Устойчивость

 

Главная

Лекция 9. Устойчивость сжатых стержней

 

Содержание

Концепция устойчивости

Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем

Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня   

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями

Устойчивость стержней с иными видами закрепления

Пределы применимости формулы Эйлера

Практический инженерный метод расчёта на устойчивость Ф. Ясинского

Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня из  нелинейно - упругого материала

Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана    

Устойчивость стержня в процессе нагружения за пределом упругости. Концепция Шенли

Устойчивость стержней как элементов конструкций

Продольно-поперечный изгиб упругого стержня

Выпучивание сжатой колонны при внецентренном сжатии

Устойчивость стержня, сжатого следящей силой

Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести

Устойчивость плоской формы изгиба балок

Энергетический метод определения критических нагрузок

Расчет сжато-изогнутого стержня по деформированному состоянию

Пример расчета гибкого сжато-изогнутого стержня

Вопросы для самопроверки

 

Концепция устойчивости

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р. До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

Наглядной иллюстрацией устойчивого состояния равновесия служит поведение тяжёлого шарика на гладкой поверхности (рис. 9.1).

а)                                                           б)                                                             в)

Рис. 9.1

 

Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия I, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в случае а) шарик начнёт колебаться около нижнего положения I и вернётся к нему; в б) он остаётся безразличным, а в случае в) он начнёт сразу же удаляться от положения I.

Приведённый пример отождествляет понятие устойчивого состояния шарика со свойством возмущённого (отклонённого) состояния II возвращаться к исходному I.

История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых было определение, данное Л.Эйлером в 1749г. в связи с практически важным вопросом того времени – вопросом устойчивости кораблей Российского флота: «тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело, будучи несколько наклонено, опять справится» (рис. 9.2).

Термин устойчивость был введён в науку впервые Л.Эйлером. Применительно к упругим системам определение Эйлера можно сформулировать следующим образом: равновесие упругой системы при заданных внешних силах считается устойчивым в смысле Эйлера, если после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию (рис. 9.3). В противном случае исходное состояние равновесия системы считается неустойчивым.

 

а) Исходное состояние

б) Возмущённое состояние

с восстанавливающим моментом

в) Возмущённое состояние

с опрокидывающим моментом

 

Рис. 9.2

 

а)                                           б)                                    в)                            г)

Рис. 9.3

 

Минимальное значение силы P, при котором система впервые не возвращается к исходному состоянию, называется бифуркационным. При этом значении нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, т.к. наряду с исходной прямолинейной формой равновесия стержня существует отклонённая форма.

Другим, более общим, определением устойчивости состояния равновесия является определение Лагранжа: исходное состояние равновесия упругой системы устойчиво, если после отклонения её от этого состояния она, предоставленная самой себе, стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, затухающие со временем при наличии сил внешнего и внутреннего сопротивления (рис. 9.4,а).

С увеличением сжимающей силы частота  собственных колебаний системы стремится к нулю, а затем движение становится апериодически неустойчивым (рис. 9.4,б).

Для консервативных внешних сил критическая нагрузка находится из условия равенства нулю частоты собственных колебаний и совпадает с эйлеровой нагрузкой.

а)                                                                         б)

Рис. 9.4

 

Если система (сжатый стержень) испытывает пластические деформации, то при любом малом возмущении он изгибается и затем при снятии возмущения не возвращается в своё исходное состояние (рис. 9.2, г). Получается, что по Эйлеру всякое равновесное состояние сжатой системы за пределом упругости – неустойчивое. Такое допущение с практической точки зрения является абсурдным. В.Г.Зубчаниновым предложено частное определение устойчивости сжатой системы за пределом упругости: состояние равновесия упругопластической системы является устойчивым, если она после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в своё исходное состояние, пребывая в его малой окрестности.

Из приведённых выше трёх определений по существу вытекает одинаковый метод исследования элементов конструкций на устойчивость – метод проб на устойчивость путём возмущения исходного состояния равновесия при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает тем недостатком, что не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого был достигнут данный уровень внешних сил, а также тем, что ограничивает область анализа устойчивости лишь малой окрестностью точки бифуркации (рис. 9.5).

Что произойдёт за точкой бифуркации при дальнейшем нагружении системы? На этот вопрос метод проб ответа не даёт. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования  послебифуркационного поведения невозможно.

