Главная

Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции. Будем рассматривать балки и простые рамы, то есть такие конструкции, в которых связями, обеспечивающими геометрическую неизменяемость, являются опорные закрепления (опорные связи). Для обеспечения геометрической неизменяемости балки (рамы) в плоскости достаточно трех связей. Каждая связь запрещает какое-то перемещение. Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними.

Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. В предыдущих лекциях для расчёта отдельных статически неопределимых стержней, работающих на растяжение–сжатие, кручение, изгиб, использовалась группа соотношений, включающая в себя уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.1 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.

Рис

Рис.1

Балка, изображенная на рис.1,б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой - из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически определимой системой оказывается более жесткой.

2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.

3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчета статически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

2. Метод перемещений. При расчете по методу перемещений основными искомыми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.

3. Метод конечных элементов. При расчете по методу конечных элементов система разбивается на простые конечные элементы и по матрице жесткости элемента и системы в целом устанавливается связь между перемещениями узлов элемента и системы и усилиями в них.

4. Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.

5. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.

Помимо указанных аналитических методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

В основе всех методов расчета упругих статически неопределимых систем, в том числе и рам, лежит желание уменьшить число совместно решаемых уравнений и числа неизвестных в них. Для этой цели из сложной системы выделяется более простая основная система, расчет которой является достаточно простым. Основная система отличается от заданной отсутствием некоторых связей или, наоборот, введенными в нее новыми абсолютно жесткими связями. Отброшенные связи заменяются в основной системе внешними, вначале неизвестными силами, приложенными по направлениям отброшенных связей, причем значения этих сил подбираются из условий отсутствия перемещений по направлениям отброшенных связей. Сформированная таким образом система уравнений называется системой канонических уравнений метода сил. Если же основную систему получают из заданной введением новых жестких связей, то неизвестными станут перемещения по направлениям этих связей, а условиями для составления уравнений – условия отсутствия реактивных сил во введенных связях. Составленные уравнения называют каноническими уравнениями метода перемещений.

В смешанном методе, основную систему получают из заданной исключением одних жестких связей и введением других. Неизвестными в канонических уравнениях смешанного метода являются усилия в отброшенных связях и перемещения по направлениям введенных связей, а условиями составления уравнений – отсутствие перемещений в основной системе по направлениям отброшенных связей и отсутствие реакций во вновь введенных связях. Таким образом, достигается эквивалентность заданной и основной систем в отношении перемещений узлов, а следовательно, и деформаций.

Недостатком введения основной системы является необходимость производить расчеты несколько раз: на действие заданной нагрузки и на действие каждого неизвестного перемещения по направлению введенных связей. Затруднения возникают и при вычислениях коэффициентов канонических уравнений и их свободных членов, они, впрочем, меньше при использовании ЭВМ.

Кроме указанной классификации, методы расчета статически неопределимых систем можно расчленить по степени их точности, по области работы материала сооружений, по особенностям расчетных операций и т.д.

По степени точности различают точные и приближенные методы расчета.

Точные методы базируются на обычных основных допущениях, принятых при расчете достаточно жестких сооружений (закон Гука, расчет по деформированной схеме, принцип сложения действия сил). Приближенные методы расчета, кроме обычных упрощений, используют дополнительные допущения, что обусловливает заметное отклонение от результатов точных методов расчета.

По области работы материала различают расчет сооружений в упругой стадии и расчет сооружений за пределом упругости. По особенностям расчетных операций методы расчета можно разделить на вычислительные и экспериментальные.

Теория расчета статически неопределимых систем играет особую роль в формировании профессиональных представлений инженера-строителя о работе реальных сооружений – ведь подавляющее большинство современных несущих строительных конструкций принципиально следует рассматривать именно как системы статически неопределимые. Строго говоря, в природе вообще не существует статически определимых систем, есть лишь некоторые статически определимые (после введения гипотез и предпосылок) задачи определения конкретных силовых факторов. Рекомендуется осознать это обстоятельство – с ним, в частности, могут быть связаны дополнительные возможности регулирования состояния конструкций.

Понимание того, что происходит с конструкциями в процессе их деформирования при разнообразных воздействиях, позволяет обоснованно подходить к оценке их состояния, надежности и экономичности, целенаправленно вмешиваться в их работу, то есть осуществлять регулирование и управление поведением конструкций – при этом в ряде случаев удается полезно использовать такие эффекты и свойства, которые традиционно считаются неблагоприятными. Ярким примером может служить отношение к факту чувствительности статически неопределимых систем к кинематическим воздействиям (смещениям связей), в том числе к осадкам опор. Известно, что, в отличие от систем статически определимых, где смещения связей (равно как и изменения температуры) не вызывают возникновения интегральных внутренних силовых факторов – изгибающих и крутящих моментов, продольных и поперечных сил и др. (перемещения и температурные деформации при этом, конечно, возникают, но они развиваются как свободные, нестесненные), в системах с лишними связями усилия от упомянутых видов воздействий отличны от нуля. Если это воздействия природного или техногенного происхождения, неподвластные нам в процессе эксплуатации сооружения, то они, как правило, выступают в качестве неблагоприятных факторов, «отнимая» у конструкций некоторую (иногда значительную) часть их несущей способности, что приводит к увеличению расхода материала.

Но это же свойство статически неопределимых систем можно заставить служить на пользу делу – если, задавая контролируемые смещения внешних или внутренних связей либо искусственно создавая начальные температурные поля в процессе сборки и монтажа конструкций, «подправлять» усилия и напряжения, делая их распределение более равномерным и, следовательно, более выгодным с точки зрения материалоемкости.

Другой отличительной особенностью статически неопределимых систем, имеющей важное практическое значение, является зависимость значений силовых факторов в разных сечениях конструкции от соотношений и (при температурных и кинематических воздействиях) числовых значений жесткостей элементов системы при разных видах их деформаций (растяжении или сжатии, изгибе, сдвиге, кручении). Инженер, выполняющий расчет конструкции или оценивающий состояние находящегося в эксплуатации сооружения, должен ясно представлять, какие именно составляющие деформации существенно влияют на напряженно-деформированное состояние системы, а какими можно пренебречь с допустимой погрешностью. Например, априори понятно, что на распределении усилий в комбинированных системах (шпренгельных балках, рамах и арках с затяжками, вантовых конструкциях и т.п.) ощутимо сказываются продольные деформации очень гибких стержней, работающих на чистое растяжение без изгиба; в конст-рукциях с тонкостенными элементами и в ряде других случаев значительным может быть влияние сдвига и т.д. Но лишь выполнив решение некоторых типовых задач, можно убедиться раз и навсегда в том, что влияние этих факторов настолько велико, что пренебрежение ими может радикально исказить картину усилий и перемещений в системе.

Степень статической неопределимости системы

Перед расчетом статически неопределимой конструкции необходимо сначала определить степень статической неопределимости рассматриваемой системы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Рис.2

Например, балка на рис. 2, а является один раз статически неопределимой, так как имеет 4 связи и 4 неизвестные опорные реакции, а количество независимых уравнений равновесия – 3. В раме, показанной на рис. 4, а, число наложенных связей и опорных реакций в них равно 5, и эта рама является дважды статически неопределимой. Если в один из стержней балки (рамы) врезан шарнир, то количество связей уменьшается на единицу, так как становится возможным взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру. Появляется дополнительное уравнение для определения опорных реакций: "изгибающий момент в шарнире равен нулю" или можно сказать по-другому: "сумма моментов всех сил, расположенных слева (или справа) от шарнира, равна нулю". Так, балка с врезанным в точке Е шарниром, показанная на рис. 3, а, является один раз статически неопределимой: от 5 опорных связей надо вычесть одну связь, связанную с наличием дополнительного шарнира в точке Е. Из четырех оставшихся связей одна является лишней. Можно сосчитать степень статической неопределимости этой балки и иначе: для определения пяти опорных реакций можно составить четыре уравнения статики (дополнительное уравнение "изгибающий момент в шарнире Е равен нулю"). Разность между числом реакций и количеством уравнений статики равна единице, то есть балка один раз статически неопределима.

Рис.3

Рис.4

Лишние связи сооружений можно удалять, не нарушая их геометрической неизменяемости. Например, удалением опорных вертикальных связей В и С неразрезная балка преобразуется в консольный стержень, введением цилиндрических шарниров K и L – в статически определимую двухпролётную составную балку (рис. 4.1,а). Удалив из статически неопределимой фермы стержень 14 или 34, получим два варианта статически определимой шарнирно-стержневой системы с простой структурой (рис. 4.1,б). Статически неопределимая двухшарнирная рама после удаления горизонтальной связи опоры В превращается в ломаный стержень, прикреплённый к диску "земля" шарниром А и вертикальной связью, ось которой не проходит через шарнир А. Введением цилиндрического шарнира С эта же рама преобразуется в статически определимую трёхшарнирную раму (рис. 4.1,в).

Рис.4.1

Особенностью всех лишних связей, удалённых из статически неопределимых систем, показанных слева на рис. 4.1, является то, что реакции в них от внешних воздействий с помощью уравнений статики определить нельзя. Эти связи называются условно необходимыми. Вместе с тем, в составе рассмотренных сооружений имеются связи, усилия в которых определяются из условий равновесия: горизонтальная связь опоры А неразрывной балки (рис. 4.1,а), стержни А_2,₂₃, А₁, А₃ фермы (рис. 4.1,б), вертикальные связи пятовых шарниров А и В рамы (рис. 4.1,в). Такие связи называются абсолютно необходимыми. Их удаление превращает заданное сооружение в геометрически изменяющую или мгновенно изменяемую систему.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные закрепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы является трехпролетная рама (рис. 5).

Рис.5

Степень статической неопределимости внешне статически неопределимой системы S легко установить путем вычитания из общего числа опорных стержней m количество независимых уравнений равновесия n, которое может быть составлено для данной системы (одно - для одномерных; три - для плоских и шесть - для пространственных систем).

где C - число связей, накладываемых на конструкцию; У - число возможных независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Для плоской рамы, изображенной на рис.5, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:

C = 3 + 22 +1 = 8; n = C - У = 8-3 = 5,

т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

Степень свободы при внешней статической неопределимости определяется по формуле:

W=2Ш+С₀-3Д,

где Д – число жестких дисков, из которых состоит стержневая система;

Ш – число простых шарниров, соединяющих между собой жесткие диски. Если шарнир соединяет более двух дисков, то он называется кратным и равен d-1 простым шарнирам (d – число соединяемых дисков);

С_о – число опорных стержней, наложенных на систему.

Правило (1) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис.6 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (1), определить невозможно.

Рис

Рис.6

Внешне, система, приведенная на рис.6, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (1): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (1) нельзя.

Внутренне статически неопределимой называют систему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис.6, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.

Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (рис. 7).

Рис.7. Простой шарнир

Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (рис.8).

Рис

Рис.8. Сложный шарнир

Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:

где CT - число стержней, входящих в узел.

Пересчитаем сложный шарнир, изображенный на рис.8 в число простых шарниров с помощью формулы (2): Ш=5-1=4. Таким образом, сложный шарнир, изображенный на рис.8, можно заменить четырьмя простыми шарнирами.

Введем еще одно понятие - замкнутый контур.

Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.

Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (рис. 9).

Рис

Рис.9

Разрежем замкнутый контур вертикальным сечением и покажем внутренние силовые факторы, возникающие в месте сечения. В каждом из сечений возникают три внутренних фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Всего на каждую из отсеченных частей контура кроме внешних сил действуют шесть внутренних факторов (рис.9,б,в). Рассматривая равновесие одной из отсеченных частей, например, левой (рис.9,б), выясняем, что задача три раза статически неопределима, так как для отсеченной части можно составить всего три независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил, действующих на отсеченную часть, шесть. Таким образом, степень статической неопределимости замкнутого контура равна n=6-3=3. Теорема доказана.

Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:

где K - число замкнутых контура; Ш - число шарниров в пересчете на простые (2).

Пользуясь уравнением (3), определим степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.6. Рама имеет пять контуров К=5, включая контур, образуемый опорными стержнями. Шарнир в узле D простой, так как соединяет два стержня. Шарнир в сечении К – сложный, так как соединяет четыре стержня. Число простых шарниров, которые могли бы заменить шарнир в сечении К, равно по формуле (2): Ш=4-1=3. Шарнир С также является сложным, так как соединяет три стержня. Для этого шарнира Ш=3-1=2. Кроме того, система имеет еще два простых шарнира, с помощью которых крепится к основанию. Таким образом, число простых шарниров в системе равно Ш=8. Подставляя число замкнутых контуров К и число простых шарниров Ш в формулу (3) определяем степень статической неопределимости рамы: . Таким образом, изображенная на рис. 6 рама, семь раз статически неопределима. А это означает, что для расчета подобной системы необходимо составить дополнительно к трем уравнениям равновесия семь уравнений совместности деформаций. Решая полученную таким образом систему из 10 уравнений относительно неизвестных, входящих в эти уравнения, можно определить как величины реакций во внешних связях, так и внутренние усилия, возникающие в раме. Процедуру решения этой задачи можно несколько упростить, исключив из системы уравнений уравнения равновесия.

Двухопорная рама с затяжкой (рис. 10, а) внутренне один раз статически неопределима. Статически определимая система (рис. 10, б) получена из заданной (рис. 10, а) путем разрезания затяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N₁. Следовательно, в статически определимой системе, изображенной на рис. 10, б имеем одно лишнее неизвестноеN₁, которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис. 10, а) является один раз статически неопределимой.

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 11, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N₁, Q₁, M₁ (рис. 11, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 11, a является три раза внутренне статически неопределимой.

Рис.10 Рис.11

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замкнутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следовательно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3n раз статически неопределима.

На рис. 12 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определимости количество внешних связей, а во втором же - две дополнительные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет определить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение совместного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей.

Рис. 12

Рассмотрим другие рамы, которые содержат замкнутые контуры (рис. 13).

а) б) в)

Рис.13

Первая рама (рис.13,а) имеет шесть простых внешних связей при трёх необходимых для плоской системы. Следовательно, система имеет Л = 6 – 3 = 3 лишние внешние связи. Система имеет один замкнутый контур К= 1, который имеет три лишние внутренние простые связи, т.е. трижды статически неопределим. Следовательно, степень статической неопределимости системы . Вторая рама (рис.13, б) имеет пять внешних простых связей при трёх необходимых. Следовательно, Л=5–3=2 и система внешним образом дважды статически неопределима. Система имеет два замкнутых контура К=2, каждый из которых трижды статически неопределим, следовательно, внутренним образом система шесть раз была бы статически неопределима, если бы не было внутреннего шарнира. Последний соединяет три стержня (m = 3) и поэтому даёт системе (m – 1) = 3–1=2 степени свободы. Таким образом, степень свободы статической неопределимости второй рамы можно вычислить по общей формуле:

где Ш₀ – число простых врезанных шарниров, К – число замкнутых контуров, Л – число лишних внешних связей.

В результате получаем:

Третья рама (рис.13, в) имеет Л = 9 – 3 = 6, К = 4, Ш₀ = 2 + 3 = 5, следовательно,

Отметим, что степень статической неопределимости стержневой системы и её степень свободы связаны равенством n=-N.

Рассмотрим еще несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем.

Балка, изображенная на рис.1,а, является один раз статически неопределимой, так как имеет три связи на левой опоре и одну связь на правой опоре. Независимых уравнений равновесия для такой балки можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости балки n=4-3=1. Неразрезная балка, изображенная на рис.1,б также один раз статически неопределима, так как обладает двумя связями на левой опоре и по одной связи на промежуточной опоре и на правой опоре – всего четыре связи. Таким образом, степень ее статической неопределимости n=4-3=1.

Рама, изображенная на рис.1,в, три раза статически неопределима, так как обладает шестью связями в опорах. Независимых уравнений равновесия для этой рамы можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости для этой рамы равна: n=6-3=3. Степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.1,г равна четырем, так как рама обладает семью связями на опорах. Следовательно, степень ее статической неопределимости равна n=7-3=4.

Степени статической неопределимости балки (рис. 14,а) и рамы (рис. 14,в) с учетом общего числа замкнутых контуров по формуле (3) будут:

− для балки: n=3К-Ш=32–5=1;

− для рам: n=3К-Ш =32–4=2, n=3К-Ш =32–4=2.

06_02_rus

Рис.14

Число контуров и простых шарниров зависит от способа представления расчётной схемы сооружения. На рис. 15,а,б показано изображение расчётной схемы одной и той же рамы с различным количеством контуров и простых шарниров. Естественно, что степень статической неопределимости рамы не зависит от способа изображения её расчётной схемы. Действительно:

n= 3К-Ш = 33 – 3 = 6 (рис. 15,а),

n = 3К-Ш = 35 – 9 = 6 (рис. 15,б).

14,5

Рис.15

Рассмотрим еще пример. Используя формулу "контуров", вычислим степень статической неопределимости плоских стержневых систем, изображённых на рис. 16.

На рис. 16,а,б цифрами, объединёнными кружками, пронумерованы замкнутые контуры. Рядом с цилиндрическими шарнирами цифрами помечено количество простых шарниров.

n= 3К-Ш = 33 – 8 = 1 (рис. 16,а),

n= 3К-Ш = 39 – 24 = 3 (рис. 16,б).

14,6

Рис.16

На рис. 17 показано несколько рам. Последовательно рассмотрим их.

а) Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три взаимные связи, т. е. семь раз статически неопределима (рис.17,а).

б) Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой (рис.17,б).

Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира. Так как каждый шарнир снимает одну связь, т. е. разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти — три раза статически неопределимой.

Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А сходятся три стержня и шарнир снимает две связи.

Рис.17. Примеры рамных статически неопределимых конструкций:

а) статически неопределимая — семь, б) — три, в) — четыре, г) — три,

е) — двенадцать, ж) — семь, и) — тридцать раз статически неопределима

в) Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом статически неопределимой, т.е. всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней, т. е. три связи. Рама четыре раза статически неопределима (рис.17,в).

г) Рама три раза статически неопределима (рис.17,г).

д) Внешние связи не удовлетворяют условиям кинематической неизменяемости. Это — механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность поворачиваться относительно верхней опоры как жесткое целое Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равновесия, но новое положение связей будет зависеть от жесткости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил (рис.17,д).

е) Рама — пространственная. Имеется шесть дополнительных внешних связей (лишняя заделка) и шесть дополнительных взаимных связей (замкнутый контур). Система 12 раз статически неопределима (рис.17,е).

ж) Система семь раз статически неопределима (один раз внешним образом и шесть раз — внутренним) (рис.17,ж).

з) Здесь для плоской рамы не показаны внешние связи, но дана система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В таком случае условились считать, что дополнительных внешних связей нет, и положение рамы в пространстве считается определенным; рассматриваются только внутренние связи. Система три раза статически неопределима (рис.17,з).

и) Здесь также рассматриваются только внутренние связи, поскольку система указанных внешних сил удовлетворяет условиям равновесия. Нужно подсчитать, сколько сечений необходимо сделать в раме, чтобы, с одной стороны, она не «рассыпалась», а с другой, чтобы в ней не осталось ни одного замкнутого контура. Таких сечений следует сделать пять (см. рис. 17, и). Система 30 раз статически неопределима.

Метод сил

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

9. Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей.

10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).

11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.

Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Выбор основной системы

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы, которые принято называть лишними неизвестными. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X_i, где i — номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X_i, — являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

Выбор основной системы (ОС) является непростым. Неудачный выбор основной системы может привести к значительной трудоемкости решения, а иногда и к грубой ошибке. Нельзя руководствоваться только одним правилом образования основной системы, а именно, что число отбрасываемых связей должно быть равным степени статической неопределимости. Надо обязательно следить еще и за тем, какие связи отбрасываются. Некоторые связи отбрасывать недопустимо. При выборе основной системы надо следить кроме всего прочего и за геометрической и кинематической неизменяемостью всей системы и отдельных ее частей.

Так, у балки (рис. 16,а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее основную систему (ОС) (рис. 18,б).

06_03_rus

Рис.18

Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 18,в-е. Однако одна из этих схем (рис. 18,е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему.

Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным основным системам должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных основных системах может быть разным. Поэтому из многих вариантов основной системы нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант основной системы (рис. 18,б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.

Для рамы, показанной на рис. 19, можно предложить основные системы, а), б),..., которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 20 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы (рис.20, а, б), с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,— с другой (рис.20, в).

Рис.19

Рис.20

Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.21, б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.21, а).

2. Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n = 3 (рис.22, а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.22, б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.22, в). В частных случаях (рис.22, г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.22, д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.22, е).

Рис.21

Рис. 22

Рассмотрим еще примеры образования основных систем метода сил для статически неопределимых рам (рис. 23-30). Вычислим сначала степень статической неопределимости этих рам, используя формулу (3) n= 3К-Ш:

рис. 23,а – n= 3К-Ш = 33 – 6 = 3;

рис. 24,а – n= 3К-Ш = 33 – 7 = 2;

рис. 25,а – n= 3К-Ш = 23 – 5 = 1;

рис. 26,а – n= 3К-Ш = 43 – 8 = 4;

рис. 27,а – n= 3К-Ш = 33 – 7 = 2;

рис. 28,а – n= 3К-Ш = 33 – 4 = 5;

рис. 29,а – n= 3К-Ш = 33 – 6 = 3;

рис. 30,а – n= 3К-Ш = 23 – 3 = 3.

Рис.23 Рис.24

16,4

Рис.25 Рис.26

16,5 16,6

Рис.27 Рис.28

16,7

Рис.29

16,8

Рис.30

Основные системы метода сил из заданных статически неопределимых рам получены различными способами: удалением опорных связей (рис. 23,в; рис. 24,в; рис. 25,б; рис. 26,б), введением простых или кратных цилиндрических шарниров (рис. 23,б; рис. 25,в; рис. 26,в; рис. 27,б; рис. 29,б), введением поступательных шарниров, как правило, в элементы, имеющие по своим концам цилиндрические шарниры (рис. 23,б; рис. 24,б,в; рис. 29,б,в), удалением всех или части внутренних связей в цилиндрических шарнирах (рис. 30,б), разрезом по "живому" сечению (рис. 28,в) и другими способами, включая различные сочетания вышеперечисленных.

Для заданной расчётной схемы статически неопределимого сооружения существует множество вариантов основных систем метода сил. Для расчёта принимается вариант, удовлетворяющий ряду требований, среди которых обязательным является требование геометрической неизменяемости основной системы метода сил. С этой точки зрения основные системы метода сил, показанные на рис. 23,в и рис. 24,в не могут быть использованы для расчёта заданных статически неопределимых рам. Основная система метода сил, изображённая на рис. 23,в, по своей структуре геометрически изменяема, так как состоит из двух дисков А и В, соединённых между собой тремя параллельными связями ab, cd, ef одинаковой длины. На рис. 24,в показан вариант мгновенно изменяемой основной системы метода сил. Действительно, в этом варианте диск А и диск "земля" В соединяются между собой цилиндрическим шарниром К и связью mn, ось которой проходит через шарнир К.

Выполнение некоторых желательных требований при выборе основной системы метода сил способствует сокращению времени на расчёт статически неопределимого сооружения. Это, прежде всего, образование простых по структуре основных систем методом сил, где чётко просматриваются рабочие схемы (главные и второстепенные части), легко определяются реакции опорных связей и внутренние усилия. С этой точки зрения основная система метода сил, показанная на рис. 25,б, предпочтительнее, чем другая основная система (рис. 25,в) для этой же рамы.

Важно, чтобы в используемой для расчёта основной системе метода сил эпюры внутренних усилий не "растекались" по всем элементам, т.е. были бы локализованы, и имели бы возможно меньшие по абсолютной величине ординаты. Часто выполнению этого условия способствует введение цилиндрических шарниров в узлы статически неопределимых систем (рис. 26,в и рис. 28,б).

Для симметричных статически неопределимых сооружений основную систему метода сил следует выбирать также симметричной (рис. 28,б,в и рис. 29,б).

Для основных систем неконсольного вида необходимо в первую очередь вычислить, пользуясь уравнениями равновесия, опорные реакции, а затем, приняв их за внешние силы, построить эпюры. Для избежания ошибок всегда следует проводить проверку правильности вычисления опорных реакций.

Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого раздела. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестными Х₁, Х₂ ,...X_n и внешней нагрузкой Р называют эквивалентной системой при условии, что её действительные перемещения согласуются с наложенными на исходную систему связями. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 31, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 31, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов).

Рис.31

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. - это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; - перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через . С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

где - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с X_k, но равной единице.

Подставляя (6) в (5), получим:

Физический смысл уравнения (7): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (7), для всей совокупности n отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил. Уравнения имеют стационарную (каноническую) форму, одинаковую для всех статически неопределимых систем.

Здесь – единичные коэффициенты (перемещения); – моменты от единичных сил, приложенных в направлении неизвестных ; EI – изгибная жесткость. Обобщенные перемещения называются грузовыми коэффициентами (перемещениями); – изгибающий момент, вызываемый i-й единичной силой; – изгибающий момент, который вызван системой внешних сил.

Единичные коэффициенты делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (). Главные коэффициенты всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные коэффициенты в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных.

Вид уравнения (8), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

При вычислении коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода сил, кроме непосредственного интегрирования и применяют различные упрощенные приемы вычисления интегралов. Особенно обстоятельно они разработаны для рам с прямолинейными стержнями постоянного сечения. Жесткость EI = const при этом выносится за знак интеграла, а под интегралом остается произведение двух функций: M_i и M_k, одна из которых, как правило, или обе являются линейными функциями. Операция интегрирования здесь часто называется перемножением эпюр и ее символически изображают следующим образом:

здесь знак означает умножение в смысле формулы Мора.

Применение готовых формул показано в таблице 1. Сами эти формулы без труда определяются элементарными методами. Эта таблица является весьма универсальной, так как она пригодна для определения перемещений по двум любым прямолинейным эпюрам, а также криволинейной с прямолинейной. Если любая из фигур, приведенных в табл. 1, перемножается с треугольником, то это перемножение сводится к трапеции, одна из ординат которых равна 0. При перемножении на прямоугольник нужно учесть, что М_a = М_b.

При помощи расчленения эпюр на части можно добиться того, чтобы при перемножении участвовали эпюры простой структуры, приведенные в таблице 1.

Таблица 1

M₂(x) M₁(x)
	abl

Например, пусть нужно перемножить эпюры, приведенные на рис. 32. Каждую из эпюр можно представить в виде суммы: в первом случае, в виде двух треугольных и параболической; во втором -в виде двух треугольных.

Рис. 32 Рис. 33

Итак,

Тогда

А далее следует воспользоваться формулой для вычисления интегралов , приведенных в таблице 1.

Довольно удобным способом перемножения эпюр является способ Верещагина. Этот способ применим в случае когда из двух перемножаемых эпюр одна как минимум является прямолинейной. Если одна из эпюр является криволинейной вычисляется площадь криволинейной эпюры, которая умножается на ординату под ее центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре (рис.33).

Предположим M₁ = f (x); M₂ = ax + b, тогда

но величина представляет собой площадь криволинейной эпюры, а величина - статический момент площади этой эпюры относительно левого конца стержня. Следовательно,

Известно, что величина представляет собой ординату центра тяжести криволинейной эпюры, а - значение M₂ при .

В случае двух криволинейных эпюр способ Верещагина неприменим. Надо пользоваться интегралом Мора. Способ Верещагина применим также в тех случаях, когда одна из эпюр не криволинейная, а ломаная.

В таблице 2 приведены формулы для определения площади , положения центра тяжести z_Cи ординаты y_C в центре тяжести для некоторых довольно распространенных плоских фигур.

В случае, когда имеются эпюры общего вида (например, обе эпюры криволинейные, либо трапеции, рис.33, разбиение уже на два равных интервала дает согласно формуле Симпсона точное выражение интеграла:

где индексы А и С относятся к сечениям расположенным на концевых сечениях интервала длиной l, а индекс В к серединному сечению того же интервала.

В тех случаях, когда функции M₁ и M₂ в рассматриваемом интервале длиной l, являются линейными и известны их значения в концевых сечениях интервала, то формулу перемножения M₁ и M₂ можно преобразовать в следующем виде:

Итак, после составления и решения канонической системы уравнений метода сил (7.4) мы получаем значения X₁, X₂, X₃,..., X_n, т.е. значения усилий в лишних связях. Затем строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий. Для этого могут быть использованы построенные ранее единичные эпюры, все ординаты которых необходимо теперь умножить на найденные значения соответствующих неизвестных.

Сложив по характерным сечениям (на протяжении всей рассчитываемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех сил X_i с ординатами грузовой эпюры, получим окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе.

Таблица 2

№	Фигура	Площадь	Абсциссы центра тяжести
№	Фигура	Площадь	z₁	z₂
1		yl
2
3
4
5

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру - эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

Таким образом, результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр - это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.

Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (14.5) состоит в выполнении условия:

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных X_i выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

или, учитывая, что

приходим к выражению:

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей X_i исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры , которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (14) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Алгебраическая сумма моментов в любом узле должна быть равна нулю Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.

При умножении окончательной эпюры моментов на любую из единичных эпюр, возможных для данной рамы, должен получиться нуль, если в заданной раме в направлении соответствующего неизвестного перемещение невозможно.

При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутому контуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (17) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

т.е. результат перемножения суммарной единичной и окончательной эпюр моментов должен быть равен нулю.

Формулу (18) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Пример 1.

Требуется раскрыть статическую неопределимость балки и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис.34,а).

Решение.

В сечении А балка имеет жесткую опору, исключающую перемещение и поворот сечения. Такая опора соответствует наличию трех связей. На правом конце балка опирается свободно и имеет одну связь. Таким образом, балка имеет четыре связи при трех степенях свободы. Степень статической неопределимости балки равна единице.

Изобразим балку и расставим “характерные” сечения: на левом конце, посредине и на правом конце (рис.34,а). Оборвем одну связь в сечении В и действие связи заменим реакцией (рис.34,б). Величина этой реакции неизвестна, но она должна быть такой, чтобы вертикальное перемещение сечения В было равно нулю. В этом условии будет заключаться эквивалентность исходной системы (рис.34,а) и статически определимой системе, изображенной на рис.34,б. Чтобы описать условие эквивалентности двух систем, воспользуемся принципом независимости сил, сначала изобразим балку, нагрузив ее только внешней нагрузкой (рис.34,в). Перемещение сечения В, вызванное внешней нагрузкой, обозначим . Далее изобразим балку, нагруженную только сосредоточенной силой . Перемещение сечения В, вызванное этой нагрузкой, обозначим . Сумма этих перемещений должна равняться нулю, так как в исходной системе сечение В в вертикальном направлении не перемещается:

Уравнение (19) удобно записывать в канонической форме:

где . Здесь - перемещение, вызванное силой, равной единице, приложенной в сечении В (рис.34,е).

Рис

Рис.34

Неизвестную реакцию можно определить из уравнения (20), если предварительно найти перемещение , которое назовем грузовым, и перемещение , которое назовем единичным.

Чтобы определить грузовое перемещение , построим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис.34,д), единичную эпюру (рис.34,ж) и перемножим их, воспользовавшись формулой Мора-Симпсона:

В рассматриваемом примере:

Единичное перемещение найдем, умножив единичную эпюру (рис.34,ж) саму на себя.

Для рассматриваемого примера

Подставляя найденные значения для и в уравнение (20) и решая его относительно , найдем:

Суммарные изгибающие моменты в “характерных” сечениях балки найдем из выражения:

где n - число “лишних” неизвестных или степень статической неопределимости системы; i - номер “характерного” сечения.

Для рассматриваемой балки:

Откладываем найденные значения от базисной линии и строим эпюру суммарных изгибающих моментов (рис.34,з).

Для построения эпюры поперечных сил вырежем часть балки, расположенную между сечениями №1 и №3, приложим все действующие на вырезанный участок силы (рис.35) и составим два уравнения равновесия, из которых найдем значения поперечной силы в “характерных” сечениях, расположенных на границах вырезанного участка:

Рис

Рис.35

Учитывая, что (знак момента учтен выбором его направления), из первого уравнения находим: . Из второго уравнения находим . По найденным значениям строим суммарную эпюру поперечной силы (рис.34,и).

Пример 2.

Для балки (рис. 36,а) определим внутренние усилия.

nem1

Рис.36

Решение.

1) Рассчитаем степень статической неопределимости n=5-3=2.

Два раза статически неопределимая балка. Основные системы метода сил представлены на рисунке 36,б,в.

Для расчета примем вариант 36,в.

2) Запишем систему канонических уравнений:

3) Вычисляем коэффициенты и .

Эпюры от единичных загружений представлены на рисунке 37,б,в и от внешней нагрузки - на рисунке 37,г.

nem1

Рис.37

Решение системы:

дает

По полученным значениям строим и (рис. 38,а,б)

и (рис. 38,в).

Проверки.

а) Статическая проверка. Значения моментов на опорах (рис. 38,в) одинаковы и равновесие обеспечивается. Проверка удовлетворяется.

б) Кинематическая проверка.

nem1

Рис.38

Перемножим с . Проверим, будет ли взаимный угол поворота сечений балки на опоре 2 равен нулю?

Проверка удовлетворяется.

Эпюра строится по эпюре по рассмотренному ранее принципу. Выполните построение самостоятельно и свой результат сверьте с приведенным решением на рис.38,г.

Пример 3.

Определить усилия (в кН) в стержнях фермы, изображенной на рис.39.

Рис

Рис.39

Решение.

1. Определяем степень статической неопределимости: n=3-2=1.

2. Выбираем основную систему (рис.40).Основная система получается из заданной путем рассечения одного из стержней, например, стержня ВС.

Рис

Рис.40. Основная система

3. Изображаем эквивалентную систему (рис.41).

Рис

Рис.41. Эквивалентная система

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

Физический смысл этого уравнения состоит в том, что взаимное перемещение сечений, которые получились при рассечении стержня ВС, равно нулю.

4. Изображаем грузовое состояние системы (рис.42) и определяем усилия в стержнях фермы АВ и ВD.

Рис

Рис.42. Грузовое состояние системы

Составляем уравнения равновесия сил на оси x и y:

откуда находим:

5. Изображаем единичное состояние системы (рис.43) и находим единичные усилия в стержнях фермы:

Рис

Рис.43. Единичное состояние системы

Составляем уравнения равновесия на оси x и y:

откуда находим:

6. Определяем грузовое и единичное перемещения . Для этого воспользуемся формулой Максвелла:

Из канонического уравнения (23) находим “лишнюю” неизвестную :

Усилия в стержнях и найдем из формулы:

Подставляя в формулу (24) значения “лишней” неизвестной, грузовых и единичных изгибающих моментов, получаем:

Пример 4.

Определить реакцию опоры В рамы, изображенной на рис.44.

Рис

Рис.44

Следует отметить, что в заданной постановке можно избежать построения суммарных эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для определения реакции опоры В. Для этого нужно выбрать таким образом основную систему, чтобы связь в опоре В оказалась “лишней”. Тогда “лишняя” неизвестная, заменяющая действие “лишней” связи, и будет искомой реакцией.

Решение.

1. Разбиваем раму на участки, выбираем точку наблюдения, вводим положительные и отрицательные стороны и проставляем “характерные” сечения.

2. Определяем степень статической неопределимости: n=4-3=1.

3. Выбираем основную систему. Так как нас интересует реакция опоры В, принимаем в качестве “лишней” неизвестной реакцию в этой опоре (рис.45).

Рис

Рис.45. Основная система

4. Изображаем эквивалентную систему (рис.46).

Рис

Рис.46. Эквивалентная система

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

Физический смысл этого уравнения – равенство нулю перемещений в направлении “лишней” неизвестной , вызванное самой “лишней” неизвестной и внешней нагрузкой.

5. Изображаем грузовое состояние системы (рис.47,а) и строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис.47,б).

Рис

Рис.47

6. Изображаем единичное состояние системы (рис.48,а) и строим единичную эпюру изгибающих моментов (рис.48,б).

Рис

Рис.48

7. Перемножая грузовую эпюру и единичную эпюру изгибающих моментов по формуле Мора-Симпсона, находим грузовое перемещение :

8. Перемножая единичную изгибающих моментов саму на себя, находим единичное перемещение :

Подставляя (26) и (27) в уравнение (25) и решая его относительно , получим:

Полученная значение для “лишней” неизвестной и есть величина опорной реакции В. Положительный знак у реакции означает, что направление “лишней” неизвестной , а, следовательно, и реакции опоры В выбрано верно.

Пример 5.

Для заданной рамы (рис.49) требуется построить эпюры M, Q, N.

nem1