Лекции по теории упругости

 

Главная

Лекция 5. Оболочки

 

5.1 Общие сведения об оболочках

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволиней­ными поверхностями, расстояние между которыми (толщина h) мало по сравнению с другими размерами тела. Оболочки принадлежат к сплошным непрерывным системам (к дискретным системам относятся, например, стержневые системы). В настоящей главе рассматриваются наиболее часто применяемые в машиностроении оболочки постоянной толщины.

Оболочки широко применяются в различных отраслях техники. Например, подкрепленной замкнутой оболочкой является прочный корпус подводной лодки. Корпус парогенератора или турбины энер­гетической установки также рассчитывают как оболочку.

Цистерны, воздушные и газовые баллоны обычно пред­ставляют собой оболочки вращения цилиндрической, шаровой или каплевидной формы. Как оболочки рассматриваются и строительные конструкции - перекрытия и купола всевозможных очертаний со значительными пролетами, а также самолетные конструкции (фюзеляж, крылья и оперение).

Большое распространение оболочек объясняется их экономич­ностью по сравнению с равнопрочными конструкциями, состоя­щими из плоских пластин. Например, при одной и той же пло­щади F поперечного сечения сосуда и одинаковом постоянном внутреннем давлении наибольшие напряжения в стенке сосуда вдали от торцов при прямоугольной призматической форме   (рис. 78,а) будут в несколько десятков раз больше, чем при цилиндрической форме (рис. 78, б). Это обусловлено тем, что в пластинах, образующих прямоугольный сосуд, вследствие изгиба наблюдается большая неравномерность распределения напряже­нии, чем в цилиндрической оболочке.

а

б

Рис. 78

 

Срединной поверхностью оболочки называется геометрическое место точек, равноудаленных от ее наружной и внутренней поверх­ностей. Считается, что кромка незамкнутой оболочки образо­вана поверхностью, нормальной к срединной поверхности.

Условно, в зависимости от отношения толщины h оболочки к наименьшему радиусу R кри­визны ее срединной поверхно­сти, различают два класса обо­лочек: толстые оболочки, у ко­торых  , и тонкие обо­лочки, у которых. В уравнениях, относящихся к тонкой оболочке, наибольшим значением  можно пренебречь по сравнению с единицей, не превышая обычную для техниче­ских расчетов погрешность в 5 % :

Большая часть оболочек, применяемых в машино­строении, относится к тонким оболочкам, однако основана на использовании достаточно сложного математического аппарата. Их теория построена в предположении, что материал изотропен, обладает идеальной упругостью, подчи­няется закону Гука и перемещения точек оболочки малы по срав­нению с ее толщиной. Кроме того, используются два допущения теории пластин: 1) о прямых нормалях, т. е. считается, что линейные элементы оболочки, нормальные к срединной поверх­ности, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой сре­динной поверхности; 2) об отсутствии поперечного давления, т. е. предполагается, что нормальные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, пренебрежимо малы.

Напомним некоторые сведения из теории поверхностей. В любой точке К криволи­нейной поверхности (рис. 79,а) имеется плоскость П, касатель­ная к поверхности, в которой лежат все касательные Т к плос­ким кривым S, проведенным на поверхности. Нормаль n в точке К перпендикулярна к касательной плоскости.

а

б

Рис. 79

 

Нормальное сечение поверхности в точке К получается, если рассечь ее плоскостью V, содержащей нормаль п (рис. 79,б). В любой точке К можно провести на поверхности две взаимно перпендикулярные линии главной кривизны, из которых одна имеет наибольший радиус кривизны R1, а другая наимень­ший R2 по отношению к радиусам всех линий, проходящих через точку К.

Величины  и  , обратные этим радиусам, назы­ваются главными кривизнами. Центры кривизны О1 и O2 в общем случае не совпадают.

 

5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы

При изучении оболочек произвольной формы в общем случае пользуются системой криволинейных координат. Для оболочек вращения применяют цилиндрическую или сферическую системы.

При цилиндрической системе (рис. 80) за координаты прини­маются: расстояние z по верти­кали, отсчитываемое от точки О, определяющее параллель П, и угол , отсчитываемый от началь­ной плоскости у0z, определяющий положение плоскости BOA, в кото­рой лежит меридиан М. Пересе­чение параллели П и меридиана М определяет положение точки К на поверхности. Радиус R пред­ставляет собой функцию от z.

Рис. 80

 

При сферической системе за координаты принимаются: угол , отсчитываемый в плоскости BOA от вертикальной оси z, опреде­ляющий положение параллели П, и угол , определяющий поло­жение меридиана М. Радиус  представляет собой функцию от .

Выделим из оболочки, нагруженной непрерывно распределен­ной нагрузкой, элемент АОВ (рис. 81,а) двумя парами смежных взаимно ортогональных сечений, содержащих главные кривизны оболочки. Обозначим через R1 и R2 соответствующие радиусы главных кривизн. Взаимно перпендикулярные оси х и у направим  по касательным в точке О к линиям главных кривизн, а ось z - по нормали к срединной поверхности в точке О. На элемент АОВ действуют десять   погонных   усилий  (рис. 81,б):  изгибающие   моменты   Мх   и   My,

а

б

Рис. 81

 

крутящие моменты Нх и Ну, продольные силы Nx и Ny, поперечные силы Qх и Qy и сдвигающие силы Т и Туx. Так как элемент выделяется взаимно ортогональными плоско­стями, нормальными к срединной поверхности, в пересечении пло­скостей с оболочкой образуются фигуры, имеющие разные длины волокон в зависимости от длины радиусов R1 и R2. Размер волокна длиной, равной единице (рис. 82), на расстоянии  z  от срединной по­верхности с

Рис. 82

 

радиусом R после деформации окажется

Поэтому для погонных усилий, действующих по граням выделенного эле­мента АОВ (см. рис. 81,б и 82), можно составить такие выра­жения:

                    (5.1)

При переходе от одной грани выделенного элемента к соседней, расположенной на расстоянии dS1 или dS2 (рис. 81,а) от первой, необходимо учитывать приращение усилий.

Вследствие того, что трапеции, образующие боковые грани элемента, различны, сдвигающие силы Т и Туx не равны между собой, несмотря на справедливость закона парности  касательных напряжений. Однако обычно толщина h, а, следова­тельно, и расстояние z малы по сравнению с радиусами R1 и R2, поэтому отношения  и   малы по сравнению с единицей и могут быть сразу отброшены. Тогда

,

т. е. закон парности сдвигающих усилий становится действи­тельным.

Для решения статически неопределимой задачи о напряженном состоянии можно составить следующие уравнения:

1. Пять дифференциальных уравнений равновесия, представ­ляющих собой суммы проекций всех сил, действующих на эле­мент, на оси Ох, Оу и Оz и суммы моментов этих сил относительно осей Ох и Оу. Уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно оси Оz превращается в тождество 0 = 0 на осно­вании закона парности касательных напряжений.

2. Три геометрических дифференциальных уравнения, связы­вающих относительные деформации ,  и  с составляющими перемещениями u0, v0 и w0 срединной поверхности, и три геоме­трических дифференциальных уравнения, связывающих вели­чины kx и ky, характеризующие изменения кривизн срединной поверхности, и величину , характеризующую ее кручение, с составляющими u0, v0 и w0. Появление переме­щений kx, ky и  связано с тем, что элемент оболочки под нагрузкой получает дополнительное искривление.

3. Шесть уравнений, аналогичных закону Гука для пластины, связывающих между собой соответствующие усилия с составляю­щими деформациями.

Таким образом, для нахождения восьми усилий Мх, My, Qx, Qy, Hx = Ну, Nx, Ny, Т = Туx, шести составляющих переме­щений u0, v0, w0, kx, ky и  и трех относительных деформаций ,  и  , т. е. семнадцати неизвестных, имеем 5 + + 3 + 3 + 6 = 17 уравнений.

Число граничных условий для каждой кромки вырезанного элемента равно четырем. Они могут быть геометрическими (равен­ство нулю перемещений и, v и w), статическими (равенство нулю погонных усилий М, Q, N и Т) или смешанными. Например, для свободно опертой кромки (= const, рис. 83) можно написать смешанные условия: и = 0, w = 0, Мx = 0, Nx = 0. Общее число условий равно числу произвольных постоянных, получающихся при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рис. 83

 

Решение системы семнадцати уравнений при заданных гранич­ных условиях в общем виде в ряде случаев не может быть получено. Поэтому пользуются обычно решениями для частных случаев формы оболочки и ее нагружения, дающих возможность упростить общие уравнения.

Одно из простых решений получается в тех случаях, когда напряжениями изгиба можно пренебречь, учитывая лишь напряжения, связан­ные с деформацией срединной поверхности. Соответствую­щая теория называется безмоментной или мембранной. Она применима в тех слу­чаях, когда радиусы средин­ной поверхности изменяются плавно, оболочка не имеет переломов и резких изменений толщины. Нагруз­ка, действующая на оболоч­ку, тоже должна изменяться плавно или быть постоянной.

По безмоментной теории предполагается, что изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы отсутствуют, т. е.

Mx = My = H = Qx = Qy = 0,

и остаются лишь продольные силы Nx и Ny и сдвигающие силы Тxy = Тyx.

В случае, если оболочка представляет собой оболочку вращения и нагрузка симметрична относительно оси вращения и нормальна к срединной поверхности оболочки, сдвигающие силы Т = Тух также отсутствуют и остаются только продольные силы; меридио­нальные Nm и окружные NT.

При постоянной интенсивности давления q и постоянных радиусах R1 и R2 главных кривизн меридиональные, так же как и окружные погонные силы Nm и NT, одинаковы во всех точках и напряженное состояние оболочки однородное.

 

5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением

На рис. 84 показана оболочка вращения с постоянной толщиной, нагруженная нормальным давлением интенсивностью q. Вырежем из нее двумя меридиональными сечениями 1 и 2 и двумя экваториальными сечениями 3 и 4 малый элемент abcd, имеющий размеры ds1  и  ds2.  Радиусы  кривизны  R1  и  R3

Рис. 84

 

кривых 1 и 3 в ка­кой-либо точке К оболочки совпадают, так как оба радиуса направ­лены по нормали к касательной плоскости II в этой точке. Центр кривизны 01 меридиональной кривой может лежать как внутри очертания оболочки, так и вне оболочки в зависимости от того, выпуклая она или вогнутая, и в зависимости от величины радиуса кривизны R1, а центр кривизны 02 лежит на оси враще­ния . Геометрическое место радиусов R3 представляет собой кони­ческую поверхность с верши­ной, расположенной на оси .

Составим условия равнове­сия элемента abcd в виде суммы проекций всех сил, действую­щих на элемент, на нормаль п к оболочке, проведенную в цен­тре элемента (рис. 85,а). Так как по четырем граням, кото­рыми выделен элемент, в силу симметрии оболочки и нагрузки относительно оси вращения ка­сательные напряжения отсут­ствуют, эти грани представляют собой главные площадки, а нор­мальные напряжения - глав­ные напряжения: меридиональ­ное  и окружное .

а

б

 

 

 

 

Рис. 85

 

На рис. 85,б показаны три проекции элемента abсd и напряжения, действующие по его гра­ням. Сумма проекций усилий, приложенных к элементу, на нормаль

Принимая  и учитывая, что

,

получаем

или, после сокращения на произведение ds1ds2 и переноса давле­ния q и толщины h в правую часть,

 .                                                     (5.2)

Так как погонные усилия, действующие в экваториальном и меридианном сечениях,

,

можно получить уравнение (5.2), записанное через погонные усилия,

.                                                (5.3)

Уравнение (5.2) или его разновидность (5.3) называется уравнением Лапласа.

При выводе формул Лапласа внутреннее давление q считалось положительным. Наружное давление q следует подставлять в фор­мулы (5.2) и (5.3) со зна­ком минус. Радиусы кри­визны R1 и R2 считаются поло­жительными для выпуклого сосуда и отрицательными для вогнутого. При пользовании указанными правилами зна­ков положительное усилие или напряжение соответству­ет растяжению, а отрицатель­ное - сжатию.

Уравнение Лапласа со­держит два неизвестных - меридиональные и окружные напряжения (или усилия). Для их определения необхо­димо дополнительное уравне­ние, которое получается при отсечении от оболочки части ее и составлении условия равновесия для оставшейся части. Рассекающая плос­кость Р - Р обычно выби­рается нормальной к оси вра­щения , но стенка оболочки пересекается по нормали к мери­диану (рис. 86). Отбрасывать удобно ту часть, на которой нахо­дятся опорные связи, - верхнюю на рис. 86,а и нижнюю на рис. 86,б и в.

 

а

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

Рис. 86

 

Уравнение равновесия оставшейся части подвешенного сосуда, показанной на рис. 86,а сплошной линией, составляем в виде суммы проекции на ось вращения  всех сил, действующих на эту часть:

,

откуда

 .                                      (5.4)

В случае опертой оболочки, показанной на рис. 86,б и в, второй член G числителя формулы (5.4) будет отрицательным. В формуле (5.4) приняты обозначения: qz - гидростатическое или газовое давление на уровне Р - Р  (в случае гидростатиче­ского давления qz = g- z), где  - объемный вес жидкости); G - вес жидкости в оставшейся части сосуда;  - угол между касательной к меридиональному сечению на уровне Р - Р и осью вращения.

Первый член в числителе формулы (5.4) выражает вес цилин­дра, имеющего радиус основания R2 cos и высоту (Hz). Поэтому в случае опертой оболочки числитель формулы (5.4) представляет собой разность весов цилиндра с основанием, равным площади сечения Р - Р, и части сосуда, расположенной выше этого сечения. Эта разность пропорциональна разности объемов, показанных на рис. 86,б и в штриховкой. Если разность положительна, усилие Nm растягивающее (объем цилиндра больше объема сосуда - рис. 86,б), если разность отрицательна, усилие Nm сжимающее (объем цилиндра меньше объема сосуда - рис. 86,в).

Рассмотрим применение этих уравнении в частных случаях.

1.            Шаровая оболочка с радиусом R, нагруженная радиальной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 87).

Рис. 87

 

В этом случае в силу шаровой симметрии 

                                   (5.5)

и напряжение s в любой точке и по любому нормальному сечению может быть найдено без помощи дополнительного уравнения. Под­становка значений (5.5) в уравнение (5.2) дает

.

Относительная окружная и равная ей относительная меридиональная де­формации по закону Гука

 .                         (5.6)

С другой стороны, относительная окружная деформация

.                            (5.7)

Приравняв друг другу выражения (5.6) и (5.7), найдем радиальное перемещение

или, заменив s его выражением (5.6), получим:

 .

2.            Цилиндрическая оболочка с радиусом R, нагруженная нор­мальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 88).

Рис. 88

 

В этом случае главные радиусы кривизны

  и  R2 = R.

Поэтому на основании формулы (5.2) окружное (экваториаль­ное) напряжение

 ,

где D - диаметр цилиндра.

Второе главное напряжение - меридиональное напряжение  - находится из условия равновесия части оболочки слева от сечения А - А. Равнодействующая Q давления на торец уравно­вешивается усилиями, направленными вдоль образующей, дей­ствующими по кольцу, получающемуся при рассечении цилиндра плоскостью А - А. Тогда

,

откуда

.

При отсутствии торцовых днищ в коротком цилиндре  = 0, а в длинном  .

Относительная окружная деформация  для цилиндрической оболочки вычисляется так же, как и для шаровой [см. фор­мулу (5.7)]. Такую же величину имеет и относительная радиальная деформация :

 ,                                                (5.8)

но по закону Гука

 .                                         (5.9)

Приравняв выражения (5.8) и (5.9), найдем радиальное перемещение

или, заменив  и  их выражениями,

.                                          (5.10)

При отсутствии торцовых днищ в короткой оболочке напря­женное состояние можно считать линейным и перемещения вычи­слять по формуле

 .                                             (5.11)

Сравнение формул (5.10) и (5.11) показывает, что при пло­ском напряженном состоянии радиальное перемещение оболочки меньше, чем при линейном; для стальной оболочки коэффициент уменьшения

,

т. е. перемещения при плоском состоянии составляют 85% от перемещений, вычисленных в предположении линейного состояния.

3.            Коническая оболочка с углом  при вершине, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагруз­кой q (рис. 89,а).

а

б

Рис. 89

 

В этом случае главные радиусы кривизны

и из уравнения (5.3) находим

.

Из уравнения равновесия

,

где Q - равнодействующая проекции на ось  нормальных давле­ний на оболочку.

Так как при длине образующей а боковая поверхность обо­лочки

равнодействующая

.

Меридиональное усилие

 .                             (5.12)

Если в это выражение подставить найденное значение Q, то

.

и

.

4. Выражение для меридионального усилия Nm справедливо также в случае сосредоточенной силы Р, приложенной к вершине А конической оболочки по ее оси (рис. 89,б). В формуле (5.12) равно­действующую Q нужно в этом случае заменить на Р. Так как при этом распределенное давление q равно нулю, из уравнения Лап­ласа (5.3) следует, что окружное усилие NT и окружное напря­жение  равны нулю.

Две главные площадки оболочки вращения совпадают с эквато­риальным и меридиональным сечениями. Третья главная площадка нормальна к первым двум и параллельна срединной поверхности. При действии на оболочку внутреннего нормального давления эле­мент 1, выделенный у ее наружной поверхности (рис. 90), нахо­дится в плоском напряженном состоянии, а у внутренней поверх­ности (элемент 2) - в объемном. Третья главная площадка испы­тывает главное напряжение - q, однако меридиональное и эква­ториальное напряжения, имеющие, как видно из уравнения Лап­ласа, порядок , значительно больше (в  раз), чем q. По­этому обычно третьим главным напряжением q пренебрегают и счи­тают, что материал оболочки по всей толщине стенки находится в плоском напряженном состоянии.

Рис. 90

 

5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки

Основные зависимости для случая изгиба замкнутой кру­говой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным ра­диальным давлением q (рис. 91), можно получить без использо­вания общей теории оболочек. Считаем, что отношением толщины оболочки к радиусу кривизны  можно пренебречь ввиду его малости по сравнению с единицей. В таком случае при изгибе деформации и напряжения пропорциональны расстоянию z от волокна до срединной поверхности, а при отсутствии изгиба распределяются равномерно по толщине оболочки.

Рис. 91

 

Выделим из оболочки элемент двумя поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx друг от друга, и двумя радиаль­ными сечениями, образующими между собой угол . Усилия, действующие на вырезанный элемент, показаны на рис. 92.

Рис. 92

 

Вследствие круговой симметрии оболочки и нагрузки относительно оси цилиндра поперечная силы Qy и крутящие моменты Н отсут­ствуют, а продольная сила Ny и изгибающий момент My постоянны по длине окружности. Вследствие того, что давление q нормально к срединной поверхности, сдвигающие силы Т отсутствуют. Поэтому для десяти составляющих усилий  (5. 1) имеем:

.

Остаются лишь усилия, указанные на рис. 92, причем усилия Nу и My при переходе от одного радиального сечения к другому не получают приращения. Из шести уравнений равновесия три превращаются в тождества. Остальные три запишутся так:

                                          (5.13)

                    (5.14)

                   (5.15)

На основании уравнения (5.13) можно заключить, что  т. е. продольная сила Nx постоянна. В частности, она может рав­няться нулю при отсутствии у цилиндрической оболочки торцовых днищ.

Уравнение (5.14) после замены , сокращения двойки в первом члене и всех членов на   примет вид

.                                               (5.16)

В уравнении (5.15) второй член высшего порядка малости может быть отброшен. Тогда после сокращения на  оно примет вид:

 .                                                  (5.17)

Это уравнение показывает, что установленная для стерж­ней зависимость между поперечной силой и изгибающим моментом справедлива и в отношении к рассматриваемой оболочке. Подста­вив эту зависимость в формулу (5.16) и перейдя от частных произ­водных к полным дифференциалам, ввиду того, что осталась единственная переменная х, получим

.                                          (5.18)

Уравнение (5.18) содержит два неизвестных: Ny и Мx, поэтому для их нахождения необходимо еще одно уравнение, кото­рое составляется исходя из известной величины продольной силы

 .                                         (5.19)

От дифференциального уравнения (5.18) в усилиях перейдем к дифференциальному уравнению в радиальных перемещениях w. Для этого усилия выразим через деформации, а деформации - через перемещения.

На основании закона Гука (1.20) при  = 0

                                    (5.20)

 .                                 (5.21)

Приравняв правые части уравнений, найдем:

 .                               (5.22)

Относительная окружная деформация

.                           (5.23)

Подставив значения  из формулы (5.23) в (5.21), на основании формулы (5.24) получим выражение для про­дольной силы

,

а после раскрытия скобок

 .                                       (5.25)

Изгибающие моменты, выраженные через перемещения w, определим с учетом дополнительного момента (Мх)Nx = Nw, который дает продольная сила:

.

Так как при равномерном радиальном сжатии поперечное сечение цилиндра остается круговым, радиальное перемещение w одинаково во всех точках окружности и кривизна изогнутой сре­динной поверхности в экваториальном направлении от изгиба

Поэтому изгибающие моменты от поперечной нагрузки q

 ,                           (5.26)

,                    (5.27)

а изгибающий момент

.                                (5.28)

Подставим найденные значения (5.25) и (5.28) в уравнение (5.18):

.

Группируя члены, меняя знаки, учитывая выражение (5.19) и счи­тая, что D - постоянная величина, получаем дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в пере­мещениях

.                      (5.29)

Продольная сила Nx влияет на величину перемеще­ния w незначительно, поэтому, пренебрегая ею, вместо формулы (5.23) на основании (5.26) имеем

 ;

вместо формулы (5.25)

,                                                 (5.30)

и вместо формулы (5.28)

 .                                              (5.31)

Тогда приближенное дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в перемещениях

 .                                          (5.32)

В уравнении (5.31) введено обозначение

.

Величина

называется коэффициентом затухания перемещений. Она показы­вает, насколько затухают перемещения по мере удаления от места приложения усилия.

Расчет цилиндрической оболочки, как точный с помощью фор­мулы (5.29), так и приближенный с помощью формулы (5.32), дает близкие результаты. Поэтому в дальнейшем будем пользо­ваться уравнением (5.32). Если проинтегрировать его и получить приближенное уравнение изогнутой срединной поверхности оболочки w = f (x) (без учета влияния продольной силы Nх), то все усилия и перемещения, характеризующие напряженно деформированное состояние обо­лочки, получатся по формуле (5.19), (5.30), (5.31) (5.27) и (5.17).

Угол наклона касательной к изогнутой срединной поверхности

 .

Следует иметь в виду, что знаки в перечисленных формулах предусматривают внешнее радиальное давление q. При внутрен­нем давлении знаки должны быть изменены на обратные.

Интеграл дифференциального уравнения (5.32) складывается из интеграла однородного уравнения и частного решения уравнения (5.32); он может быть представлен с помощью показатель­ных функций в виде

.            (5.33)

или, если заменить показательные функции гиперболическими на основании зависимостей

,

в виде

.    (5.34)

В выражениях (5.33) и (5.34) f(х) - частное решение диф­ференциального уравнения (5.32). В случае радиальной нагрузки интенсивностью q, равномерно распределенной по поверхности оболочки, частное решение f(х), имеет вид

 .                                         (5.35)

При этом

 ,

и уравнение (5.32) при подстановке в него решения (5.35) превра­щается в тождество.

Коэффициенты С1, . . ., С4 и А1, . . ., А4 представляют собой произвольные постоянные, опреде­ляемые из граничных условий. Если усилия и перемещения на одном конце цилиндрической оболочки не влияют на усилия и пере­мещения, возникающие на другом конце, оболочка считается длинной. Если эти факторы влияют друг на друга, то оболочка считается короткой.

Если в дифференциальном уравнении (5.32) принять правую часть равной нулю (при отсутствии радиальной нагрузки q), то оно примет вид

.                                          (5.36)

Уравнение (5.36) представляет собой уравнение балки на упругом основании, в нем принято обозначение

 ,                                                     (5.37)

где k - коэффициент постели, связывающий интенсивность реак­ции основания q с прогибом балки w:

q = -kw.

