Главная

Лекция 15 (продолжение). Примеры решения на динамические нагрузки

Расчеты при инерционных нагрузках

Пример 1.

Проверить прочность стального каната, с помощью которого поднимается вверх кабина лифта с ускорением а = 5 м/сек². Масса кабины m_к = 500 кг, длина каната l = 50 м, диаметр d = 4 см. Характеристики материала каната: плотность = 7,75 г/см³, допускаемое нормальное напряжение R_adm= 30 МПа (см. рис.).

Решение.

Составив условие динамического равновесия в виде , определим наибольшее продольное усилие в канате:

где А – площадь поперечного сечения каната.

Максимальное динамическое напряжение будет равно

= 11,64 МПа.

Условие прочности для каната выполняется.

Пример 2.

Проверить прочность горизонтального бруса, поднимаемого вверх силой F, приложенной посередине бруса, с ускорением а, равным 2g (рис.1, а). Брус квадратного поперечного сечения со стороной а₁ = 5 см, длина бруса l = 2 м. Характеристики материала бруса: плотность = 2,8 г/см³ , допускаемое нормальное напряжение R_adm = 100 МПа.

Решение.

Рассчитаем интенсивность равномерно распределенной статической нагрузки, вызванной силой веса

Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки равна

= 206 Н/м.

Определяем интенсивность суммарной распределенной нагрузки

Величину сосредоточенной силы F определим из условия динамического равновесия бруса

Эпюры интенсивностей нагрузок q, p_i показаны на рис. 1, б, в, эпюры интенсивности суммарной нагрузки , поперечной силы Q и изгибающего момента М – на рис. 2.

Максимальный момент будет

Осевой момент сопротивления квадратного сечения равен

Определяем максимальное динамическое напряжение

Условие прочности для бруса выполняется.

Пример 3.

Стальной горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 0,6 м равномерно вращается с постоянной угловой скоростью n = 1000 об/мин вокруг вертикальной оси I – I (рис. а).

Определить наибольшее нормальное растягивающее напряжение в стержне, если плотность его материала = 7,75 г/см³.

Подпись: pi,max=π2ρAn2l/1800

Решение.

Рассчитаем интенсивность сил инерции в стержне (т.е. силу инерции, отнесенную к единице длины), учитывая, что она равна массе участка единичной длины, умноженной на нормальное ускорение а_n, т.е.

или, принимая во внимание, что

получаем Эпюра p_i показана на рис. б.

Продольная растягивающая сила N в сечении, расположенном на расстоянии x от оси вращения, равна площади эпюры р_iна участке от сечения до конца стержня, т.е. в рассматриваемой задаче – это площадь трапеции:

Эпюра N показана на рис. в. Наибольшее значение продольной силы будет

Определяем наибольшее растягивающее напряжение

Пример 4.

Стержневая система, показанная на рис. а, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси АВС. Построить эпюру изгибающих моментов М_и от действия инерционных сил и определить допустимое по прочности число оборотов в минуту, если плотность материала стержней = 7,75 г/см³, а допускаемое нормальное напряжение R_adm =160 МПа. Поперечные сечения стержней круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м.

Подпись: 0,5qa2

Решение.

Определяем интенсивность сил инерции р_iв отдельных стержнях.

Участок АВС. Силы инерции отдельных частиц стержня взаимно уравновешиваются и изгиба не вызывают; таким образом р_i^АВС = 0;

Участок СD. Силы инерции направлены вдоль оси стержня. На расстоянии x от оси вращения интенсивность их будет равна

т.е. при x = 0 имеем а при x = а получаем Обозначим буквой q интенсивность сил инерции в точке х = а, т.е.

Участок DЕ. Так как этот участок параллелен оси вращения, то интенсивность сил инерции на нем будет постоянна и равна

р_i^DE= q = const.

Эпюры инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, показаны на рис. б.

Далее определяем изгибающие моменты и строим эпюру М_и. На участке DE эпюра М_и – парабола, на участке DC – прямая, параллельная стержню CD, на участке СB – наклонная прямая и на участке АВ также наклонная прямая (рис. в).

У к а з а н и е. Равнодействующая распределенной вдоль стержня CD инерционной нагрузки p_i равна площади эпюры p_i, т.е. в данном случае площади треугольника (R = aq/2).

Из эпюры М_ивидно, что максимальное значение изгибающего момента будет в сечении В

Запишем условие прочности в виде где осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения подсчитываем по формуле W_z= 0,1d ³.

Таким образом, условие прочности имеет вид

или

откуда находим допускаемую угловую скорость в рад/сек

и допускаемое число оборотов в минуту

Пример 5.

Маховик с радиусом инерции массы i = 600 мм и массой т =200 кг (см. рис.) вращается с угловой скоростью =75,4 рад/с. При торможении с равномерным замедлением маховик останавливается через 20 оборотов. Определить максимальное касательное напряжение в вале диаметром d = 50 мм, на котором посажен маховик

Решение.

При равнозамедленном движении угловое ускорение (замедление) маховика

Крутящий момент ,

Касательное напряжение

Здесь .

Пример 6.

Стальной диск диаметром D =250 мм и толщиной h =50 мм установлен на валу диаметром d =50 мм и длиной l = 1000 мм (см. рис.) и вращается с частотой n = 600 мин^-1. Определить наибольшие напряжения в вале при внезапном торможении правого его конца.