Так, для стержней (см. рис. 9.5, кривая 1) после бифуркации перемещения растут настолько быстро, что предельное значение нагрузки  практически не отличается от бифуркационного.

Рис. 9.5

 

При достижении предельного значения прогибы катастрофически нарастают и для их развития не требуется увеличивать сжимающую нагрузку. Такое поведение стержней предопределило успех бифуркационной теории Эйлера при расчёте стержней и стержневых систем на устойчивость. Для пластин после бифуркации вначале также наблюдается быстрый рост прогибов в некоторой окрестности исходного состояния (рис. 9.5, кривая 1).

Тонкие пластины и панели образуют выпучины, которые становятся явно заметными. В послебифуркационной стадии прогибы продолжают увеличиваться по мере увеличения нагрузки, но пластина остаётся в малой окрестности своего исходного плоского состояния, пока не достигнуто предельное значение нагрузки .

У оболочек после бифуркации наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки и потому они весьма чувствительны к начальным несовершенствам (рис. 9.5, кривая 1).

В основе современной концепции устойчивости, её методологии лежит исследование процессов нагружения конструкций и их элементов. Процесс нагружения упругой или упругопластической системы считается неустойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса отвечают катастрофическое развитие перемещений и деформаций. Катастрофа наступает в предельных точках, называемых точками бифуркации Пуанкаре. Соответствующие нагрузки называют пределами устойчивости или критическими нагрузками. В предельных точках

Условие (9.1) принимается за критерий неустойчивости при квазистатическом нагружении упругопластических систем.

На практике все реальные элементы имеют начальные несовершенства (технологические прогибы, эксцентриситет приложения нагрузки и др.).

Такие элементы начинают выпучиваться (изгибаться) с самого начала нагружения (рис. 9.6,а).

Неустойчивость реальных элементов наступает в предельных точках точно так же, как и у идеальных систем с устойчивым докритическим выпучиванием (рис. 9.5, кривые 2).

а)                                                            б)

Рис. 9.6

 

В связи с этим все малые начальные несовершенства отнесём к возмущениям. Это естественно, ибо когда смотрим на инженерную конструкцию (например, мостовую ферму со сжатыми элементами), мы представляем её геометрически и статически совершенной (идеальной).

На процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами мы будем смотреть как на возмущённый процесс по отношению к послебифуркационнному процессу идеальной системы. Однако если возмущающие факторы чрезмерно велики, то задачи устойчивости может и не быть (см. рис.9.6,б).

Здесь изображено поведение сжатого стержня при выпучивании за пределом упругости. Если возмущающий эксцентриситет  меньше некоторого числа , то при некоторой предельной нагрузке  (предел устойчивости) произойдёт потеря устойчивости. Если  достаточно велико (), то задачи устойчивости не возникает, в этом случае имеет место продольный изгиб. В обоих случаях кривые стремятся по мере роста прогиба к некоторой нагрузке , разделяющей указанные задачи и называемой нагрузкой надёжности устойчивых состояний.

Для стержней и пластин пределы устойчивости в возмущённом и невозмущённом состояниях близки друг к другу. Поэтому предел устойчивости для идеальных элементов следует принять за расчётные критические нагрузки. Для стержней, как мы уже отмечали, предел устойчивости близок к нагрузке бифуркации, что существенно облегчает задачу их расчёта на устойчивость.

У пластин в пределах упругости бифуркационные нагрузки значительно меньше предела устойчивости и потому задача расчёта на устойчивость сводится, в конечном счёте, к решению нелинейной задачи выпучивания.

У оболочек предел устойчивости весьма чувствителен к начальным несовершенствам (рис. 9.7). Поэтому здесь существенное значение приобретает знание среднестатического значения начальных несовершенств .

Рис. 9.7

                             

Ещё одним важным обстоятельством при формировании концепции устойчивости является учёт ползучести материалов. В связи с этим процесс нагружения разделяется на два этапа: мгновенный процесс нагружения и этап процесса ползучести во времени при постоянной внешней нагрузке. На втором этапе процесс протекает во времени, значительно большем, чем требуется для процесса нагружения до заданного уровня.

Здесь возможны два варианта постановки задачи устойчивости. Первый относится к случаю ограниченной ползучести материала, второй – неограниченной.

Рассмотрим первый случай. На рис. 9.8,а кривая 1 относится к первому этапу нагружения, кривая 2 – ко второму после полной выборки ограниченной ползучести. Через  обозначен предел устойчивости при мгновенном нагружении, через   - предел устойчивости при длительном нагружении после выборки ползучести. Он называется пределом длительной устойчивости.

а)                                                           б)

Рис. 9.8

 

Рассмотрим точку М на кривой 1, для которой . В результате ограниченной ползучести (см. рис. 9.8,б) она переходит в точку . Такой процесс выпучивания на втором этапе – устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Пусть теперь  (точка N на кривой 1 (рис. 9.8,а)). Несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучивание элемента будет происходить до достижения мерой перемещения f некоторого значения (точка  на штрихпунктирной кривой пределов устойчивости), после чего происходит выщёлкивание элемента конструкции (рис. 9.8, отрезок ), которое называют иногда локальной катастрофой, представляющую собой во времени разрывную динамическую бифуркацию.

В случае ограниченной ползучести оказывается возможным найти длительный предел устойчивости  - такой, что при  можно быть уверенным в том, что система останется устойчивой и будет пребывать в малой окрестности исходного состояния равновесия.

Рассмотрим теперь процесс выпучивания элемента материала, обладающего неограниченной ползучестью (рис. 9.9).

В этом случае кривая 1 (рис. 9.9) по-прежнему относится к мгновенному нагружению и на её основании можно найти предел устойчивости . Однако на втором этапе для любого  процесс является неустойчивым (рис. 9.9,б). При достижении точки N/ происходит локальная катастрофа по истечении некоторого промежутка времени, называемого критическим временем.

а)                                                                  б)

Рис. 9.9

 

В этот момент имеет место условие:

а перемещение f достигает некоторого предельного конечного значения . При и заданном постоянном  происходит динамический хлопок, называемый иногда локальной динамической катастрофой или бифуркацией. Если  то потери устойчивости не происходит. Элемент испытывает продольный изгиб (рис. 9.9,а, линия 2). Процесс выпучивания  приводит при  к разрушению элемента конструкции. Время  назовём временем разрушения или жизни элемента при продольном нагружении в условиях ползучести.

Таким образом, при учёте ползучести материалов, следует руководствоваться двумя критериями неустойчивости (9.1), (9.2). Может случиться так, что конструкция, устойчивая на первом этапе, т.е. без учёта свойств материалов во времени, окажется неустойчивой на втором длительном этапе функционирования.

 

Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем

1. Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении. Реакцию пружины R представим соотношением:

где f - горизонтальное перемещение верхнего конца стойки. Если перемещение f мало, то нелинейными членами можно пренебречь и принять . В противном случае задача принимает геометрически нелинейный характер.

Нагрузим стойку вертикальной силой P. Если подействовать на жёсткий стержень поперечной малой возмущающей силой q, то он отклонится на некоторый малый угол . Теперь снимем эту силу статически. Если стойка вернётся при заданном значении силы P в исходное состояние, то она устойчива в смысле Эйлера, если не вернётся, то неустойчива. Пусть имеет место второй случай. Составим уравнение равновесия стойки:

где  - реакция упругой пружины.

Из (9.4) следует уравнение

откуда либо f=0 (устойчивость), либо  (неустойчивость). Пусть . Тогда в нуль обратится круглая скобка, что позволяет найти критическую силу

Полученное значение силы , при котором система впервые не возвратилась к исходному состоянию, называется бифуркационной нагрузкой Эйлера. При этом значении силы  происходит нарушение единственности решения задачи (f=0), т.е. бифуркация или ветвление решения. Вопрос о том, как будет вести себя стойка при  остаётся открытым.

2. Метод Лагранжа.  В основу этого метода положено динамическое определение устойчивости состояния равновесия Лагранжа. Для отклонённого состояния стойки, пользуясь принципом Даламбера, имеем (рис. 9.10,б):

где R=kf - упругая реактивная сила,   - сила инерции,  - прогиб,   - ускорение, m – масса груза на конце стойки.

а)                                                    б)

Рис. 9.10

 

Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной массой m:

Полагая , получим характеристическое уравнение:

где

Если , то  

где  - круговая частота колебаний,  - начальная фаза, A – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

где  - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени t затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

Если , то k – действительное число. Решение принимает вид:

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При  имеем . При  происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе  

Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

 

3. Метод Кармана (начальных несовершенств). Т.Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки. Применим метод Кармана к стойке на рис. 9.11,а.