Вследствие аналогии между уравнениями (5.32) и (5.36) полоску шириной, равной единице, вырезанную из цилиндриче­ского сосуда вдоль образующей, можно рассматривать как балку на упругом основании и использовать все решения, применяемые при расчете такой балки, для расчета цилиндрической оболочки. При этом реакция основания

,

что следует из рис. 93.

Рис. 93

Для полоски шириной, равной единице, центральный угол дуги , а сжимающие силы  .

Поэтому

.

Следовательно,

и коэффициент (5.37), если заменить в его выражении жесткость балки EJ цилиндрической жесткостью D,

представляет собой коэффициент затухания перемещений.

 

5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке

Расчетный случай 1. Длинная оболочка с круглым поперечным сечением нагружена погонными изгибающими мо­ментами M0 и погонными поперечными силами Q0  по торцу при х = 0 (рис. 94).

Рис. 94

 

Интенсивность радиальной нагрузки равна нулю, и поэтому дифференциальное уравнение (5.32) будет однородным:

Интеграл его не содержит частного решения и имеет вид

             (5.38)

Усилия M0 и Q0 вызывают местный изгиб, радиальные переме­щения быстро затухают и одно из условий для определения про­извольных постоянных  C1, . . ., С4 можно записать так: 1) при  . Еще два условия можно записать для нагружен­ного торца: 2) при х = 0 Мx = М0 3) при х = 0 Qx = Q0 . Чет­вертого условия, как увидим, не понадобится.

Действительно, при

поэтому на основании первого условия получим

                        (5.39)

Чтобы это условие соблюдалось, круглая скобка должна быть равна нулю. Синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут, следовательно, условие (5.39) возможно, только если С1 = С2 = 0. Тогда уравнение (5.38) принимает вид

                           (5.40)

и для определения двух постоянных С3 и С4 достаточно двух усло­вий: второго и третьего. Из второго условия найдем [см. фор­мулу (5.26)]

                                 (5.41)

и на основании формулы (5.17)

.                                   (5.42)

Вычислим производные по х от выражения (5.40) для переме­щения w:

        (5.43)

                         (5.44)

        (5.45)

Произвольную постоянную C3 найдем, подставив выражение (5.44) в условие  (5.41). Учитывая,  что  синус  нуля  равен нулю, коси­нус - единице, а е0 = 1, получим

откуда

 .                                              (5.46)

Подставив это выражение С3 в выражение (5.45), найдем из уcловия (5.42)

откуда

 .                                        (5.47)

Подстановка значений (5.46) и (5.47) в формулу (5.40) дает урав­нение изогнутой срединной поверхности оболочки

.                     (5.48)

Подставив выражения (5.46) и (5.47) в формулы (5.43), (5.44) и (5.45), получим

          (5.49)

          (5.50)

          (5.51)

Введем для комбинаций показательной и тригонометрической функций , входящих в уравнения (5.48) - (5.41), следующие обозначения:

 .                                    (5.52)

Тогда радиальное перемещение

,                                    (5.53)

а его производные

Имея выражения для перемещения w и его производных, можно, пользуясь соответствующими формулами, получить все усилия и перемещения в оболочке, в частности:

- угол наклона касательной к оси х

                                                        (5.54)

- изгибающий момент в меридиональном сечении

                                                 (5.55)

- поперечную силу в меридиональном сечении

.                     (5.56)

Для входящих в эти формулы функций (5.22) составлена табл. 4, дающая численные значения безразмерных величин  в зависимости от . При > 0 все четыре функции по абсолютной величине меньше единицы. По мере возрастания х эти функции затухают, что подтверждает местный характер уси­лий и перемещений. При = 0 (а значит, и при х = 0), функ­ции  равны единице, а функция  равна нулю. Поэтому на торце цилиндрической оболочки:

                                                                                                                                                      Таблица 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

+ 1,0000
+ 0,9907
+ 0,9651
+ 0,9267
+ 0,8784
+ 0,8431
+ 0,7628
+ 0,6997
+ 0,6354
+ 0,5712
+ 0,5083
+ 0,2384
+ 0,0667

- 0,0166

- 0,04226

- 0,02583

- 0,00455

+ 1,0000
+ 0,8100
+ 0,6398
+ 0,4888
+ 0,3564
+ 0,2415
+ 0,1431
+ 0,0599

- 0,0093

- 0,0657

- 0,1108

- 0,2068

- 0,1794

- 0,1149

- 0,05632

+ 0,00189

+ 0,00837

+ 1,0000
+ 0,9003
+ 0,8024
+ 0,7077
+ 0,6174
+ 0,5323
+ 0,4530
+ 0,3708
+ 0,3131
+ 0,2527
+ 0,1988
+ 0,0158
- 0,0563

- 0,0658

- 0,04929

- 0,01197

+ 0,00191

+ 0,0000
+ 0,0903
+ 0,1627
+ 0,2189
+ 0,2610
+ 0,2908
+ 0,3099
+ 0,3199
+ 0,3223
+ 0,3185
+ 0,3096
+ 0,2226
+ 0,1231
+ 0,0491
+ 0,00703
- 0,01386

- 0,00646

 

- радиальное перемещение по формуле (5.53)

,                       (5.57)

где знак минус показывает, что при принятых за положительные усилия М0 и Q0 (см. рис. 94) и оси z, направленной по радиусу к центру кривизны, перемещение w происходит от центра (радиус R увеличивается);

- угол наклона касательной по формуле (5.54)

;                                  (5.58)

- изгибающий момент Мх и поперечная сила Qx при х = О по формулам (5.55) и (5.56) получаются равными заданным на кромке величинам М0 и Q0.

Расчетный случай 2. Оболочка нагружена радиаль­ными погонными усилиями Р, распределенными по окружности в сечении х = 0 (рис. 95). Начало координат выбираем в сече­нии, в котором приложена радиальная нагрузка. Для каждой половины оболочки слева и справа от начала координат можно применить решение, полученное для расчетного случая 1.

Рис. 95

Граничные условия для определения произвольных постоян­ных следующие: 1) х = 0,   (касательная в месте прило­жения силы, вследствие симметрии изгиба оболочки, гори­зонтальна); 2) х = 0,  (погонная поперечная сила Q0 в начале координат равна половине радиальной нагрузки). Поло­жительные направления изгибающего момента и поперечной силы показаны на рис. 94.

Пользуясь первым условием и формулой (5.58), находим

откуда

или, учитывая второе условие,

.                                                (5.59)

Подставив значения Q0 из второго условия и М0 из фор­мулы (5.59) в формулу (5.53), получим уравнение радиальных пере­мещений

,                 (5.60)

так как

.

Продифференцировав выражение (5.60), определим в функ­ции  угол наклона касательной , изгибающий момент Мx и поперечную сил Qx

                                         (5.61)

                                    (5.62)

                                      (5.63)

Так как функции  имеют наибольшее значение, равное единице при  и х равных нулю, а функция    при этом равна нулю, то

Эпюры w, Mx и Qx показаны на рис. 96.

Рис. 96

 

Видно, что ординаты эпюр быстро убывают по мере удаления от сече­ния х = 0, в котором приложена радиальная нагрузка. При  можно считать, что усилия и деформации пренебрежимо малы. Поэтому при длине оболочки  можно полагать, что усилия и перемещения на одном конце не влияют на эти факторы на другом конце. Такие оболочки отно­сятся к длинным оболочкам.

Чтобы оценить величину l, под­считаем ее при таких данных:

R = 0,5 м;     h = 1 см;    E = 2 Мн/м2;     = 0,3;

Получим , что составляет примерно треть диа­метра цилиндрической оболочки.

Расчетный случай 3. Оболочка нагружена радиаль­ной нагрузкой, распределенной на части длины цилиндра. Для этого случая может быть использовано решение предыдущего расчетного случая, если считать, что нагрузка , действующая на длине , (рис. 97) представляет собой погонную радиальную нагрузку Р.

Рис. 97

 

Перемещения и усилия в какой-либо точке А от нагрузки  вычисляются по формулам (5.60) - (5.63) и полученное выражение интегрируется по длине загруженного участка. Например, радиальное перемещение в точке А от элементарной нагрузки dP', располо­женной справа от точки А,

,

а от нагрузки, приложенной на полосе шириной b справа от точки А,

 .

Аналогичное выражение можно составить для перемещения от нагрузки, расположенной слева от точки А на полосе шири­ной с. Для перемещения от всей нагрузки, расположенной на полосе шириной l = с + b, получится выражение

 .                 (5.64)

Интегрируя таким же образом выражения для , Мх и Qx, возникающие от погонных радиальных сил , можно получить соответствующие выражения для этих величин от радиальной нагрузки, расположенной на полосе шириной l.

 

5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами

Цилиндрическая оболочка, подкрепленная равноотстоящими кольцами, площадь сечения которых F, подвергается внешнему равномерно распределенному радиальному давлению интенсив­ностью q (рис. 98).

Рис. 98

 

Для нахождения усилий и перемещений в лю­бом сечении следует наложить решение по схеме а (рис. 99), на решение по схеме б (расчетный случай 1).

Задача определения радиальных перемещений w для такой оболочки статически неопределима и для ее решения необходимо составить уравнение совместности деформаций.

1.            Кольца абсолютно жесткие. Силу взаимодействия, возни­кающую между кольцом и оболочкой, обозначим X: погонная поперечная сила по схеме б

          .                                                      (5.65)

Уравнение совместности деформаций

 .                                         (5.66)

Оно представляет собой условие того, что радиальное перемещение оболочки в се­чении  х = 0,  в  котором  расположено  кольцо,  произойти  не  может.

а

б

Рис. 99

 

Перемещение обо­лочки  от нагрузки q, которое было бы при отсут­ствии кольца, уничтожает­ся перемещением оболочки , вызванным по­гонными усилиями Q0 и M0, возникающими в сечении х = 0 вследствие наличия в последнем подкрепляющего кольца. Верхние индексы “о” в формуле (5.56) показывают, что перемещения относятся к оболочке. Перемещение оболочки от нагрузки q по безмоментной теории [см. формулу (5.10)]:

 .

По формуле (5.57) радиальное перемещение оболочки от дей­ствия погонной поперечной силы Q0 и погонного изгибающего момента Мо

 .                                (5.67)

Подставив указанные выражения (5.10) и (5.67) в уравне­ние (5.66), связывающее абсолютные значения перемещений, получим

.

Заменим Q0 и M0 в этом уравнении на неизвестные силы взаимо­действия X. Поперечная сила Q0 связана с Х зависимостью (5.65). Уравнение для замены М0 на Х найдем из условия, что в силу симметрии изгиба оболочки касательная к изогнутой срединной поверхности оболочки в сечении х = 0 должна быть горизонтальна (см. рис. 98):

,

или на основании формулы (5.58)

 .

C учетом формулы (5.65)

 .                                          (5.68)

Подставим в уравнение (5.66) выражения Q0 и М0 (5.65) и (5.68) и полу­чим

 ,

откуда

 .

Так как при помощи выражения для коэффициента затуха­ния перемещений можно написать

,                                                  (5.69)

то окончательное выражение для погонной силы взаимодействия:

 .                                                 (5.70)

Тогда погонная поперечная сила Q0 и изгибающий момент М0 в сечении х = 0 по оси подкрепляющего кольца по формулам (5.65) и (5.68)

;

.

Такие же выражения Q0 и М0 получатся для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной сжимающей равномерно распределенной нагрузкой у защемленной кромки. Условия дефор­мации у такой кромки те же, что и в случае абсолютно жесткого подкрепляющего кольца.

2.            Кольца могут деформироваться. В этом случае уравнение совместности деформаций следует записать так:

          .                                    (5.71)

Оно отличается от уравнения (5.66), так как радиальное перемещение оболочки, представленное левой частью уравнения, уже неравно нулю. Разность абсолютных величин перемещений обо­лочки, вызванных нагрузкой q и погонными усилиями Q0 и М0, должна быть равна обжатию кольца , вызванному погонной силой взаимодействия Х (рис. 100).

Радиальное перемещение точек кольца  от погонной на­грузки Х

 .

Рис. 100

 

Сжимающее напряжение в кольце (рис. 101)

,

поэтому

 ,

где F - площадь поперечного сечения кольца.

Выражения для Q0 и М0 через силу взаимодействия Х остаются такими же [см. формулы (5.65) и (5.68)], так как условия симметрии сохраняются.

Рис. 101

 

Если учесть значения всех величин, входящих в уравнение (5.71) совместности деформаций, получится выражение

 .                     (5.72)

Заменив  его выражением (5.69), произведя сокращение на  и решив уравнение (5.70) относительно X, получим

.                                             (5.73)

Представим решение (5.73) в виде произведения решения (5.70) для абсолютно жесткого кольца на коэффициент , учитывающий податливость кольца:

.

Коэффициент

учитывает уменьшение погонной силы X, получающееся при деформации подкрепляющего кольца. Оно тем ближе к единице, чем меньше толщина оболочки h и чем больше площадь сечения кольца F.

Зная X, по формулам (5.65) и (5.68) находим поперечную силу и изги­бающий момент Q0 и M0 в сечении, в котором расположено кольцо. Имея величины Q0 и М0, можно найти возникающие от них ра­диальные перемещения и усилия Qx и Мx на любом расстоянии х от кольца, пользуясь формулами (5.53), (5.55) и (5.56).

 

5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек

Уравнение совместности деформации. При действии на обо­лочку равномерно распределенного давления в местах нарушения непрерывности меридионального сечения возникают местные уси­лия - изгибающие моменты и поперечные силы.  Например,  обо­лочка,  показанная  на  рис. 102 состоящая из

                                                       q

Рис. 102

 

цилиндрической части Ц и торцевой части Т в виде шарового сегмента, не имеет общей касательной в месте сопряжения этих частей. Поэтому по окружности СС их соприкосновения возникнут погонные уси­лия Q0 и М0 . Объясняется это тем, что линейные перемещения w и углы поворота  касательных к изогнутой срединной поверхно­сти, возникающие под действием равномерно распределенной нагрузки q, в общем случае различны для цилиндрической и тор­цевой частей оболочки. Для цилиндрической радиальные перемещения обычно больше, чем для торцевой, а угловые равны нулю. У торцевой части могут возникнуть угловые перемещения по окружности СС. Поэтому,   если   мысленно   отделить  торцевую  часть  от  цилиндрической  по

Рис. 103

 

сечению С - С (рис. 103), в сечении возникнут линейный разрыв

                                         (5.74)

и угловой разрыв

 ,                                           (5.75)

где  и  - радиальные перемещения цилиндрической и торцовой частей от нагрузки q;

 - угловое перемещение торцевой части от нагрузки q.

Для уничтожения этих разрывов по сечению С - С необходимо приложить погонные поперечные силы Q0 и изгибающие мо­менты М0 . Эти усилия вызовут в сечении следующие смещения: погонная поперечная сила Q0 - линейные смещения  и  и угловые смещения  и  погонный изгибаю­щий момент M0 - линейные смещения  и  и угловые смещения  и . В общем случае эти смещения различны для торцевой и цилиндрической частей. Алгебраическая сумма линейных смещений должна равняться линейному разрыву , а алгебраическая сумма угловых смещений - угловому разрыву .

Таким образом, можно записать уравнения совместности дефор­маций    (рис. 104)

                        (5.76)

 .                        (5.77)

а                                                                                       б

Рис. 104

 

Эти уравнения показывают, что возникающие в сечении С - С в непрерывной оболочке погонные усилия Q0 и М0 уничтожают линейный и угловой разрывы  и  и заставляют торцы цилиндри­ческой и торцевой оболочек совпадать в переломе.

Приведенные рассуждения и уравнения (5.76) и (5.77) справедливы для сопряжения двух оболочек любого очертания и, в частности, для сопряжения цилиндрической оболочки с торце­вой частью любого осесимметричного очертания - шарового, конического или плоского.

Сопряжение цилиндрической оболочки с полусферическим дни­щем. Определим усилия Q0 и М0 для наиболее простого сопря­жения - цилиндрической оболочки с торцом в виде полусферы. В случае одинаковой толщины h цилиндрической и сферической частей можно считать, что по сечению С - С общая касательная для этих частей поворачивается в их сопряжении под действием усилий Q0 на одинаковый угол и взаимный угол поворота отсут­ствует. Значит, в сечении С - С не возникает погонного изгибаю­щего момента, т. е. М0 = 0.

Остается только погонная поперечная сила Q0, которую можно найти из решения геометрического уравнения (5.74), положив в нем члены, зависящие от М0, равными нулю. Подставив в урав­нение (5.74) абсолютные значения по формуле (5.10) и , найдем

 .                       (5.78)

Приняв во внимание, что изгиб около сечения С - С местный и достигает значительной величины как в цилиндрической, так и в сферической оболочке лишь вблизи от места сопряжения, условно заменим сферическую оболочку цилиндрической. В таком случае, подставив в уравнение (5.76) абсолютные значения  по формуле (5.57)  (расчетный случай 1) при M0 = 0 и  по формуле (5.78), найдем

 ,

откуда

 ,                                                (5.79)

или, подставив в формулу (5.79) значение  по формуле (5.69)

Таким образом, в случае сопряжения цилиндрической и полу­сферической оболочек одинаковой толщины, нагруженных ра­диальной сжимающей нагрузкой интенсивностью q, можно при­нять

 

Сопряжение цилиндрической оболочки с плоским днищем. Оболочка нагружена внутренним радиальным давлением q. Пло­ское днище рассматривается как круглая пластина с радиусом R, нагруженная равномерным поперечным давлением q и погонным моментом М0 по кромке. Ось х направлена по радиусу пластины.

Уравнение (5.60) углов поворота пластины

 ,                                  (5.80)

где D1 - цилиндрическая жесткость пластины.

В центре пластины при х = 0, угол наклона касательной пло­скости равен нулю, поэтому первое граничное условие  = 0 при х = 0, откуда С2 = 0.

Выражение для радиального погонного изгибающего мо­мента

 .

На контуре пластины

 .

Этот погонный момент должен равняться и быть противополож­ным по знаку погонному моменту M0, действующему по кромке оболочки, поэтому второе граничное условие (Mr)x=R = M0, откуда

 .                               (5.81)

Подстановка значения С2 = 0 и C1 по формуле (5.81) в уравне­ние (5.80) даст следующее значение для угла поворота на контуре пластины:

 .

Радиальный изгибающий момент в произвольном сечении пластины на расстоянии х от центра

 .

Если считать радиальное перемещение пластины пренебрежимо малым в уравнении совместности (5.76), можно принять  . Тогда оно примет вид

 .

Учитывая, что

 ,

полу чим

      

или, после подстановки радиальных перемещений wЦ ,

,                               (5.82)

где D цилиндрическая жесткость оболочки.

Уравнение (5.77) примет вид:

 .                         (5.83)

Уравнения (5.82) и (5.83) содержат две неизвестные величины: М0 и Q0. Решая систему, находим погонную поперечную силу и изгибающий момент в сопряжении оболочки с плоским торцом

 ;                                 (5.84)

 .                                (5.85)

Пользуясь выражениями радиальных смещений w и углов поворота  сечений оболочек и уравнениями (5.76) и (5.77) совместности деформаций, можно аналогичным путем вывести формулы для погонных поперечных сил Q0 и погонных изгибающих моментов М0 , возникающих в сопряжении цилиндрической оболочки с торцевой, имеющей форму полусферы, шарового сегмента, конуса или плоской пластины, при различных толщинах оболочки в цилиндрической и торцевой частях. Зная Q0 и М0, можно вычислить wx, Qx и Мх в любой точке цилиндрической части, пользуясь формулами (5.33), (5.55), (5.56).

 

5.8 Определение перемещений и усилий в короткой цилиндрической оболочке

Выше (расчетный случай 2) указывалось, что когда расстоя­ние l между торцами или подкрепляющими кольцами цилиндри­ческой оболочки меньше отношения , усилия и перемещения в оболочке следует определять, учитывая ее ограниченную длину. В этом случае удобнее пользоваться для интеграла дифференциаль­ного уравнения равновесия элемента (5.32) формулой (5.34), а не (5.33), а начало координат располагать в середине длины оболочки.

Кроме того, для определения произвольных постоянных инте­грирования должны быть составлены другие граничные условия. Например, первое условие для расчетного случая 1, составленное в предположении равенства нулю радиаль­ного перемещения w при абсциссе х, стремящейся к бесконечности, не может быть использован для короткой оболочки, но имеется возможность использовать граничные условия на обоих торцах оболочки.

Для примера составим урав­нение изогнутой срединной поверхности для нагрузки Q0 и M0 (см. расчетный случай 1), приложенной к короткой обо­лочке (рис. 105). Так как интен­сивность нагрузки q = 0, урав­нение изогнутой срединной по­верхности в соответ­ствии с формулой (5.34)

Рис. 105

 

Постоянные A определяем из следующих граничных условий:

Так как каждое из последних двух условий объединяет в себе два условия (плюс или минус ), число уравнений, необходимых для определения постоянных А, достаточно. Усилия и перемещения в коротких оболочках удобно выражать с помощью тригонометри­ческих и гиперболических функций от .

 

5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке

1.            Одинаковое постоянное изменение температуры во всех направлениях. Если торцы оболочки свободны и деформация ее как в радиальном направлении, так и вдоль образующей не стес­нена, напряжения при равномерном изменении температуры не возникают. При любом способе симметричного закрепления торов (рис. 106) в торцевом сечении возникают те или иные реактив­ные погонные усилия: изгибающие моменты (M0)t, продольные (N0)t и поперечные (Q0)t силы.

а

б

Рис. 106

Для нахождения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих при изменении температуры на , приравняем радиальные температурные перемещения, равные абсолютному изменению дли­ны радиуса,

радиальным пере­мещеням wx=0 в сечении х = 0, вызванным погонными момен­тами (M0)t и поперечными силами (Q0)t [см. формулу (5.57)]. Получим уравнение

 ,                              (5.86)

содержащее два неизвестных:  .

Второе уравнение, содер­жащее эти два неизвестных, получится из условия равен­ства нулю угла  наклона касательной к оси х в защем­лении (рис. 106,а) или в се­редине пролета (рис. 106,б). Для защемленной оболочки (рис. 106,a) это условие запишется по формуле (5.58)

 ,                        (5.87)

для опертой оболочки (рис. 106,б) - по формуле (5.54)

 .              (5.88)

Решая совместно уравнения (5.86) и (5.87) или (5.86) и (5.88), можно найти усилия (M0)t и (Q0)t, а затем w, Qx и Мx в любом сечении с по­мощью формул (5.53), (5.55) и (5.56).

Погонная продольная сила (Nx)t, возникающая при закрепле­нии торцов оболочки, определяется из условия совместности дефор­мации вдоль оси х

откуда

.

2.            Постоянная разность температур в радиальном направле­нии. Обозначим через t1 температуру на внутренней поверхности оболочки и через t2 - на наружной. В сечениях, удаленных от закрепленных торцов, или в случае, если торцы свободны, местного изгиба нет. Предположим, что температура и вызванные ею отно­сительные линейные деформации изменяются по толщине h обо­лочки по линейному закону (рис. 107). Примем t2 > t1 и обозначим

        .

Относительная температурная де­формация наружного волокна обо­лочки

 .

Рис. 107

 

С другой стороны, эта же деформа­ция, на основании гипотезы пло­ских сечений

 ,

где  - радиус образующих цилин­дра при изгибе.

Приравняв эти выражения друг другу, получим кривизну

 .                                             (5.89)

В то же время искривление образующей цилиндрической обо­лочки под действием изгибающего погонного момента Мх харак­теризуется кривизной [см. формулу (5.26)]

 .                                    (5.90)

Если торец защемлен, искривления образующей не происходит, погонный изгибающий момент Мх находим, приравнивая выра­жения (5.89) и (5.90):

Наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах

 .            (5.91)

В случае t2 > t1 знак плюс соответствует наружной поверхно­сти оболочки, знак минус - внутренней. Около закрепленных торцов возникает местный изгиб, и на напряжение по формуле (5.91) алгебраически накладываются напряжения, вычисленные по значению,  из условия удов­летворения граничным условиям.

3. Постоянная разность температур в направлении оси х. Изменение температуры вдоль оси х вызывает изгиб оболочки, обусловленный различными радиальными перемещениями попереч­ных сечений. Он может описываться дифференциальным урав­нением, аналогичным уравнению(5.32), если подставить в него переменную интенсивность q, вызывающую такие же деформации, как и переменная температура.

Примем закон изменения температуры по длине оболочки

Относительное окружное напряжение по закону Гука

а погонная продольная сила

.

С другой стороны, Nу = —qR (см. рис. 101), откуда интенсив­ность  радиальной нагрузки, эквивалентной температурному воздействию,

.

Подстановка этого значения  в уравнение (5.32) дает

                                   (5.92)

и задача сводится к интегрированию дифференциального урав­нения (5.92).

 

5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности

Наибольшие напряжения в цилиндрической оболочке склады­ваются алгебраически из напряжений мембранных, напряжений от изгиба моментами Мх и My и температурных напряжений , если они есть. Пренебрегая напряжениями = ± q малыми по сравнению с напряжениями и  (см. рис. 92), элемент оболочки, выделенный двумя меридиональными и двумя экваториальными сечениями, можно считать испытывающим плоское деформированное состояние.

Так как касательные напряжения

то нормальные напряжения и  представляют собой главные напряжения. Наибольшее нормальное напряжение, действующее по поперечному сечению цилиндра и направленное вдоль образую­щей (см. рис. 92), возникает на одной из поверхностей оболочки и вычисляется как алгебраическая сумма

                        (5.93)

Знаки плюс или минус в выражении (5.93) зависят от направ­ления нагрузки q, характера изменения температуры и располо­жения точки, в которой определяется напряжение на внутренней или наружной поверхности оболочки.

Наибольшее нормальное напряжение, действующее по радиаль­ному сечению и направленное по касательной к окружности,

            (5.94)

В уравнении (5.94) последний член представляет собой напря­жение, вызванное обжатием оболочки вследствие радиального перемещения wx,

Алгебраически большее из двух отрицательных напряжений, вычисленных по формулам (5.93) и (5.94), в случае наружного давления будет главным напряжением , меньшее - главным напряжением . Главное напряжение  равно нулю. В случае внутреннего давления главное напряжение s1 равно алгебраически большему из двух положительных напряже­ний,  равно меньшему, a  равно нулю. Поэтому в условии прочности по третьей теории прочности

одно из слагаемых в левой части при любом нагружении равно нулю и условие прочности будет

.

По четвертой теории прочности условие прочности при внутрен­нем давлении

 .

Найдем, например, главные напряжения и составим условие прочности для цилиндрической оболочки, подвергнутой наруж­ному давлению q, считая температурные воздействия отсутствую­щими.

В сопряжении цилиндра с торцом мембранные напряжения сжимающие, напряжения от изгиба у торца растягивающие на наружной поверхности оболочки и сжимающие на внутренней, напряжения от обжатия сжимающие. Поэтому на внутренней поверхности

а на наружной поверхности, с учетом того, что местные напряже­ния больше мембранных и возникающих от обжатия,

Так как на внутренней поверхности абсолютная величина нормальных напряжений больше, чем на наружной, условие прочности примет вид

 .

Местные напряжения от краевого эффекта не всегда следует считать расчетными. Для пластических материалов концентрация местных напряжений, превышающих допускаемые, захватываю­щая небольшой участок конструкции, при статическом постоян­ном действии нагрузки иногда допускается. Если же такое перенапряжение происходит периодически, например при многократном повышении и спаде давления, оно может вызвать возникновение усталостной тре­щины именно в зоне концентрации и не может быть допущено. Расчетными считаются также местные напряжения и для оболочек, выполненных из хрупких материалов.

В ряде случаев при наружном давлении размеры оболочки лимитируются не рассмотренными условиями прочности, а усло­виями устойчивости. Оболочки нередко должны допол­нительно удовлетворять требованиям стойкости в коррозионно-агрессивных средах и при других химических воздействиях. Для оболочек, подверженных действию высокой температуры, допускаемое напряжение следует назначать с учетом возможной ползучести материала.

 

5.11 Примеры

Пример 5.1. Тонкостенный сосуд, выполненный в виде полусферы, свободно закреплен по диаметральной окружности и частично нагружен, как показано на рис. 108,а, жидкостью с объемным весом = 0,01 Мн/м3. Пренебрегая собственным весом сосуда, построить эпюры изменения главных напря­жений  и  в его стенке.

Решение.

Рассмотрим отдельно участок сосуда, испытывающий давление жидкости, и участок, не испытывающий этого давления.

1. 45 <   < 90° (участок ВА).

Из условия равновесия отсеченного от сосуда сегмента, показанного на  рис. 108,б, по формуле (5.4) меридиональное погонное усилие

 .

Вес жидкости G равен объему шарового сегмента высотой у, умноженному на объем­ный вес:

 .                   (5.95)

Выразим радиус R через у и а. Из прямоугольного треугольника

откуда

 .

а

б

в

г

Рис. 108

 

Подставим это выражение в формулу (5.95):

 .

Учитывая, что , получим

 .

Выразим через R и  интенсивность нагрузки  q:

.

Подстановка найденных выражений для G и q в формулу (5.4) даст погонное меридиональное усилие

.                   (5.96)

Общий множитель, если R1 = R2 = R = 3 м,

.

Окружное погонное усилие NТ находим из уравнения Лапласа (5.3):

или, подставляя вместо q его выражение,

.                             (5.97)

                                                                                                                                                                                                     Таблица 5

,

град

sin

cos

(1-cos )3

cos3

0,25sin

(1-sin )3

12cos2

Nm

R2

Nm×103,

Мн/м

Формула

0

-

1,000

-

1,000

-

-

-

3,54

(5.98)

30

-

0,870

-

0,755

-

-

-

4,08

(5.98)

45

0,705

0,705

0,0256

0,496

0,176

0,0040

0,080

7,20

(5.98); (5.96)

60

0,870

0,500

0,0022

0,250

0,217

0,0007

0,118

10,62

(5.96)

90

1,000

0

0

0

0,250

0

0,150

13,50

(5.96)

 

2.            0 <   < 450 (участок СВ).

Высота жидкости в сосуде

Вес G жидкости в сосуде

.

                                                                                                                                                                                         Таблица 6

,

град

Nm×103,

Мн/м

sin  - 0,707

R2(sin  -

- 0,707) × 103,

Мн/м

NT×103,

Мн/м

Формула

0

3,54

-

-

-3,54

(5.99)

30

4,68

-

-

-4,68

(5.99)

45

7,20

0

0

-7,20

(5.99);

(5.97)

60

10,62

0,165

14,85

+4,23

(5.97)

90

13,50

0,295

26,55

+13,05

(5.97)

 

Погонное меридиональное усилие

.                  (5.98)

Погонное окружное усилие NT найдем из уравнения Лапласа:

 .                                (5.99)

Оно равно по величине и противоположно по знаку меридианальному.

Результаты подсчета погоных усилий представлены в табл. 5 и 6. По данным этих таблиц построены эпюры усилий Nm и NT (рис. 108,в, г).

Пример 5.2. Цилиндрический сталь­ной корпус, имеющий подкрепляющие кольца и торцы (рис. 109), подвержен внутреннему давлению q = 2 Мн/м2. Построить эпюры мери­диональных изгибающих моментов Мх вблизи от подкрепляющих колец в двух предполо­жениях: 1) кольца абсолютно жесткие; 2) кольца упругие.  Модуль упругости Е= 2× 105 Мн/м2;   = 0,3.

Рис. 109

 

Решение.

1. Вычисление вспомогательных величин.

Цилиндрическая жесткость

.

Коэффициент затухания

 .

Длина оболочки, при которой ее можно считать длинной,

Так как l = 0,6 > 0,266 м, можно не учитывать совместное влияния двух подкрепляющих колец на расположенную между ними оболочку и вести расчет по формулам для длинной оболочки. В формулы, выведенные для цилин­дрической оболочки, подверженной наружной нагрузке интенсивностью q, нужно интенсивность подставлять со знаком минус.

2. Определим изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца абсолютно жесткие.

Сила  взаимодействия между кольцами и оболочкой по формуле (5.70)

.

Погонная поперечная сила Q на оси кольца

.

Погонный изгибающий момент М0 на оси кольца

.

Ординаты эпюры погонных изгибающих моментов

или после упрощения

.

Функции  и  берутся из табл. 4. В табл. 7 представлены результаты вычислений ординат Мх. По данным таблицы построена эпюра на рис. 110.

 

                                                                                                                                                                       Таблица 7

точки

х, см

 

1,52,

Мн

3,05,

Мн

Мх,

Мн

0

0

0

1,0000

0

1,520

0

1,520

1

0,2

0,85

0,9651

0,1627

1,464

0,495

0,966

2

0,4

1,65

0,8784

0,2610

1,332

0,795

0,537

3

0,6

2,54

0,7628

0,3099

1,160

0,945

0,215

4

0,8

3,40

0,6354

0,3223

0,965

0,982

-0,017

5

1,0

4,25

0,5083

0,3095

0,775

0,945

-0,170

6

1,5

6,34

0,2384

0,2226

0,363

0,680

-0,317

7

2,0

8,50

0,0667

0,1230

0,101

0,375

-0,274

8

2,5

10,6

-0,0166

0,0492

-0,025

0,160

-0,175

9

3,0

12,7

-0,0423

0,0071

-0,064

0,022

-0,086

10

4,0

16,9

-0,0258

-0,0139

-0,039

-0,042

+0,003

11

5,0

21,2

-0,0046

-0,0065

-0,007

-0,0020

+0,013

 

Положение нулевых точек эпюры изгибающих моментов (см. рис. 110) опре­деляется расстоянием

После второй нулевой точки, на расстоянии 3,33 + 13,33 = 16,66 см от оси кольца, изгибающие моменты уменьшаются до величины

 

Рис. 110

 

и вызывают напряжение

Это напряжение настолько мало, что его можно не учитывать.

3.            Определяем изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца упругие. Моменты Мх пропорциональны краевому изгибающему моменту М0 и краевой поперечной силе Q0, которые, в свою очередь, пропорциональны силе взаимодействия Х. Поэтому ординаты эпюры Мх получаются путем умножения ординат эпюры Mх, вычисленных в табл. 7, на коэффициент

      

Таким образом, при учете податливости колец погонные изгибающие моменты составляют лишь 43% от моментов, вычисленных в предположении жестких ко­лец. Соответствующая эпюра изгибающих моментов Мх построена на рис. 110 штриховой линией.

Пример 5.3  Для оболочки, рассмотренной в предыдущем примере,  построить эпюры погонных изгибающих моментов Мх и погонных поперечных сил Qx в месте примыкания оболочки к плоскому торцу, возника­ющих от внутреннего давления q = 50 н/см2, вычислить главные напряжения  и  и составить условие прочности по третьей теории прочности. Допускаемое напряжение = 40 000 н/см2.

Решение.

По табличным формулам находим значения погонных краевых изгибающих моментов М0 и поперечных сил Q0 для случая примыкания цилин­дрической оболочки к плоскому торцу, приняв следующие исходные данные:

- геометрические размеры

h1 = h2 = h = 1 cм;             R = 30 см;

- упругие постоянные Е = 2  н/см2;    = 0,3;

D1 = D2 = D = 1,83 нсм;

- интенсивность радиальной нагрузки

q = 50 н/cм2;

- коэффициент затухания перемещений

0,236  1/см.

Погонный изгибающий момент в сечении оболочки, примыкающем к торцу, вычисляется по формуле(5.85):

Погонная поперечная сила в этом сечении вычисляется по формуле (5.84)

Зная М0 и Q0, можно вычислить погонные изгибающие моменты Мх и погонные поперечные силы Qх вдоль обра­зующей х:

Функции ,  и  берутся из табл. 4. В табл. 7 представлены результаты вычислений ординат изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qх. По данным таблицы построены эпюры на рис. 111. Положение нулевых точек эпюры Qх опре­деляется расстояниями (х0)1 = 1,25 см и (х0)2 = 14,8 см. В этих сечениях изги­бающие моменты достигают максимума.

 

                                                                                                                                                                                                        Таблица 8

точки

х, см

5170

1258

5325

2440

Мх,

нсм/см

Qx,

н/см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

0

0

1,000

0

1,000

5170

1258

0

0

5170

1258

1

0,2

0,85

0,9653

0,1627

0,6398

5000

802

870

480

5870

-322

2

0,4

1,65

0,8784

0,2610

0,3564

4537

448

1390

770

5927

322

3

0,6

2,54

0,7628

0,3099

0,1431

3940

180

1650

912

5590

732

4

0,8

3,40

0,6354

0,3223

0,0093

3284

-12

1720

952

5004

964

5

1,0

4,25

0,5083

0,3096

0,1108

2625

-136

1650

915

4275

1051

6

1,5

6,34

0,2384

0,2226

-0,2068

1237

-260

1188

657

2425

917

7

2,0

8,5

0,0667

0,1230

-0,1794

345

-226

655

362

1000

588

8

2,5

10,6

-0,0166

0,0492

-0,1149

-86

-144

262

145

176

289

9

3,0

12,7

-0,0423

0,0071

--0,0563

-218

-70

37

21

-181

91

10

4,0

16,9

-0,0258

-0,0139

0,0019

-134

2

-74

-41

-208

-43

11

5,0

21,2

-0,0046

-0,0065

0,0084

-24

10

-34

-19

-58

-29

 

Рис. 111

 

Изгибающий момент в плоском днище вычисляется как для круглой пла­стины, нагруженной по контуру погонными радиальными моментами. Эти мо­менты постоянны по диаметру торца и вызывают шаровой изгиб. Кроме того, на торец действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Она вызывает изгибающие моменты Mr, показанные на рис. 112.

В центре днища от нагрузки q

Эпюру радиальных изгибающих моментов строим по принципу независи­мости действия сил как суммарную эпюру моментов, возникающих под действием моментов М0 и нагрузки q.

 

Рис. 112

 

Наиболее напряженная точка нахо­дится на расстоянии (х0)1=1,25 см от места примыкания цилиндрической обо­лочки к торцу. В этом месте действуют погонные усилия:

My = mMx = 0,3 × 5950 = 1780 (н× см)/см;

Для определения четвертого члена в формуле (5.94) для экваториального (окружного) нормального напряжения  необходимо вычислить радиальное пере­мещение wx в сечении, в котором про­изводится вычисление напряжений:

Наибольшие главные нормальные напряжения:

- меридиональное, действующее вдоль образующей, по формуле (5.93)

- экваториальное, действующее вдоль окружности, поперечного сечения, по формуле (5.94)

Условие прочности по третьей теории прочности при :

Пример 5.4. Для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 30 н/см и защем­ленной концами (рис. 113,а), вычислить ординаты перемещений wx по радиусу и построить изогнутую срединную поверхность. Материал – титан. Модуль упру­гости Е= 1,1; коэффициент Пуассона  = 0,3.

Решение.

Цилиндрическая жесткость

Коэффициент затухания перемещений

Отношение

следовательно, оболочка длинная.

Перемещения w находим наложением решений для незащемленной обо­лочки, нагруженной радиальным давлением q (рис. 113,в), и для оболочки, на­груженной усилиями М0 и Q0 на торцах (рис. 113,б).

а

б

 

 

 

в

Рис. 113

 

Условие совместности деформации

Условие защемления - равенство нулю угла наклона касательной к оболочке в защемлении:

Эти два условия такие же, как для оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими кольцами. Поэтому выражения для изгибающего момента М0 и поперечной силы Q0 в защемлении те же, что и для подкрепленной оболочки:

Зная эти усилия, перемещения в любой точке можно вычислить по формуле

Первый член в этой формуле вычисляется согласно (5.48), а второй

Характер изогнутой средней поверхности показан на рис. 113.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов