрика Коши), на которой располагаются концы радиус-векторов, направления которых совпадают с направлением нормалей к площадкам, а величина обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной величины нормального напряжения в этой площадке, и доказано, что эта поверхность является поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Возможность преобразования поверхности нормальных напряжений к главным осям свидетельствует о существовании в каждой точке трех взаимно главных перпендикулярных площадок.
Аналогичная поверхность касательных напряжений была введена русским механиком Г.В.Колосовым в 1933 г. [188].
Геометрическая интерпретация напряженного состояния в пространстве в виде эллипсоида напряжений была дана Г.Ламе и Б.Клапейроном в их мемуарах, представленных в Парижскую академию наук в 1828г. и опубликованных в 1833 г. [418].
Геометрическое изображение напряженного состояния на плоскости для одной серии площадок, проходящих через главную ось, в виде окружности напряжений было предложено К.Кульманом в его книге в 1866г. [355].
Для общего случая напряженного состояния очень наглядная геометрическая интерпретация его на плоскости дана О.Мором (так называемая круговая диаграмма Мора) [439] в 1882г. Из нее можно сделать ряд важных заключений об экстремальности главных напряжений, положении площадок, в которых касательные напряжения максимальны, и о величинах этих максимальных касательных напряжений.
О.Коши дал определение деформаций, вывел зависимость их от перемещений в частном случае малых деформаций (эти зависимости, как правило, в курсе сопротивления материалов не выводятся), определил понятия главных напряжений и главных деформаций и получил зависимости компонентов напряжений от компонентов деформаций, как для изотропного, так и для анизотропного упругого тела. В сопротивлении материалов обычно устанавливаются зависимости компонентов деформаций от компонентов напряжений для изотропного тела. Они называются обобщенным законом Гука, хотя, конечно, это название условно, так, как Р.Гуку понятие напряжения известно, не было.
В указанных зависимостях Коши вначале ввел две постоянных и записал зависимости напряжений от деформаций в виде
где 
, т.е. так, как это принято в теории
упругости (с другими обозначениями). Однако в дальнейшем О.Коши принял концепцию
Л. Навье.
Согласно ей упругие тела состоят из молекул, между которыми при деформировании
возникают силы, действующие по направлениям прямых линий, соединяющих молекулы,
и пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Тогда число упругих
постоянных для общего случая анизотропного тела равно 15, а для тела
изотропного получаем одну упругую постоянную. Этой гипотезы придерживался С.Пуассон,
а вначале — Г.Ламе и Б.Клапейрон.
На основании ее Пуассон установил, что коэффициент поперечной деформации равен
1/4.
Д.Грин в 1839 г. вывел зависимость между деформациями и напряжениями без использования гипотезы о молекулярном строении упругих тел [374]. Он получил их на основе принципа сохранения энергии, введя понятие упругого потенциала, и показал, что при использовании линейных зависимостей шести компонентов деформаций от шести компонентов напряжений из 36 коэффициентов независимыми являются 21, т.е. в общем случае анизотропного тела число упругих постоянных равно 21. Для изотропного тела число упругих постоянных снижается до двух. Теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 15, а для изотропного 1, иногда называлась «рариконстантной» или «униконстантной», а теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 21, а для изотропного 2 — «мультиконстантной».
Спор между сторонниками этих теорий побудил физиков к экспериментальным исследованиям.
Г.Вертгейм на основании замеров внутренних объемов стеклянных и металлических труб при осевом растяжении установил в 1848 г., что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. Он считал его различным для различных материалов, но для многих материалов близким к 1/3 [497].
А.Я.Купфер, испытывая в 1853 г. на растяжение и кручение, металлические стержни, также получил, что отношение модулей при сдвиге и растяжении не соответствует величине поперечной деформации, равной 1/4 [411].
Ф.Нейманн испытывал в 1855 г. на изгиб образцы прямоугольного поперечного сечения и измерял при этом углы поворота двух граней балки, (перечное сечение принимает трапецеидальную форму). В результате он показал, что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. К такому же выводу пришел Г.Кирхгоф, ученик Ф.Неймана, на основании проведенных в 1859 г. испытаний на совместный изгиб и кручение круглых латунных стержней, заделанных одним концом и нагруженных на другом сосредоточенной силой, с замером угла закручивания стержня и угла поворота сечения [405].
Большое экспериментальное исследование коэффициентов поперечной деформации для различных сортов стали, провел один из учеников Г.Кирхгофа М.Ф.Окатов в 1865 — 1866 гг. Результаты приведены в его докторской диссертации [222]. Испытания на кручение и изгиб тонких призм, вырезанных из монокристаллов, а также испытания сжимаемости кристаллов при всестороннем равном сжатии были проведены В.Фойгтом и описаны в его многочисленных статьях, объединенных в дальнейшем в книге [495], опубликованной в 1910 г. Они подтвердили правильность мультиконстантной теории.
Глубокое исследование математической структуры закона Гука для анизотропных тел было проведено механиком и инженером Яном Рыхлевским в 1984 г. [247] на основе введенного им понятия собственного упругого состояния. В частности, им показано, что 21 упругая постоянная представляет собой шесть истинных модулей жесткости, 12 дистрибуторов жесткости и три угла.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Теоретическая механика Строительная механика
Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов
