Олимпиадные задачи

 

Главная

Геометрические характеристики плоской фигуры

 

- Вычислить главные моменты инерции и моменты сопротивления сечения изгибу правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R.

1

 

- При каком отношении h/в разность между осевыми моментами инерции круга и вписанного прямоугольника будет минимальной?

 

- Для составного профиля, изображенного на рисунке, определить момент инерции относительно горизонтальной центральной оси. Принять t=0,25.

 

 

- Определить осевой момент инерции Iу плоской фигуры, изображенной на рисунке.

 

- Из полукруга радиусом R выделен ΔАВС с основанием 2R и высотой h. Определить момент инерции заштрихованной фигуры относительно оси проходящей через точки О и В. Дано: R, h, α<900.

 

- Определить осевой момент инерции Iу треугольника АВС площадью S если известны координаты точек А, В, С в направлении оси х.

 

- Балка, поперечное сечение которой изображено на рисунке, подвергается чистому изгибу моментом М. При каком значении размера а отношение напряжений  будет наибольшим? Чему будет равно это отношение?

 

- Не прибегая к интегрированию, найти центральный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей, параллельных катетам.

 

- Определить осевой момент инерции сечения относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения.

 

- Найти в плоскости ху точки, обладающие тем свойством, что любая ось, проходящая через такую точку, является главной осью прямоугольника.

 

- Докажите, что можно уменьшить сечение круглой балки, как это показано на рисунке, без уменьшения ее прочности?

 

- Не прибегая к вычислению, доказать, что Iху=0.

 

- На сколько можно увеличить момент сопротивления квадрата относительно оси х, если удалить с противоположных углов одинаковые части площади путем срезки параллельно этой оси?

 

- Фигура образована n вписанными квадратами. Найти момент инерции фигуры относительно  оси х, наклонной от горизонтальной оси  на угол

 

 

- Определить значение β, которое определяет величину срезаемой части поперечного треугольника, которому соответствует поперечное сечение, обеспечивающие прочность балки.

 

- Плоскость действия нагрузки на балку в одном случае проходит через ось у, в другом – через х. В каком из указанных нагружений нормальные напряжения будут больше и на сколько?

 

- Балка составлена из двух одинаковых стержней прямоугольного сечения (главные моменты инерции – I1, I2). Определить положение лавных центральных осей и значение наименьшего главного момента инерции сечения балки.

 

- Стержень прямоугольного сечения сделан из пористого материала. Плотность пор меняется по высоте сечения по закону  (). В целом поры ослабляют сечение на 25%. Определить момент инерции сечения относительно его центральной горизонтальной оси.

 

- Определить размеры прямоугольника, который может выпилить из треугольной пластинки так, чтобы его момент сопротивления был максимальным относительно оси, параллельной основанию.

 

- Для ромба со стороной а найти диагонали h и b, при которых осевой момент инерции будет наибольшим.

 

- Задано а, r, α. Определить момент инерции площади фигуры относительно оси х.

 

-  Для заданной фигуры получить уравнение главных центральных осей инерции.

 

- Каково должно быть отношение размеров h/b прямоугольного сечения стержня, изготавливаемого из цилиндрического стержня диаметра  d, если требуется: а) наибольшая прочность при растяжении, б) наибольшая прочность при изгибе, в) наибольшая жесткость при изгибе?

 

- Балка имеет в поперечном сечении форму ромба. Определить при каком соотношении h/b нормальные напряжения будут наименьшими.

 

- Тонкостенная балка коробчатого сечения образуется из листа шириной s. Найти h и b, при которых осевой момент сопротивления будет наибольшим.

 

- При каком соотношении a и h прочность балки не изменится при ее повороте на 450?

 

- Тавровое сечение получается присоединением к прямоугольнику ABCD прямоугольника EFHG. При какой ширине х добавляемого прямоугольника это добавление не сопровождается изменением момента сопротивления сечения?

 

- Определить момент инерции фигуры относительно медианы треугольника ВМ. Дано: b, h, d, α.

 

- При каком значении h прочность балки, нагруженной в плоскости, содержащей ось у, будет минимальной? Дано: b, t.

 

- При каком значении К отношение главных моментов инерции :  для заштрихованной площади равно 5.

 

- Сечение составлено из трех связанных между собой кругов диаметром d. Найти момент сопротивления сечения относительно центральной оси х. Во сколько раз он больше, чем момент сопротивления одного круга диаметром d?

 

- Для полукруга определить положение главных осей, проходящих через точку О, и вычислить главные моменты инерции.

 

- Определить момент инерции полукруга радиуса r относительно оси Х1.

 

- Найти центробежный момент инерции четверти круга относительно осей х и у.

 

- Найти момент инерции треугольника АВС относительно оси х, если известна его площадь А=12 см2 и даны в=6 см и с=4 см.

 

- Найти момент инерции треугольника АВС относительно оси х, если известны координаты его вершин: А(0,0); В(в,2в); С(2в,в).

 

- Составить выражения для осевых и центробежного моментов инерции прямоугольника со сторонами в и h относительно центральных осей х и у, повернутых на угол 300 к главным осям. Какой вид примут полученные выражения для квадратного сечения со стороной а?

- Стержень прямоугольного сечения изготовлен из однородного пористого материала. Определить главные центральные моменты инерции сечения, если пары занимают восьмые часть объема материала.

 

- Стержень квадратного сечения выполнен из материала с капиллярами, ориентированы вдоль оси стержня и равномерно распределенными по площади сечения с коэффициентом пористости К=Акапила/Абрутто=0,25. Определить размер сечения, для которого Iх=10000 см4.

 

- Найти осевые и центробежный моменты инерции равнобедренного прямоугольного треугольника относительно осей ху, проходящих через середину гипотенузы.

 

- Сечение составлено из полукруга радиуса r и прямоугольного треугольника с основанием в. При каком соотношении в/r центробежный момент сечения Iху равен нулю?

 

- Из квадрата вырезается равнобедренный треугольник АВС. Найти высоту треугольника по условию, чтобы его вершина совпадала с центром тяжести оставшейся части.

 

- При каком значении высоты h равнобочной трапеции все оси, проходящие через точку О основания трапеции, будут главными?

 

- Доказать, что при любом значении размера а главная центральная ось сечения, состоящая из двух одинаковых углов, проходит через их центры тяжести.

 

- При каком соотношении между размерами h и а момент сопротивления крестообразного сечения относительно горизонтальной оси не изменится при повороте его на 450?

 

- Для заданной несимметричной фигуры определить момент инерции относительно оси х.

 

- Для заданной симметричной фигуры определить момент инерции относительно оси у, пологая а=24 мм.

 

- Определить осевой момент инерции поперечного сечения шлицевого вала, имеющего 12 зубьев.

 

- При каких соотношениях между высотой h и основанием в прямоугольника, вписанного в круг диаметра d, момент инерции и момент сопротивления относительно горизонтальной оси х будут максимальными?

 

- Из круглого бревна диаметром d необходимо выпилить брус прямоугольного сечения, момент сопротивления которого относительно центральной оси х имел бы наибольшее возможное значение. Определить из этого условия размеры сечения в и h.

 

- Для ромба со стороной а определить, при каких соотношениях между размерами h и в будут наибольшими момент инерции и момент сопротивления относительно горизонтальной центральной оси х.

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

00:00:00

 

Рейтинг@Mail.ru