а)                                                  б)                                                в)

Рис. 9.11

 

Стойка имеет отклонение от вертикали на некоторый угол  и сжимается силой P. При P>0 стойка отклонится от вертикали на угол . Уравнение равновесия в некоторый момент процесса продольного нагружения стойки имеет вид

где . Из (9.12) следует:

Дифференцируя по f или по P соответственно, находим:

откуда при  следует  Согласно изложенной концепции значение силы  является пределом устойчивости и совпадает с эйлеровой силой.

 

4. Энергетический метод С.П. Тимошенко. При отклонении системы на угол  от положения равновесия (рис. 9.11,в), верхний конец стержня опускается на величину . Сила P совершает работу . Перемещение

где прогиб           

Работа силы P на перемещение  принимает вид  

Упругая внутренняя реактивная сила R=kf совершает работу, называемую потенциальной энергией деформации:

Величина

носит название полной потенциальной энергии системы, связанной с потерей устойчивости. Если П>0 (P<kl), то энергии  П достаточно для возвращения стержня в исходное состояние, т.е. его состояние равновесия устойчиво. Если П<0 (P>kl), то энергии деформации недостаточно для возвращения стержня в исходное состояние равновесия, т.е. он находится в неустойчивом состоянии равновесия. Граничное значение энергии П=0 является критерием для определения критической силы P=kl. Таким образом, энергетический метод приводит к критической нагрузке, равной нагрузке Эйлера для данной модели.

 

5. Метод Койтера исследования нелинейного  послебифуркационного  процесса  выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):

т.е. зависимость носит нелинейный характер.

а)                                                                           б)

Рис. 9.13

 

Тогда уравнение равновесия (9.3) примет вид

откуда либо f=0, либо , и тогда равно нулю выражение в  квадратной скобке. Второе условие приводит к соотношению, которое позволяет установить зависимость между силой P и перемещением f в процессе нагружения элемента:

Если , то имеем кривые зависимости с симметричной бифуркацией (рис. 9.13,а). Предположим, что с развитием выпучивания и увеличением перемещения f в пружине при  возникают пластические деформации. Тогда вместо (9.3) при  имеем:

откуда

и с ростом f нагрузка P будет падать (рис. 9.13,а).

В реальных системах переход к пластической стадии деформирования осуществляется на графике P от f плавно с экстремальной предельной точкой.

Если , то согласно (9.17) имеем симметричную неустойчивую бифуркацию, характерную для сжатых неупругих стержней и пластины (рис. 9.13,б).

Пусть теперь

Тогда, согласно (9.12), имеем:

откуда при  получаем:

При  зависимость (9.19) имеет несимметричный вид (рис. 9.14,а). Прогибы f после бифуркации растут при падающей нагрузке. Такая точка бифуркации называется неустойчивой. Она характерна для упругих оболочек. 

Если , то бифуркация будет также несимметричной (рис. 9.14,б).

а)                                                                                   б)

Рис. 9.14

            

Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня  

Познакомившись с концепцией устойчивости и модельными задачами, мы можем теперь перейти к рассмотрению задач устойчивости упруго сжатого стержня (рис. 9.15).

а)                                                          б)

Рис. 9.15

 

Считаем стержень идеально прямым и сжатым центрально приложенными силами P (рис. 9.15,а). Следуя методу Эйлера, будем считать исходное состояние равновесия упругого стержня устойчивым, если после статического приложения и снятия возмущающей силы при постоянных внешних сжимающих силах P стержень возвращается к своей исходной прямолинейной форме равновесия. В противном случае состояние равновесия считаем неустойчивым.

Допустим, что стержень остался в изогнутом состоянии (рис. 9.15,б). Отсечём часть стержня на расстоянии z от начала координат, считая угол поворота сечения   малой величиной, и составим уравнения равновесия:

Изгибающий момент в поперечном сечении, согласно (6.9), равен:

Приравнивая выражения моментов (9.20), (9.21), находим:

Дифференцируя (9.22) по z, получим:

дифференцируя (9.23) по z, приходим к уравнению изогнутой оси потерявшего устойчивость стержня четвёртого порядка: 

Введём обозначение:

Тогда уравнения (9.22), (9.24) можно записать в виде

Общее решение уравнения (9.26) имеет вид:

В него входят четыре произвольные постоянные .

Общее решение уравнения (9.27):

В него входят четыре произвольные постоянные

Производные:

Используя (9.30), из (9.21), (9.23) находим:

 Постоянные  находятся из граничных условий. Для шарнирно закреплённого по концам стержня при z=0 и z=l имеем условия:

Для стержня, защемлённого при z=0  и свободного от закрепления при z=l, должны выполняться условия:

  при z=0,

 при z=l.

Если на незакреплённом конце при z=l  действуют внешние момент m и поперечная сила R, то

M=m, Q=R.

При любом закреплении концов стержня мы имеем четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые при подстановке в них выражений (9.28), (9.29) приводят к системе четырёх однородных алгебраических уравнений вида:

или

Система уравнений (9.32) имеет отличные от нуля решения  только при условии, что её определитель:

откуда, после его раскрытия, находим некоторое числовое значение kl:

где  - некоторое число. Возводя обе части полученного равенства в квадрат и используя обозначение (9.25), получаем формулу для критического значения силы (нагрузки бифуркации) Эйлера:

где   - приведённая длина стержня,  - коэффициент приведения длины стержня к длине шарнирно опёртого по концам стержня.

Можно сказать, что  – число, показывающее, во сколько следует увеличить длину шарнирно-опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной  в рассматриваемых условиях закрепления.

Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. Ясинским.

Соответствующее критическое напряжение Эйлера:

где

гибкость стержня,

 - радиус инерции площади поперечного сечения.

Формула (9.33) для критической силы сжатой колонны  была получена Эйлером в 1744г. а для сжатого шарнирно опёртого стержня  - в 1757г. Во времена Эйлера (1707 – 1783) главными конструкционными материалами были камень и древесина. Их слабое сопротивление нагрузкам заставляло инженеров создавать массивные конструкции и сооружения, для которых вопросы устойчивости не имели первостепенного значения. Поэтому теория устойчивости Эйлера долгое время не находила практического применения. Только с введением стали в проектирование инженерных конструкций с гибкими элементами, вопросы устойчивости получили большое практическое значение.

 

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями

Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с граничными условиями:

  при

Удовлетворяя решение (9.29) четырём условиям (9.36), получим систему четырёх уравнений относительно неизвестных постоянных

откуда получаем  

Если , то V=0. Если , то  и  откуда следует  где n=1,2,3,… Следовательно

откуда эйлерова бифуркационная нагрузка:

Минимальная бифуркационная сила имеет место при n=1, т.е. при изгибе стержня по одной полуволне:

При n>1 выпучивание возможно, если в точках смены знаков кривизны и прогибов установить дополнительные опоры (рис. 9.16). В этом случае .

Рис. 9.16

 

Устойчивость стержней с иными видами закрепления

Рассмотрим задачи о продольном изгибе сжатых стержней с иными видами закрепления их краёв. На рис. 9.17 представлены различные случаи закрепления краёв стержня. Случаи а) и б) уже рассмотрены нами в 9.4. Обратимся к другим случаям на рис. 9.17:

а) Колонна с защемлённым нижним и свободным верхним краями (рис. 9.17, в). Пусть при z=0 стержень жёстко защемлён, а при z=l - свободен от закрепления.

Граничные условия имеют вид

  при z=0,

 при

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.39) получим:

откуда находим  

Это условие может быть выполнено, если  Мы получим  

Рис. 9.17

 

В этом случае стержень остаётся в исходном прямолинейном состоянии равновесия, т.е. устойчив. Если coskl=0, то это приводит к значениям . Критическая сила с учётом   равна:

Её наименьшее значение отвечает n=0, т.е.

Уравнение изогнутой оси стержня при найденных значениях постоянных :

Сравнивая (9.40) с (9.33) находим  

Эту задачу можно решить несколько иначе, воспользовавшись решением (9.28) уравнения (9.26) второго порядка. Для рассматриваемой задачи  где f- прогиб незакреплённого края при z=l .Тогда, согласно (9.28), имеем:

Удовлетворяя это решение граничным условиям:

получаем

откуда следует:  Это условие удовлетворяется, если положить  

Тогда

Следовательно, оба решения приводят к одной критической силе Эйлера (9.40).

б) Стержень с шарнирно опёртым и жёстко защемлённым краями. В этом случае граничные условия имеют вид

Подстановка общего решения (9.29) в (9.41) приводит к системе уравнений:

откуда находим  а также систему двух уравнений:

Приравнивая к нулю определитель этой системы, находим уравнение

tgkl=kl,

откуда получаем его наименьший корень: kl =4,493 (рис. 9.18).

Рис. 9.18

 

С учётом  находим критическое значение силы Эйлера:

Сравнивая (9.42) с (9.33), получаем . Уравнение изогнутой оси имеет вид:

в) Сжатый стержень с двумя жёстко защемлёнными краями

Граничные условия имеют вид:

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.43), получим систему уравнений:

откуда находим:  и систему двух уравнений:

Приравнивая к нулю определитель этой системы двух уравнений, получим соотношение:

, которое будет выполнено, если

  либо   .

Первое приводит к  и критической силе Эйлера при n=1:

Второе условие приводит к наименьшему значению  и критической силе Эйлера:

большей, чем значение, которое даёт формула (9.44). Таким образом, наименьшей критической силой для жёстко защемлённого по обоим концам стержня является (9.44), для которой . Уравнение изогнутой оси в этом случае описывается уравнением:

г)  Влияние упругого защемления на устойчивость сжатой колонны.

Рассмотрим сжатую стойку (колонну), нижний конец которой при z=0 упруго защемлён (рис. 9.19). Мысленно рассечём узел и заменим упругую связь пружиной. Граничные условиями задачи будут:

Поскольку момент m заранее неизвестен, то следует дополнить условие совместности деформирования стержня и балки в узле при z=0.  Это дополнительное граничное условие имеет вид

где угол  найден из решения задачи об изгибе балки с помощью формулы Мора.

а)                                                        б)

Рис. 9.19

 

Удовлетворяя теперь решение (9.24) граничным условиям, находим:

Решая полученную систему уравнений, находим:

откуда следует:

Если стержень жёстко защемлён при z = 0, то     

 что с учётом

приводит к выражению критической силы Эйлера:

Пусть . Тогда и наименьшее значение корня этого трансцендентного уравнения  С учётом  получаем выражение критической силы для упругозащемлённого стержня при частных соотношениях геометрических параметров:

что в 1,74 раза меньше критической нагрузки при жёстком защемлении. Таким образом, упругое защемление концов стержня снижает критическое значение сжимающей силы.

На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми концами.

Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.

 

Пределы применимости формулы Эйлера

Формулы Эйлера (9.33), (9.34) получены в предположении упругого поведения материала, т.е. при условии:

где  - предел пропорциональности.

При  из (9.45) получаем предельное значение гибкости:

разделяющей области упругой () и неупругой () потерь устойчивости стержня. Для малоуглеродистой стали  получаем:

Для алюминиевого сплава Д16Т (дюраль) ,   находим: .

На практике часто элементы конструкций оказываются недостаточно гибкими и . В этих случаях формула Эйлера даёт неверные, завышенные, результаты. Впервые это обнаружил Ходкинсон (Англия) в своих опытах по продольному изгибу сжатых колонн в 1840г. Формула Эйлера подтверждалась для гибких стержней и обнаруживала значительные отклонения для коротких стержней.

Е. Ламарль (Бельгия) в 1845г. первым установил границу применимости формулы Эйлера. Он предложил для стержней малой гибкости  принять критическое напряжение , равным пределу текучести . В дальнейшем теория устойчивости Эйлера подверглась проверке в опытах И. Боушингера (1887г.), Л. Тетмайера и М. Консидера (1890-1896гг.)

В 1889г. Ф. Энгессер (Германия) предложил вычислить критическое напряжение по формуле Эйлера с заменой модуля упругости E на касательный модуль ,

Напряжение, вычисляемое по формуле (9.47), называют критическим касательно-модульным напряжением Ф. Энгессера. Соответствующая формула для касательно-модульной нагрузки имеет вид:

Для построения диаграммы критических напряжений формулу (9.48) следует записать в виде:

Обрабатывая диаграмму сжатия , можно найти зависимость . Тогда для каждого   правая часть в (9.49) вычисляется и поэтому становится известной гибкость .

На рис. 9.20 представлены диаграммы сжатия и критических напряжений.

а)                                                            б)

Рис. 9.20

 

В 1895г. Л. Тетмайер и Ф. Ясинский на основе анализа экспериментальных данных предложили для вычисления критических напряжений эмпирическую линейную формулу

где  - наибольшее значение гибкости для которой ещё можно считать  

Полагая в (9.50)  и   получаем:

откуда находим формулу для выражения коэффициентов:

На основании (9.51) ниже составлена таблица значений коэффициентов a,b для некоторых материалов.

 

Таблица 9.1. Таблица значений коэффициентов а, b для некоторых материалов

Материал

МПа

МПа

МПа

МПа

a

МПА

b

МПа

Сталь мало-

углеродистая

2

200

240

-

100

40

266,7

2/3

Сплав Д16Т

(дюраль)

0,75

 

200

 

-

 

400

 

62

0

400

 

3,33

 

Сталь 30ХГСА

(хромансил)

2,1

750

-

1100

52,6

0

1100

6,65

Сталь 45

2

260

300

-

87

30

321

0,7

Дерево

(сосна)

0,1

 

10

 

-

 

20

 

70

 

0

 

30

 

0,2

 

 

Джонсон для материалов с площадкой текучести предложил для критического  напряжения параболическую формулу:

Постоянные А, В определяются из условий  при  при  Используя эти условия, находим:

После подстановки этих значений А, В в (9.52) получаем:

Как видно, для построения диаграммы критических напряжений   достаточно знать всего две механические характеристики материала . 

Формулу (9.53) можно записать в виде

где

эмпирический модуль Джонсона. Для его вычисления необходимо знать лишь  и . Формула (9.54) записана в форме (9.47). Поэтому на модуль (9.55) можно смотреть как на приближённую аппроксимацию касательного модуля

 

Практический инженерный метод расчёта на устойчивость Ф. Ясинского

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т.е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести  (при пластичном материале) или предела прочности  (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 30-40, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или  (сталь), или  (чугун, дерево).

   Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории  тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

Рассмотрим две простейшие стержневые системы (рис. 9.21).

Узел А в обоих примерах испытывает одинаковое по модулю воздействие реактивных сил. Однако условия работы среднего стержня 2 будут различны. В схеме на рис. 9.21,а все стержни работают на растяжение, и мы должны потребовать выполнения условия прочности для растягивающих напряжений:

а)                                                       б)

Рис. 9.21

 

Во втором случае на рис. 9.21,б средний стержень 2 работает на сжатие, а два других - на растяжение, и мы кроме условия прочности на растяжение должны обеспечить условие прочности на сжатие:

Однако этого недостаточно, т.к. сжатый стержень может потерять устойчивость. Поэтому мы должны потребовать выполнения условия устойчивости:

Ф. Ясинский ввёл понятие коэффициента продольного изгиба (снижения основного допускаемого напряжения):

и записал условие устойчивости в виде

или

где  - называют расчётным напряжением.

Поначалу Ф. Ясинский считал   Тогда:   

Для  имеет место формула Эйлера и условие для предельной гибкости:

откуда следует

Тогда для коэффициента продольного изгиба получаем:

Следовательно, коэффициент    изменяется в зависимости от   по закону гиперболы.

Для   воспользуемся формулой касательного модуля либо её аппроксимацией в форме Джонсона:

для коэффициента   получаем формулу

из которой видно, что   изменяется по закону параболы.

На рис. 9.22 представлен график  от   для стали 3  В этом случае   В последствии в СНиПе было уточнено отношение коэффициентов запаса , и расчёт стал производиться по формуле (9.56):

Рис. 9.22

 

Для стали обычно . Коэффициент запаса на устойчивость для  принимается постоянным: .  При  Точка В, в которой , снижается до значения

что отмечено на рис. 9.22 в точке В.

Для стержней из дерева в СНиПе рекомендуется формула

Для сосны

Для коэффициента продольного изгиба составлены таблицы. Ниже приведена такая таблица для ряда материалов (табл. 9.2).

Различают три типа расчёта на устойчивость: проверочный, определение допускаемой силы и проектный расчёт. При проверочном расчёте известны действующая сила Р, размеры стержня l,F, допускаемое напряжение на сжатие , способ закрепления стержня, т.е. коэффициент . Вычисляется гибкость стержня и по таблице коэффициентов  для данного материала находится сам коэффициент . При этом допускается линейная интерполяция , если она не кратна десяти. Затем производится проверка выполнения расчётной формулы (9.57) на устойчивость:

При проектном расчёте заданы сила Р, длина стержня l, коэффициент приведения длины . Неизвестными остаются площадь сечения F и коэффициент продольного изгиба . Поэтому расчёт может быть выполнен только методом последовательных приближений в таком порядке: задаются каким либо значением коэффициента , например ; рассчитывают по нему требуемую площадь .  Затем рассчитывается момент инерции , радиус инерции , уточняется площадь , вычисляется гибкость  и по таблице находится соответствующий коэффициент . После этого рассчитывается расчётное напряжение:                             

Если разница между расчётным и допускаемым напряжением  более 5%, то рассматривается второе приближение с новым значением коэффициента:

и расчёт повторяется в указанном выше порядке до тех пор пока разница между  и  станет не более .

 

Таблица 9.2. Коэффициенты продольного  изгиба                                                                                                   

Сталь 3,4

Сталь 5

Сталь 15ХСНД

Сплав Д16Т

Чугун

Железобетон

Дерево (сосна)

0

1

1

1

1

1

1

1

10

0,99

0,98

0,98

1

0,96

1

0,99

20

0,97

0,95

0,95

1

0,91

1

0,99

30

0,95

0,92

0,93

0,84

0,81

1

0,93

40

0,92

0,89

0,90

0,70

0,69

1

0,87

50

0,89

0,86

0,83

0,57

0,57

1

0,80

60

0,86

0,82

0,78

0,46

0,44

0,83

0,71

70

0,81

0,76

0,71

0,35

0,34

0,73

0,61

80

0,75

0,70

0,63

0,27

0,26

0,64

0,49

90

0,69

0,62

0,54

0,21

0,20

0,57

0,38

100

0,60

0,51

0,45

0,17

0,16

0,52

0,31

110

0,52

0,43

0,39

0,14

-

-

0,25

120

0,45

0,38

0,33

0,12

-

-

0,22

130

0,40

0,32

0,29

0,10

-

-

0,18

140

0,36

0,28

0,26

0,087

-

-

0,16

150

0,32

0,26

0,23

0,076

-

-

0,14

160

0,29

0,24

0,21

-

-

-

0,12

170

0,26

0,21

0,19

-

-

-

0,11

180

0,23

0,19

0,17

-

-

-

0,10

190

0,21

0,17

0,15

-

-

-

0,09

200

0,19

0,16

0,13

-

-

-

0,08

 

При сжатии стержень изгибается в направлении наименьшей жесткости, его гибкость тем больше, чем меньше радиус инерции сечения. Отсюда вытекают следующие требования, которым должно удовлетворять сечение стержня, работающего на продольный изгиб:

1) стержень должен обладать одинаковой жесткостью по всем направлениям. Для этого моменты инерции, а следовательно, и радиусы инерции сечения относительно главных осей должны быть равны. Если же условия закрепления концов  стержня в обеих главных плоскостях неодинаковы, как, например, шатун двигателя, то для получения одинаковой жесткости моменты инерции сечения относительно главных осей должны быть подобраны соответственно различными;

2) момент, а следовательно, и радиус инерции сечения при данной величине его площади должен быть возможно большим. Для этого элементы сечения должны быть удалены, возможно, дальше от его центра тяжести.

Указанным требованиям полностью удовлетворяют пустотелые стержни круглого и квадратного сечений. Стенки пустотелых стержней нельзя делать слишком тонкими, т. к. они могут потерять устойчивость, покрывшись волнистыми складками.

Для повышения устойчивости стенок принимают продольные ребра жесткости или поперечные распорки (диафрагмы), помещаемые на определенных расстояниях.

По степени рациональности известные сечения можно распределить следующим образом: трубчатое сечение, коробчатое, двутавровое, состоящее из швеллеров, квадратное, круглое, прямоугольное.

 

Пример 1. 

Стальной стержень длиной l=4м двутаврового сечения №18, шарнирно закреплённый на одном и жёстко на другом краях, сжимается силами P. Требуется определить допускаемое и критическое значения силы P, если  

Решение.

Из сортамента стального проката для двутавра №18 находим F = 23,4 см2,  Коэффициент приведения длины Ясинского для данного типа закрепления , гибкость стержня  

Так как  то критическая сила может быть определена по формуле Эйлера: