Глоссарий

 

 

Главная

Глоссарий

А

Амплитуда колебаний

наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.

Амплитуда цикла напряжений

наибольшее числовое положительное значение переменной составляющей цикла напряжений, равная алгебраической полуразности максимального и минимального напряжения цикла

Аналогия

гидродинамическая

Если отверстие трубы и скручиваемый стержень будут иметь одинаковый профиль, то линии тока совпадут с силовыми линиями. Благодаря этому, можно судить о распределении касательных напряжений в стержнях при кручении по распределению скоростей движения жидкости в трубе того же профиля.

Аналогия мембранная

Если тонкую пластинку с отверстием, совпадающим с профилем скручиваемого стержня, покрыть тонкой пленкой (мембраной), то под действием равномерно распределенной нагрузки пленка в отверстии провиснет, образуя поверхность, горизонтали которой располагаются аналогично силовым линиям при кручении. Эта дает возможность составить картину распределения касательных напряжений по расположению горизонталей поверхности мембраны.

Б

База испытаний

предварительно задаваемое наибольшее число циклов при испытании на усталость.

Балка

брус, нагруженный внешними силами, перпендикулярными его оси, и работающий главным образом на изгиб.

В сопротивлении материалов рассматриваются три типа балок.

Рис. 1. Типы балок: а – жестко защемленная балка (или консоль); б – простая

балка (или шарнирно опертая балка); в – шарнирно опертая балка с консолями

 

Расчетные схемы этих балок и их названия указаны на рис. 1.

Консолью называют часть балки, расположенную по одну сторону от опоры.

Расстояние между шарнирными опорами называется пролетом балки и обозначается l.

Брус

тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим.

В

Вал

брус, нагруженный парами сил, лежащими в плоскости поперечного сечения, и работающий на кручение.

Внецентренное растяжение-сжатие

растяжение или сжатие стержня, при котором равнодействующая внутренних сил направлена по нормали к поперечному сечению, но не проходит через его центр тяжести или когда в поперечных сечениях стержня возникают только три силовых фактора: продольная сила N и два изгибающих момента Mx и My (рис.1).

Подпись: ay

Рис.1. Внецентренное сжатие

 

Будем считать, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб. Это допущение мы будем использовать при вычислении изгибающих моментов от продольной силы P, пренебрегая прогибом стержня. Задача о внецентренном сжатии стержня (массивной колонны) впервые была рассмотрена Юнгом в 1802 г.

Определим внутренние усилия и напряжения при внецентренном сжатии. Пусть сжимающая сила P приложена в некоторой точке A с координатами xp и yp в главных центральных осях инерции x и y (см. рис. 1, а).

Тогда, с учетом принятого нами допущения,

N=-P;  ;  .

Точные значения изгибающих моментов определяются по формулам

где v и u – прогибы рассматриваемого поперечного сечения стержня в направлении осей x и y соответственно. Принятое нами выше допущение о большой жесткости стержня на изгиб заключается в предположении, что v<<yp;   u<<xp.

Напряжения в произвольной точке K  с координатами x и y равны:

где, согласно принципу независимости действия сил, первое слагаемое представляет собой напряжение от сжатия, а второе и третье – от изгиба.

Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки K подставляются в формулу (1) по абсолютному значению, а знак второго и третьего слагаемых определяется по физическому смыслу.

N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если моменты "растягивают" сечение в I-ой четверти.

Определим положение нейтральной линии.

Преобразуем формулу (1), подставляя в нее значения изгибающих моментов:

Обозначим координаты некоторой точки нулевой линии xN и yN. Подставим эти координаты в (2) вместо x и y соответственно, а также учтем, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю. После сокращения на P/F получим уравнение нейтральной линии:

Таким образом, положение нулевой линии зависит от значений главных радиусов инерции поперечного сечения ix, iy и координат точки приложения нагрузки xp, yp и совершенно не зависит от величины силы P.

Важно также отметить, что нейтральная линия и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения (см. рис. 1, б).

Определим отрезки, отсекаемые нейтральной линией от осей координат.

Эти отрезки, которые мы обозначим через ax и ay (см. рис. 1, б), легко найти из выражения (3). Если сначала в нем принять xN=0, yN=ay, а затем – yN=0, xN=ax, то мы легко найдем, что отрезки, отсекаемые нейтральной линией от осей координат, определяются по формулам

Ядром сечения называется малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения стержня. Она характеризуется тем, что всякая сжимающая сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения (и соответственно во всем стержне) только напряжения сжатия. Понятие о ядре сечения впервые ввел Бресс в 1854 г.

Рассмотрим следующий пример. Пусть стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами b и h и одна из координат точки приложения нагрузки (точка A) равна нулю, например xP=0,  yP=0 (рис. 2).

Подпись: h

Рис.2. Ядро сечения

 

Тогда напряжения в крайних точках K и L поперечного сечения стержня будут определяться по формулам

Из этих формул видно, что при е=0 во всех точках поперечного сечения, в том числе и в крайних точках K и L, будут возникать одинаковые сжимающие напряжения. При e < b/6 напряжения по-прежнему будут сжимающими, но будут изменяться по ширине сечения. При e = b/6 в точках K и L они будут равны:

Если e > b/6, то нейтральная линия разделит поперечное сечение на две части. В одной из них напряжения будут сжимающими, а в другой – растягивающими. Для всех этих случаев (см. рис. 2) показаны эпюры напряжений.

Таким образом, если мы не хотим, чтобы в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня возникали растягивающие напряжения (а многие строительные материалы, как известно, очень плохо работают на растяжение), то эксцентриситет нагрузки не должен выходить за некоторую область вокруг центра тяжести этого сечения. Эту область и называют ядром сечения.

Определим форму ядра сечения для прямоугольного и для круглого поперечных сечений стержня.

Подпись: h

Рис.3. Форма ядра для прямоугольного и круглого ядра сечения

 

Для прямоугольника ядро сечения имеет форму ромба (рис. 3, а), а для круглого сплошного стержня – круга (рис. 3, б).

Заметим, что для любого поперечного сечения форма ядра всегда представляет собой выпуклую фигуру.

Внешние силы

 

 

 

силы, действующие со стороны какого-либо тела или сис­темы на рассматриваемое тело или систему. К внешним силам относятся не только активные силы (нагрузка), но и ре­акции связей или опор.

Внешние силы, действующие на конструкцию, делятся на активные, которые принято называть нагрузками, и реактивные – реакции связей.

По способу приложения нагрузки могут быть объемными (собственный вес, силы инерции), то есть действующими на каждый бесконечно малый элемент объема, и поверхностными. Поверхностные нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные.

Нагрузки, распределенные по некоторой поверхности и действующие по направлению нормали к этой поверхности, характеризуются давлением, то есть отношением силы, действующей на элемент поверхности, к площади данного элемента. В Международной системе единиц (СИ) давление измеряется в паскалях, мегапаскалях (1 ПА = 1 Н/м2; 1 МПа = 106 Па) и т.д., а в технической системе – в килограммах силы на квадратный миллиметр и т. д. (кгс/мм2, кгс/см2).  

В сопротивлении материалов часто рассматриваются поверхностные нагрузки, распределенные по длине элемента конструкции. Такие нагрузки характеризуются интенсивностью, обозначаемой обычно буквой q и выражаемой в ньютонах (килоньютонах) на метр (Н/м, кН/м) или в килограммах силы на метр (кгс/м) и т. д.

Реальные нагрузки, действующие на конструкцию, не всегда могут быть сведены лишь к сосредоточенным и распределенным нагрузкам. Возможны и моментные воздействия, например, в виде сосредоточенных моментов. Последние выражаются в единицах силы, умноженных на единицу длины (кНм, кгсм и т.д.). Напомним, что термины «сосредоточенный момент», «пара», «плечо» были введены в 1804 г. французским ученым Луи Пуансо (Poinsot, 1777–1859 гг.).

По характеру изменения во времени нагрузки бывают статические (нарастающие медленно от нуля до своего конечного значения и в дальнейшем не изменяющиеся) и динамические (изменяющиеся с течением времени свою величину и (или) точку приложения и при этом изменяющие их достаточно быстро).

Внутренние силы

 

силы взаимодействия между мысленно рассеченными частями материального тела. Иначе: силы упругости, силы сопротивления, усилия. Для нахождения величины и направления внутренних усилий мысленно рассекают стержень сечением, перпендикулярным продольной оси стержня, это позволит отбросить ненужный для расчета элемент конструкции (или часть этого элемента), заменить его силой, действие которой будет эквивалентно действию отброшенного элемента (его части). Для определения этой силы нужно использовать уравнения равновесия (уравнения статики).

Возмущающая сила

сила, действующая на упругое основание со стороны возбудителя, вызывающая вынужденные колебания системы.

Временное сопротивление

 (предел прочности)

максимальное напряжение (определенное без учета изменения площади поперечного сечения в процессе нагрузки) выдерживаемое материалом при растяжении. Для стали марки Ст3 временное сопротивление σв=370…470 МПа.

Выносливость

способность материалов сопротивляться разрушению при действии повторно-переменных напряжений.

Вынужденные колебания

движение упругой системы, происходящее под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущающими.

Вязкость

способность материала сопротивляться образованию пластических деформа­ций.

Г

Геометрически изменяемая система

такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).

Геометрически неизменяемая система

такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Геометрические характеристики сечений

числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Площадь поперечного сечения ;

статический момент относительно оси x или y равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси. Размерность статических моментов площади м3. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны  и равные нулю:

координаты центра тяжести:

осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dF на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения F.

полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dF на квадраты их расстояний () до этой точки, взятая по всей площади сечения F: ;

центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dF на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения F: . Центробежный момент инерции имеют размерность м4 и может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.

Прямоугольник:

Круг:

Четверть круга:

Моменты инерции относительно параллельных осей: .

Моменты инерции при повороте осей:

 ; 

;

.

Угол, определяющий положение главных осей: 

Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции: 

Радиус инерции:

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки:

для прямоугольника:


для круга:


 
трубчатое сечение (кольцо):

Полярный момент сопротивления:


 Для круга:

Гибкость стержня

Гипотезы прочности

Гипотезы, указывающие критерии эквивалентности различных напряженных состояний (НС), называют гипотезами прочности.

Приведем и другие, используемые в учебниках по сопротивлению материалов, названия: теории предельных напряженных состояний, теории прочности и т. д.

Как следует из изложенного, применение гипотез прочности избавляет нас от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем и результаты эксперимента оказались достаточно близкими к результатам теоретического расчета.

Будем называть два НС эквивалентными, если они одновременно переходят в предельные при увеличении соответствующих им главных напряжений в одно и то же число раз. Это означает, что коэффициенты запаса прочности для эквивалентных НС одинаковы.

Остается решить вопрос, что же является критерием эквивалентности различных по характеру НС. Если решение этого вопроса каким-то образом найдено (его как раз и дают гипотезы прочности), тогда для расчета стержня на прочность в случае сложного НС его следует заменить на эквивалентное одноосное растяжение (сжатие) и сравнить соответствующее ему эквивалентное напряжение σэкв=f(σ1, σ2, σ3) с предельным (или допускаемым) напряжением для данного материала.

Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволило до настоящего времени создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала.

Независимо от принятой гипотезы прочности условие прочности после определения эквивалентного напряжения представляется в виде одного из следующих неравенств:

или, при заданном коэффициенте запаса,

Гипотеза прочности первая (гипотеза наибольших нормальных напряжений)

Первая гипотеза прочности основывается на предположении о том, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения.

Эту, самую простую и старую, гипотезу, предложенную еще Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений.

Условие прочности по первой гипотезе прочности имеет вид:

В случае, когда наибольшим по абсолютному значению будет сжимающее главное напряжение |σ3|, условие (1) записывается в виде:

Существенный недостаток первой гипотезы виден из приведенных выше двух формул. Заключается он в том, что при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих, естественно, большое влияние на прочность материала.

Эта гипотеза подтверждается экспериментальными данными только для хрупкого материала и только при растяжении, когда главные напряжения σ2, σ3 значительно меньше, чем σ1.

При всестороннем сжатии, например, цементного кубика она приводит к ошибочным результатам, поскольку кубик выдерживает напряжения, во много раз превышающие предел прочности при одноосном сжатии. В настоящее время эта гипотеза прочности не применяется и имеет лишь историческое значение.

Гипотеза прочности вторая (гипотеза наибольших линейных  деформаций)

Отмеченные недостатки первой гипотезы прочности привели к появлению второй гипотезы прочности, предложенной Мариоттом и затем развитой Сен-Венаном. Согласно этой гипотезе, называемой гипотезой наибольших линейных деформаций, причиной разрушения являются наибольшие линейные деформации. Условие прочности по этой гипотезе записывается в виде:

где μ – коэффициент Пуассона.

Отметим следующее. Вторая гипотеза прочности предполагает, что для пластичных материалов закон Гука выполняется вплоть до предела текучести, а для хрупких – до предела прочности, что, конечно, является чересчур грубым допущением. Достоинством же этой гипотезы является то, что при вычислении эквивалентного напряжения она учитывает все три главных напряжения.

С помощью этой гипотезы можно объяснить разрушение хрупких материалов при простом сжатии. Однако, как и первая гипотеза, вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и поэтому в настоящее время не применяется.

Гипотеза прочности третья (гипотеза наибольших касательных напряжений)

Согласно этой гипотезе, которую  называют также гипотезой наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие касательные напряжения. Линии Людерса, разрушение по наклонной плоскости образца из хрупкого материала, образование воронки при разрыве – все это указывает на большую роль, которую играют касательные напряжения.

Согласно третьей гипотезе, максимальное касательное напряжение для заданного объемного НС и эквивалентного ему линейного НС одинаковы, то есть

Напомним, что в случае объемного напряженного состояния наибольшее касательное напряжение определяется по формуле

Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении равно:

С учетом формул (1) и (2), условие прочности по третьей гипотезе прочности принимает вид:

Недостатком этой гипотезы является то, что она не учитывает второго главного напряжения σ2.

Опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты. Ошибка от пренебрежения влиянием σ2 не превышает обычно 10 – 15%.

Третья гипотеза прочности впервые была высказана Кулоном. Критерий наибольших касательных напряжений был предложен им в 1773 г. Условие наступления пластического состояния впервые выдвинул в 1868 г. французский инженер Анри Эдуард Треска (Treska, 1814 – 1885 гг.). Затем это условие было математически сформулировано Сен-Венаном.

Гипотеза прочности четвертая (энергетическая)

Энергетическая гипотеза прочности строится на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

Необходимо обратить внимание на то, что в этой гипотезе речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь о той ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром, равным единице. В общем случае полная удельная потенциальная энергия деформации может быть представлена как сумма энергий, связанных с изменением объема кубика и изменением его формы.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности приведем без вывода:

Очевидным достоинством этой теории является то, что эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности хорошо согласуется с опытными данными для пластичных материалов. Для них она приводит к несколько лучшим результатам, чем гипотеза наибольших касательных напряжений. Идею энергетического критерия прочности материала впервые предложил в 1856 г. английский ученый Джеймс Клерк Максвелл (Maxwell, 1831 – 1879 гг.). В 1885 г. ее развил итальянский ученый Эудженио Бельтрами (Beltrami, 1835 – 1900 гг.). В 1904 г. польский ученый Максимилиан Тытус Губер (Huber, 1872 – 1950 гг.) и в 1911 г. немецкий ученый Рихард Мизес (Mises, 1883 – 1953 гг.) завершили разработку этой теории прочности.

Гипотеза прочности Мора

Согласно этой гипотезе, которую в 1900 г. предложил немецкий ученый Отто Христиан Мор (Mohr, 1835–1918 гг.), два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений  соблюдается соотношение:

Тогда условие прочности по гипотезе прочности Мора имеет вид:

           (2)

Из формулы (2) видно, что данная гипотеза прочности не учитывает влияния второго главного напряжения σ2.

В (1) и (2) коэффициент v представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, то есть этот коэффициент равен:

- для хрупких материалов

- для пластичных

v=1.

Гипотеза прочности Мора может быть рекомендована для хрупких материалов. Для пластичных материалов она тождественна третьей гипотезе прочности.

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

Многочисленные эксперименты показывают, что при растяжении стержня продольные и поперечные риски, нанесенные на его поверхности до деформации, остаются практически прямолинейными и взаимно перпендикулярными между собой и после деформации стержня. Изменяются лишь расстояния между ними. Причем между поперечными рисками расстояния увеличиваются, а между продольными – уменьшаются. 

Можно предположить, что и внутри стержня деформации имеют такой же характер, как и на его поверхности. Следовательно, поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации. В этом и заключается смысл гипотезы плоских сечений, предложенной итальянским ученым Яковом Бернулли (Bernoulli, 1654 – 1705 гг.).

Главные моменты инерции сечения

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Главные напряжения

нормальные напряжения, действующие по главным площадкам.

Главные оси поперечного сечения

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль.

Главные площадки

три взаимно перпендикулярные площадки в окрестности исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю. На главных площадках нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения

Тензор напряжений для главных площадок:

Главные центральные оси инерции сечения

это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Д

Деформации пластические (остаточные)

Та часть деформации, которая не исчезает при разгрузке, называется пластической, а способность материала сохранять деформацию – пластичностью. Пластическая деформация называется также остаточной деформацией.

Как правило, возникновение пластических деформаций связано с нарушением нормальной работы инженерной конструкции и поэтому их появление считается недопустимым.

Если же мы хотим придать твердому телу желательную для различных целей форму, например, при прокатке, ковке, штамповке и т.п., то без возникновения пластической деформации нам не обойтись.

Деформации упругие

деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил.

Предположим, что тело не разрушилось под действием внешней нагрузки. Будем теперь уменьшать нагрузку до нуля. При этом, благодаря внутренним силам, будет уменьшаться и деформация тела. Способность материала восстанавливать первоначальные размеры и форму после снятия нагрузки называется упругостью. Та часть деформации, которая исчезает при разгрузке, называется упругой деформацией. Тело называется абсолютно упругим, если оно полностью восстанавливает свои размеры и форму после снятия нагрузки.

Деформация

Это изменение твердым телом своей первоначальной формы и размеров под действием приложенных к нему сил или температуры.

Под действием внешней нагрузки любое реальное твердое тело изменяет свои первоначальные размеры и форму, или деформируется. Например, если Вы, наступите на обычный строительный кирпич, то под действием Вашего веса его высота уменьшится примерно на 1/20000 см.

Именно деформация (пусть даже очень маленькая, как в приведенном выше примере) и позволяет твердому телу создать те внутренние силы, которые способны противодействовать внешней нагрузке и соответственно его разрушению.

Когда мы к концу веревки подвешиваем груз, веревка удлиняется. Это удлинение, в свою очередь, приводит к возникновению внутри веревки результирующей внутренней силы, которая «тянет» камень вверх, удерживая его от падения (действие и противодействие, как известно, равны по величине и противоположны по направлению).

Если внутренняя сила, обусловленная удлинением веревки, не сможет уравновесить вес груза, то веревка порвется.

Важно осознать, что деформация конструкции вовсе не является каким-то дефектом (если она, конечно, не слишком велика с точки зрения цели, которой служит эта конструкция). Наоборот, деформация является тем важным свойством конструкции, без которого она не смогла бы противодействовать внешней нагрузке.

Деформация относительная при растяжении-сжатии

Деформация относительная поперечная

стержня определяется отношением абсолютной поперечной деформации к соответствующему первоначальному размеру .

Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изо­тропных материалов во всех направлениях одинакова:


Диаграмма растяжения

график зависимости между растягивающей силой  F и удлинением рабочей части образца l.

Динамическая

нагрузка

нагрузка, характеризующаяся быстрым измене­нием во времени ее значения, направления или точки приложения и вызы­вающая в элементах конструкции или в деталях машин значительные силы инерции. К динамическим нагрузкам, несмотря на отсутствие значительных инерционных сил, можно отнести периодические многократно повторяющиеся (циклические) нагрузки, действующие на элементы конструкции. Такого рода нагружения характерны для большинства машиностроительных конструкций, таких, как оси, валы, штоки, пружины, шатуны и т. д.

Диаграмма предельных амплитуд (диаграмма Хейга)

Детали машин в процессе эксплуатации испытывают напряжения, изменяющиеся во времени по самым разнообразным циклам, характеризуемым коэффициентом асимметрии R. И для каждого такого цикла, в принципе, необходимо определить свой предел выносливости материала σR.

В диапазоне от симметричного цикла до постоянного цикла (простого растяжения) укладывается бесконечное количество самых разнообразных циклов. Кроме того, опытное определение σR для каждого возможного цикла требует большого количества образцов и длительного времени испытаний. Поэтому в лабораторных условиях решить эту задачу практически невозможно.

Вследствие перечисленных причин по ограниченному числу опытов строится так называемая диаграмма предельных амплитуд (рис. 1).

Рис.1. Диаграмма предельных амплитуд

 

Будем в дальнейшем называть предельным циклом такой цикл, у которого максимальное напряжение σmax равно пределу выносливости цикла σR. По оси ординат диаграммы (см. рис. 1) откладывают значение амплитудного напряжения σa, а по оси абсцисс – значение среднего напряжения σm предельного цикла. Каждая пара напряжений σa и σm определяет соответствующий предельный цикл, который изображается на диаграмме точкой. Точка A соответствует симметричному предельному циклу. Ее ордината – σa=σ-1, а абсцисса – σm=0. Точка B, имеющая координаты σa=0, σm=σпч, характеризует предельный постоянный цикл для хрупкого материала, а точка B с координатами σa=0, σm=σтек – предельный постоянный цикл для пластичного материала. Точка C отвечает предельному отнулевому циклу. Для нее σa=σm.

Таким образом, кривая AСB характеризует предельные циклы для хрупких материалов, а кривая ACB – для пластичных. Точки, расположенные ниже этих кривых (внутри диаграммы), представляют собой безопасные циклы, то есть циклы, не приводящие к разрушению образца.

Диаграмма предельных напряжений (диаграмма Смита)

Диаграмма Смита строится, как минимум, по трем режимам нагружения (по трем точкам), для каждого из которых определяют предел выносливости.

Первый режим (точка 1) – обычный симметричный цикл нагружения (R=-1, );

Второй режим (точка 2) – асимметричный  цикл нагружения, как правило, отнулевой (R=0, );

Третий режим (точка 3) – простое статическое растяжение (R=1, ).

      Полученные точки соединяют плавной линией, ординаты точек которой соответствуют пределам выносливости материала при различных значениях коэффициента асимметрии цикла.

Луч, проходящий под углом  через начало координат диаграммы предельных напряжений, характеризует циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии R:

      

Долговечность

состоит в способности конструкции сохранять необходимые для эксплуатации служебные свойства в течение заранее предусмотренного срока времени.

Допускаемое напряжение

максимальное значение напряжения, которое может быть допущено в опасном сечении для обеспечения безопасности и надежности работы, необходимых в условиях эксплуатации

Допущения в сопротивлении материалов

Структура реальных твердых тел настолько сложна, что они в своем естественном виде не могут стать предметом изучения в сопротивлении материалов. Твердые тела приходится идеализировать, то есть наделять их такими свойствами, которые, с одной стороны, достаточно точно передают основные характеристики реальных твердых тел, а с другой стороны, являются достаточно простыми для их представления в виде математических соотношений. Целью такой идеализации является получение определенных законов в виде уравнений, правильно описывающих основные свойства твердого тела.

При построении теории расчета на прочность, жесткость и устойчивость принимаются допущения, относящиеся как к свойствам материалов, так и допущения, связанные с деформацией твердого тела.

К первой группе допущений относятся следующие:

1) Считается, что материал твердого тела представляет собой сплошную среду, то есть полагают, что материал полностью заполняет весь объем тела, без каких-либо пустот. Это представление о твердом теле, как о сплошной среде, дает возможность применять при исследовании его напряженно-деформированного состояния методы дифференциального и интегрального исчислений, которые требуют непрерывности функции в каждой точке объема тела.

2) Материал считается однородным, то есть его физико-механические свойства являются одинаковыми во всех точках тела.

3) Материал считается изотропным, то есть его физико-механические свойства в каждой точке тела одинаковы во всех направлениях. Материал, не обладающий этим свойством, называется анизотропным. К анизотропным материалам, например, относится дерево.

4) Полагают, что материал является идеально упругим, то есть после снятия внешней нагрузки его деформация полностью исчезает.

Вторая группа допущений связана с деформацией твердого тела:

1) Деформации считаются малыми. Отсюда следует, что при составлении уравнений равновесия, а также при определении внутренних сил можно не учитывать деформацию тела. Это допущение иногда называют принципом начальных размеров.

Рис. 1. Принцип начальных размеров

 

Рассмотрим, например,  стержень, заделанный одними концом в стену и нагруженный на свободном конце сосредоточенной силой P (рис.1). Определим значение реактивного момента MA, возникающего в жесткой заделке. Для этого воспользуемся соответствующим уравнением равновесия, известного из теоретической механики:

ΣMA=0;   +MA-Pl=0.

Отсюда легко можно найти, что MA=Pl.

Но все ли здесь нами выполнено правильно? К сожалению, нет. Ведь прямолинейное положение стержня вовсе не является его положением равновесия. Под действием силы P стержень неизбежно изогнется. При этом точка приложения нагрузки сместится как по вертикали, так и по горизонтали.

Если записать уравнение равновесия стержня для деформированного (изогнутого) состояния, то реактивный момент, возникающий в заделке, окажется равным:

MA=P(l-w).

Принимая в сопротивлении материалов упомянутое выше допущение о малости деформаций, мы полагаем, что перемещением w можно пренебречь по сравнению с длиной стержня l, то есть w<<l. Тогда, действительно, мы получим, что MAPl.

Однако необходимо помнить, что допущение о малости деформаций не всегда является справедливым.

Заметим, что иногда принцип начальных размеров называют принципом отвердения, что не совсем верно. Принцип отвердения используется, например, при изучении поведения жидких тел. Если такая система находится в равновесии, то можно предположить, что она отвердела и сделалась неизменяемой. И тогда к ней можно будет применить уравнения равновесия твердого тела.

2) Полагают, что перемещения точек твердого тела пропорциональны внешним нагрузкам, вызывающим эти перемещения, то есть считается, что тело является линейно деформируемым.

Необходимо отметить, что допущение о линейной деформируемости конструкции нельзя отождествлять с законом Гука, как это делается, к сожалению, в некоторых учебниках по сопротивлению материалов. Дело в том, что закон Гука устанавливает линейную зависимость между внутренними силами и деформациями, а не внешними силами и перемещениями.

3) Для линейно деформируемых конструкций справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Этот принцип формулируется следующим образом: Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из этих сил в отдельности.

В основе этого принципа лежит допущение о малости деформаций, а также предположение об обратимости процессов нагрузки и разгрузки конструкции.

Ж

Жесткость

Жесткостью называется способность конструкции сопротивляться образованию  упругих  деформаций,  возникающих  под  действием внешних сил. Иногда деформация конструкции, отвечающей условию прочности, может воспрепятствовать нормальной ее эксплуатации.

Пусть, например, прогиб нагруженного моста посредине составил 1/500 от длины его пролета l. При этом по нормам допускаемый прогиб не должен превышать l/800. В этом случае говорят, что мост является прочным, но жесткость его недостаточна.

З

Закон Гука при растяжении-сжатии

Для большинства материалов в пределах упругих деформаций между напряжением σ и продольной деформацией ε существует линейная зависимость σ=. Напряжение пропорционально деформации – так формулируется в настоящее время закон Гука.

Впервые этот закон был опубликован в виде анаграммы ceiiinosssttuv в 1676 г. английским ученым Робертом Гуком в его работе «Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать». При правильной расстановке букв анаграмма читается следующим образом: «Ut tensio, sic vis». В переводе с латинского языка это означает: «Каково удлинение, такова и сила». Заметим, что к такому же заключению в 1680 г., независимо от Гука, пришел и французский ученый Эдме Мариотт (Mariotte, 1620 – 1684 гг.).

Коэффициент пропорциональности E, стоящий в формуле σ=, называется модулем продольной упругости или модулем Юнга – по имени английского ученого Томаса Юнга (Iounge, 1773–1829 гг.). Его значение для данного материала может быть установлено только опытным путем. В справочниках обычно приводится среднее значение модуля Юнга. Иногда модуль Юнга называют и «модулем упругости первого рода». Модуль Юнга является константой материала (например, для стали Е=21011 Па, для меди Е=1,21011 Па, для титана Е=1,21011 Па).

Заметим, что существуют материалы (например, чугун), которые лишь с некоторым приближением можно считать подчиняющимися закону Гука. А такие материалы, как кожа и ткани, и вовсе ему не подчиняются.

Необходимо также отметить, что материалы, которые подчиняются закону Гука, перестают ему следовать при достижении деформации (напряжения) определенного значения.

Закон Гука при сдвиге

Опытным путем установлено, что в пределах упругой сдвиговой деформации касательные напряжения пропорциональны углу сдвига:

Данное соотношение представляет собой закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G в этой формуле называется модулем сдвига. Видно, что он измеряется в тех же единицах, что и касательное напряжение. Модуль сдвига G является физической постоянной для материала, характеризующей его жесткость при сдвиге. Значение модуля сдвига G  может быть определено экспериментально.

Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

1. Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, заделанного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 2l, то есть

2. Стержень длиной l, у которого оба конца жестко заделаны. Средняя часть стержня, с двумя жестко закрепленными,  концами находится в тех же условиях, что и шарнирно опертая балка длиной l/2. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной l/2, то есть

3. Стержень длиной l, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнирно оперт. Критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7l, то есть