Изгиб и кручение тонкостенных стержней

 

Главная

Лекция 19. Изгиб и кручение тонкостенных стержней

 

Содержание

Общие положения и основные особенности расчета

Секториальная площадь

Секториальные характеристики и их определение

Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент

Расчет тонкостенного стержня открытого профиля

Кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Вопросы для самопроверки

 

Общие положения и основные особенности расчета

В настоящее время в машиностроении, авиации, строительстве, железнодорожном транспорте все больше используются конструк­ции, выполненные из тонкостенных и штампованных профилей или просто из тонколистовой стали. Эти конструкции обеспечива­ют высокую жесткость и прочность при сравнительно небольшом весе, поэтому их применение в технике является весьма экономич­ным. На железнодорожном транспорте это элементы тележек, сте­нок локомотивов, вагонов и многих других конструкций.

Специфика расчета этих конструкций на прочность породила особую расчетную схему - схему тонкостенного стержня.

Основным признаком тонкостенного стержня является характерное отношение его геометрических размеров. В поперечном се­чении одно из измерений (толщина) существенно меньше другого - срединной длины контура s. Последняя в свою очередь намного меньше, чем длина стержня l (рис.19.1).

Длина контура для тонкостенного стержня, представленного на рис.19.1:

s=h+2b.

Следовательно, характерные размеры тонкостенных стер­жней открытого профиля взаимосвязаны и меняются в преде­лах l/s10 и s>>δ.

Рис. 19.1

               

Основные положения теории тонкостенных стержней были даны С.П. Тимошенко. Полное и общее развитие эта теория получила в трудах В.З. Власова и потому обычно называется теорией Власова.

Тонкостенный стержень, как расчетная схема, сохраняет в себе основные свойства обыкновенного стержня и формулы сопротивления материалов, связанные с растяжением (сжатием), изгибом и кручением бруса, остаются в основном справедливыми.

Вместе с тем, тонкостенный стержень в силу геометрических соотношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. При некоторых видах загружения не соблюдается гипотеза плоских сечений, происходит так называемая депланация сечения за счет неравномерной деформации стержня вдоль его оси. Иными словами, не соблюдается принцип Сен-Венана - глубина «проникновения» краевых особенностей вдоль оси существенно больше, чем в сплошном стержне.

Вообще говоря, сравнительная оценка нормальных и касательных напряжений σ и τ в поперечных сечениях бруса при переходе от сплошного сечения к тонкостенному профилю существенно меняется, и этот вопрос требует особого изучения.

Рис. 19.2

               

При кручении тонкостенных стержней и вообще стержней с некруглым поперечным сплошным сечени­ем, поперечные сечения плоские до деформации, искривляются по некоторой поверхности w(x, y, z) (рис.19.2), что называется депланацией сечения. По характеру формирования депланаций сечения по длине стержня, следует различать два типа круче­ния стержней: свободное и стесненное.

Если депланация во всех поперечных сечениях одинакова по длине стержня или иначе w(x, y, z) = w(x, y), т.е. она является постоянной и не зависит от z, то такое кручение называется свободным. При переменных депланациях по длине стержня, кручение называется стесненным.

При свободном кручении в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, а при стесненном кручении, наряду с касательными возникают и нормальные напряжения. Эффект от неравномерной депланации сечения по его длине наиболее существенен для стержней открытого профиля.

Заметим, что порядок вычисления напряжений и перемещений в тонкостенном стержне закрытого профиля при свободном кручении принципиально ничем не отличается от метода расчета обычных стержней. Поэтому, здесь этому вопросу специальное внимание не уделяется.

 

Секториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристикам сечений (A - площадь поперечного сечения; Sx, Sv - статические моменты сечения; Ix, Iv, Ixy - осевые и центробежный моменты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис.19.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через dω.

Очевидно, что

где r - расстояние от полюса Р до касательной к линии контура в точке А.

Интеграл

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиус-вектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-вектор вращается по часовой стрелке, приращение площади dω имеет знак плюс, против часовой стрелки - минус.

Рис. 19.3

 

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

 

Рис. 19.4

               

В качестве примера построим эпюру секториальной площади для контура, приведенного на рис.19.4, а. Выбираем в качестве полюса точку P, а за начало отсчета принимаем точку 0 (рис.19.4, а).

Рассмотрим участок 0-3. На этом участке 0 ≤ s a. Вектор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра ω имеет знак плюс:

На участке 3-4, 0 ≤ s a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

На участке 0-2, 0 ≤ s a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

На участке 2-1, 0 ≤ s a, вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

Эпюра секториальной площади ω приведена на рис.19.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

где  и  - секториальная площадь относительно нового Р0 и старого полюса Р', соответственно; xc, yc, x0, y0 - координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

 

Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводятся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

Окончательные выражения секториальных характеристик, исходя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по всему контуру постоянна и равна d.

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от действующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а также секториально статический момент были равны нулю, т.е.:

Выполнение условий первых двух условий из (19.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (19.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра , построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (15.4), носит название эпюры главной секториальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики сечения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади ω¢ относительно полюса.

Далее определяются величины  и  относительно полюса P и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

Определяется секториальная площадь относительно центра изгиба по формуле (19.3) и вычисляется секториaльно стaтический момент поперечного сечения по формуле:

как площадь эпюры , умноженную на δ.

Далее определяется постоянная D из третьего условия (19.4) по формуле:

и строится эпюра главной секториальной площади:

Секториальные геометрические характеристики прокатных двутавров и швеллеров приведены в табл.19.1 и 19.2, значения моментов инерции при чистом кручении прокатных уголков приведены в табл.19.3 и 19.4., а формулы координат центра изгиба и секториальных моментов инерции некоторых металлических профилей – в табл.19.5.

 

Таблица 19.1

Ocr0281

Секториальные геометрические характеристики

прокатных двутавров (ОСТ 10016-39)

 

Номер

профиля

Секториальный

момент

инерции

, см6

Секториальная

площадь для

крайней точки

профиля

, см2

Секториальный

момент

сопротивления

, см4

Момент

инерции

при

чистом

кручении

, см4

Изгибно-крутильная

характеристика

, см-1

10

644,3

15,25

42,26

2,873

0,04122

12

1353

20,10

67,33

4,243

0,03457

14

2560

25,54

100,23

5,911

0,02966

16

4879

32,25

151,30

8,406

0,02562

18

8219

38,90

211,28

11,37

0,02295

20а

13121

46,15

284,31

14,81

0,02074

20б

13857

47,05

284,50

17,85

0,02215

22а

22773

55,91

407,33

20,32

0,01844

22б

23930

56,90

420,55

24,08

0,01958

24а

33799

64,48

524,15

25,57

0,01698

24б

35426

65,57

540,25

30,12

0,01800

27а

52987

76,68

690,99

31,93

0,01515

27б

55414

77,92

711,21

37,60

0,01608

30а

76704

88,38

867,93

38,83

0,01389

30б

80114

89,75

892,60

45,78

0,01475

30с

83612

91,13

917,50

55,23

0,01587

33а

107160

100,69

1064,3

46,19

0,01281

33б

111780

102,21

1093,6

54,49

0,01363

33с

116520

103,73

1123,3

65,74

0,01466

36а

154820

115,19

1344,0

56,85

0,01183

36б

161210

116,85

1379,6

66,72

0,01256

36с

167760

118,51

1415,6

79,99

0,01348

40а

228900

134,13

1706,6

68,75

0,01070

40б

237950

136,00

1749,6

80,68

0,01137

40с

247210

137,85

1793,3

96,55

0,01220

45а

376630

159,75

2357,6

95,31

0,009819

45б

390770

161,96

2414,4

111,3

0,01041

45с

405220

163,96

2471,5

131,8

0,01113

50а

611990

187,10

3270,9

131,2

0,009038

50б

633900

189,44

3346,2

150,3

0,009504

50с

656270

191,79

3421,8

174,9

0,01007

55а

906350

216,79

4180,8

159,9

0,008198

55б

937220

219,36

4272,5

182,7

0,008617

55с

968720

221,94

4364,8

211,5

0,009119

60а

1349900

251,22

5373,4

195,5

0,007427

60б

1393200

254,04

5484,2

221,9

0,007790

60с

1437300

256,86

5595,7

255,3

0,008226

Примечание: При вычислении α приняты G = 8∙104 МПа, E = 2,1∙105 МПа

 

Таблица 19.2

Ocr0282

Секториальные геометрические

характеристики прокатных

швеллеров (ОСТ 10016-39)

 

Номер

профиля

Координаты

центра

изгиба

, см

Секториальный

момент

инерции

, см6

Секториальные

площади

Секториальные

моменты

сопротивления

Момент

инерции

при

чистом

кручении

, см4

Изгибно-крутильная

характеристика

, см-1

,

см2

,

см2

,

см4

,

см4

5

1,08

24,91

2,70

4,26

9,22

5,85

1,350

0,14370

6,5

1,15

64,88

3,86

6,36

16,80

10,21

1,497

0,09375

8

1,22

141,8

5,15

8,75

27,57

16,20

1,940

0,07219

10

1,34

254,8

7,19

12,71

49,35

27,92

2,727

0,05411

12

1,48

768,3

9,54

17,31

80,51

44,39

3,634

0,04245

14а

1,58

1512

12,03

22,63

125,74

66,85

4,815

0,03483

14б

1,39

1711

11,46

23,85

149,32

71,75

6,248

0,03730

16а

1,68

2760

14,74

28,63

187,23

96,40

6,306

0,02950

16б

1,48

3099

14,03

30,09

220,87

103,00

8,227

0,03180

18а

1,83

4745

17,68

35,32

268,41

134,34

8,128

0,02555

18б

1,57

5292

16,83

37.02

314,50

142,95

10,50

0,02749

20а

1,94

7698

21,27

42,46

361,95

181,28

9,84

0,02207

20б

1,73

8560

20,24

44,45

422,87

192,57

12,50

0,02359

22а

2,07

11593

24,84

49,60

466,69

233,73

11,66

0,01958

22б

1,86

12863

23,63

51,88

544,42

247,95

14,60

0,02079

24а

2,10

15326

27,48

55,21

557,74

277,59

13,21

0,01812

24б

1,88

17007

26,10

57,75

651,56

394,50

16,47

0,01921

24с

1,67

18640

24,91

60,09

748,35

310,21

21,31

0,02087

27а

2,14

24337

31,85

66,46

764,11

366,19

16,25

0,01505

27б

1,91

26883

30,23

69,39

889,34

387,42

20,34

0,01698

27с

1,70

29355

28,82

72,10

1018,6

407,14

26,34

0,01848

30а

2,26

36645

37,21

76,54

984,87

478,78

20,39

0,01456

30б

2,03

40436

35,23

79,98

1147,8

505,61

25,01

0,01535

30с

1,80

44104

33,59

83,06

1313,0

530,97

31,75

0,01656

33а

2,25

53630

41,39

88,54

1271,7

594,43

24,29

0,01326

33б

2,02

57844

39,27

92,27

1473,2

626,93

29,92

0,01404

33с

1,80

62890

37,44

95,69

1679,8

657,23

38,04

0,01518

36а

2,47

92,189

49,50

104,55

1862,2

881,77

38,91

0,01268

36б

2,24

100430

47,30

108,51

2123,4

925,54

46,56

0,01329

36с

2,02

108420

45,36

112,18

2390,2

966,48

57,18

0,01417

40а

2,43

148100

55,78

121,67

2655,1

1217,2

59,74

0,01240

40б

2,21

160100

53,51

125,86

2991,7

1272,1

70,78

0,01298

40с

2,00

171870

51,51

129,80

3336,4

1324,0

85,72

0,01378

Примечание: При вычислении α приняты G = 8∙104 МПа, E = 2,1∙105 МПа

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Таблица 19.3

Ocr0279

Значения моментов инерции  при чистом кручении

прокатных равнобоких уголков (ОСТ 10014-39)

 

Размеры, мм

, см4

Размеры, мм

, см4

b

d

b

d

20

3

0,03330

100

8

3,277

4

0,07680

10

6,333

25

3

0,04230

12

10,83

4

0,09813

14

17,01

30

4

0,1195

16

25,12

5

0,2292

120

10

7,667

35

4

0,1408

12

13,13

5

0,2708

14

20,67

40

4

0,1621

16

30,58

5

0,3125

18

43,16

6

0,6328

130

10

8,333

45

4

0,1835

12

14,28

5

0,3542

14

22,49

6

0,6048

16

33,31

50

5

0,3958

150

12

16,59

6

0,6768

14

26,15

60

5

0,4792

16

38,78

6

0,8208

18

54,82

8

1,911

20

74,67

65

6

0,8928

180

14

31,64

8

2,082

16

46,97

10

4,000

18

66,48

75

6

1,037

200

16

52,43

8

2,423

18

74,26

10

4,667

20

101,3

12

7,949

24

173,2

80

6

1,109

30

333,0

8

2,594

220

16

57,89

10

5,000

20

112,0

90

8

2,935

24

191,7

10

5,667

28

301,5

12

9,667

230

24

200,9

14

15,18

 

Таблица 19.4

Ocr0280

Значения моментов инерции  при чистом кручении

прокатных неравнобоких уголков (ОСТ 10014-39)

 

Размеры, мм

, см4

Размеры, мм

, см4

B

b

d

B

b

d

30

20

3

0,04230

100

75

12

9,389

4

0,09813

120

80

8

3,277

35

20

4

0,1088

10

6,333

5

0,2080

12

10,83

45

30

4

0,1515

130

90

8

3,618

6

0,4968

10

7,000

60

40

5

0,3958

12

11,98

6

0,6768

14

18,84

8

1,570

150

100

10

8,000

75

50

5

0,5000

12

13,71

6

0,8568

14

21,58

8

1,997

16

31,95

10

3,833

180

120

12

16,59

80

55

6

0,9288

14

26,15

8

2,167

16

38,78

10

4,167

200

120

12

17,74

90

60

6

1,037

14

27,98

8

2,423

16

41,51

10

4,667

200

150

12

19,47

100

75

8

2,850

16

45,60

10

5,500

18

64,54

20

88,00

 

Таблица 19.5. Формулы для вычисления координат центра изгиба и секториальных

моментов инерции некоторых металлических профилей

Сечение

Координата центра

изгиба

Секториальный момент

инерции

Ocr0286

Центр изгиба

находится

в пересечении

осей профиля

0

Ocr0287

Ocr0288

Ocr0289

Ocr0290

Ocr0291

Ocr0293

Ocr0294

Ocr0297

Ocr0299

Ocr0300

Ocr0301

 Примечания: A - центр изгиба профиля; D1, D2, D3 - центры изгиба отдельных элементов профиля; 1, 2, 3 – номера элементов, составляющих профиль; ,  - осевые моменты инерции всего сечения относительно указанных на чертеже осей; , , , , , - осевые моменты инерции отдельных элементов профиля относительно указанных на чертеже осей: первый индекс – номер элемента, второй – ось; , ,  - секториальные моменты инерции отдельных элементов относительно собственных центров изгиба. 

 

Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тонкостенного бруса можно представить в виде следующего выражения:

где ,  и  характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; γ - удельный угол закручивания относительно продольной оси z, ω - эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений σ, примут вид:

Здесь через  обозначена новая силовая характеристика, называемая бимоментом, размерность которой будет кНм2.

В результате совместного рассмотрения (19.9) и (19.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изменения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фактором и по методу сечений не может быть определен. Следовательно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопределимой. Например, если на­грузить стержень двутаврового сечения четырьмя равными силами Р (рис.19.5), бимо­мент в торцевом сечении будет равен:

где - значение секториальной площади для точки приложения силы Pi, т.е.:

Рис. 19.5

 

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты Mx , My  равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Qx, Qy- поперечные силы, от касательных напряжений , ; Mx, My -изгибающие моменты, от нормальных напряжений ; Mz - кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений ; - бимомент от действующих нормальных напряжений , вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; - изгибно- крутящий момент от дополнительных касательных напря­жений .

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 19.6, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y;  - соответственно, статические моменты относительно координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчетной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция . Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

Подставляя в (19.14) значения  и  из табл. 19.1, получим:

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

или        

где  - изгибно-крутильная характеристика поперечного сечения стержня;  - распределенный крутящий момент.

 

Таблица 19.6

Силовой фактор

Усилие

Напряжение

Поперечная сила QxQy

Изгибающий момент MxMy

Крутящий момент при свободном кручении

тонкостенного стержня постоянной толщины

стенки δ, Mz

Крутящий момент при стесненном кручении

тонкостенного стержня постоянной толщины

стенки δ,