Лекции по теории упругости

 

Главная

Лекция 4. Пластины, мембраны

 

4.1 Основные определения и допущения

Пластиной называется тело призматической или цилиндриче­ской формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямо­угольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Рис. 39

 

Примером круглой пластины может служить днище Д цилин­дрического сосуда - бака, котла, трубы (рис. 40,а) - или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 40,б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок с сечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 40,в), а при­мером пластины, упруго защемленной тремя кромками, - стенка прямоугольного резервуара (рис. 40,г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной пло­скостью. После изгиба срединная плоскость превращается в сре­динную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендику­лярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в средин­ной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность состав­ляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а сово­купность составляющих, перпендикулярных к срединной пло­скости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

 

а

б

в

г

Рис. 40

 

При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А1D1). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соот­ветствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения  или , вызы­ваемые поворотом нормали вслед­ствие искривления срединной плос­кости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, парал­лельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять

                                                        (4.1)

Это допущение называется допу­щением об отсутствии поперечного давления.

 

Рис. 41

 

Для относительных деформаций можно использовать формулы

 .                                              (4.2)

При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогну­той пластины - отсутствующими. Перечисленные допущения приме­нимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распре­деления напряжений и способом расчета:

1.            Плиты - толстые пластины, имеющие отношение

    

У этих пластин (рис. 42) высота  настолько велика по сравне­нию с пролетом и они настолько жестки, что касательные напряже­ния , возникающие по сечениям С - С от перерезывания под дей­ствием нагрузки, имеют тот же поря­док, что и нормальные напряжения , вызванные изгибом. Плоскость, сво­бодная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отноше­нию к срединной плоскости, а нор­мальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Рис. 42

 

Допущения, перечисленные выше,  при расчете плит непри­менимы.

2.            Пластины средней толщины, имеющие отношение

      

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пла­стина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных на­пряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

Рис. 43

 

3.            Мембраны - пластины, имеющие отношение

     

Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто за­крепляют на контуре (рис. 44).

Рис. 44

 

При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h.

Мембраны широко применяются в различных акустических ап­паратах и гидравлических устройствах.

В зависимости от характера кон­струкции любая  кромка  пластины  (рис. 45)

Рис. 45

 

может быть защемлена (кромка 1), свободно оперта (кром­ка 2) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пла­стины, промежуточное между сво­бодной кромкой и защемлением, ко­торое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота  на кромке обратно пропорционален жесткости эле­мента 2, к которому она прикреплена.

Рис. 46

 

Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими клас­сами заключается в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения про­дольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распре­деленные по толщине напряжения, могут появиться при попереч­ном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пла­стины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах из­гиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем боль­ше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от задан­ной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на кон­туре пластины меньше, чем для опертой.

 

4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах

В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),

Рис. 47

 

по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сече­ний, действуют погонные изги­бающие моменты Мх и Mу, по­гонные поперечные силы Qx и Qy и погонные крутящие моменты Нx и Нy (рис. 48).

Возникновение   крутящих моментов можно объяснить так. Если рассечь опертую по контуру пластину на ряд полос 1, 2, 3, .... (рис. 49,а), каждая из которых представляет собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точ­ке А пластины, вызовет прогиб только той балки 2, к ко­торой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы, полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р' (рис. 49,б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластины эти полосы испытывают поддерживающее усилие Р". Усилия Р' и Р", действующие на каждую из полос 1 и 3, можно привести к равнодействующей R, приложенной в центре тяжести сечения полосы, и к паре Н, скручивающей полосу (рис. 49,б).

Рис. 48

 

а

б                              в

Рис. 49

 

Задачу решаем в перемеще­ниях. Из первого допущения теории пластин о возможно­сти пренебречь относительными сдвигами  и ,

                            (4.3)

На основании второго допу­щения w не зависит от z. Инте­грируя равенства (4.3) по z, на­ходим

или, так как при  z = 0  у нас  u = v = 0,

                                          (4.4)

С учетом зависимостей (4.4) относительные деформации выразятся через перемещение w следующим образом:

.                             (4.5)

Так как на основании второго допущения напряжением  можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая  = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем

                                    (4.6)

,                                    (4.7)

 .                                           (4.8)

Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы услови­лись считать их малыми, но производные этих напряжений, вхо­дящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения  изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и  интегрируя по z, получаем

 .

Функции f1 и f2 находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при  

Тогда

 .

Из третьего уравнения (1.2) следует

 .         (4.9)

Нагрузка интенсивностью q (x, у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение  - сжимающее. Поэтому для определения функции f3 (x, у) можем написать гра­ничные условия:

                    (4.10)

Из первого условия найдем функцию f3 (x,y) и, подставив ее в (4.9), получим

 .

Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим диф­ференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пла­стины

,                               (4.11)

где

                                              (4.12)

 - цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформиро­ваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет со­бой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D >EJ.

Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через опера­тор Лапласа:

Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учиты­вает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости хz, третий член - в плоскости yz, а второй — прогиб, зависящий от кручения.

Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой средин­ной поверхности пластины

Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение  из формулы (4.6):

 .

Рис. 50

 

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для погонного изгибающего момента получим

 .                                     (4.13)

Аналогично из условия  найдем погонный изгибающий момент

 .                                     (4.14)

При действии одних только по­гонных изгибающих моментов Мх и Mу (рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

Рис. 51

 

направлениях. Срединная плоскость ее превращается в изогнутую поверхность с главными радиусами кривизны  (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и  (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие глав­ные кривизны срединной поверхности

 .                              (4.15)

Составим, учитывая (4.8), условия равенства крутящих моментов сумме моментов усилий, возникающих от напряжений , и найдем погонные крутящие моменты:

 .                        (4.16)

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства проекций попереч­ных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений (рис. 52).

Рис. 52

 

Найдем погонные поперечные силы:

 .                        (4.17)

 

4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины

Цилиндрическим изгибом называется изгиб пластины по ци­линдрической поверхности (рис. 53). Чтобы получить такой изгиб, закрепление двух параллельных кромок пластины должно обеспечивать неподвижность пластины, а две другие кромки должны быть свобод­ны. Нагрузка должна иметь постоянную интенсивность в направлении, параллель­ном закрепленным кромкам (на рис. 53 парал­лельно оси у), а в перпенди­кулярном направлении может быть произвольной.

Рис. 53

 

На рис. 53 представлен цилиндрический поперечный изгиб под действием распре­деленной нагрузки. Интенсив­ность нагрузки и реакция вдоль линии, параллельной закреплен­ной кромке (оси у), постоянны, а кромки, параллельные оси х, сво­бодны. На рис. 54 показан цилиндрический чистый изгиб, который происходит под действием моментов М1 и  постоянной интен­сивности, распределенных по кромкам, параллельным оси у.

Рис. 54

 

Для определения усилий, возникающих при чистом цилинд­рическом изгибе, рассматривается пластина, нагруженная по кромкам моментами М1 и  (рис. 54). Размерность изгибающего момента М1 приходящегося на единицу длины кром­ки, т. е. погонного изгибающего момента,

Пластину нужно представить себе рассеченной на ряд полос шириной, равной единице, сечениями, параллельными оси х (рис. 55). Каждую из полос можно рассматривать как балку, опертую своими концами и нагруженную по концам моментами М. Отличие таких балок от полос пластины заключается в том, что у первых поперечные деформации их сечений ничем не стеснены, тогда как поперечной деформации полосы пластины (рис. 56) пре­пятствуют соседние полосы, которые тоже стремятся деформиро­ваться в поперечном направлении.  Для полос, вырезанных на  некотором  расстоянии  от  кромок  а,

Рис. 55

 

можно считать, что относитель­ная линейная деформация eу равна нулю, т. е. состояние пла­стины - плоское деформированное. При пользовании формулами подразд. 1.10 следует в соответствии с системой координат, принятой для пластин, заменить в них коорди­нату z на у, а координату у - на z.

Рис. 56

 

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности и выражения для изгибающих мо­ментов могут быть получены из со­ответствующих выражений подразд. 4.2, если учесть, что при цилиндриче­ском изгибе прогиб w не зависит от координат у и z. Тогда уравне­ние (4.11) примет вид

.                                              (4.18)

Проинтегрировав выражение (4.18) дважды, получим

 .                                         (4.19)

Уравнение (4.13) для погонного изгибающего момента при­мет вид

 .                                             (4.20)

Нормальное напряжение, параллельное оси х,

 ,                                              (4.21)

где момент инерции полосы прямоугольного сечения шириной, равной единице.

Так как на некотором расстоянии от свободных кромок пла­стина испытывает плоскую деформацию,

.

Напряжение

 .                                          (4.22)

Выражение (4.21) для  ничем не отличается от выраже­ния для нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки при ее чистом изгибе. Отличие цилиндрического изгиба пластины от изгиба балки заключается в том, что в пла­стине, кроме напряжения , возникает еще напряжение . Прогибы w пластины при цилиндрическом изгибе вычисляются путем двукратного по­следовательного интегрирования диф­ференциального уравнения (4.19). Они оказываются меньше, чем для балки-полосы, так как цилиндриче­ская жесткость D, стоящая в зна­менателе правой части уравнения (4.19), больше, чем жесткость балки EJ.

Если пластина подвергается действию равномерно распреде­ленных моментов по окружности (рис. 57), она изгибается по сферической поверхности.

Рис. 57

 

Главные радиусы кривизны в любом сечении одинаковы:

 ,

поэтому на основании (4.15)

 .                                           (4.23)

Заменив вторые производные в уравнениях (4.13) и (4.14) кривизной, на основании формулы (4.23) получим изгибающий мо­мент при сферическом изгибе

и выражение для кривизны

 .

Дифференциальное уравнение (4.11) и выражения для кру­тящего и изгибающих моментов и для поперечных сил получены в предположении, что в срединной поверхности отсутствуют цепные погонные усилия: продольные Nх и Nу и сдвигающие Тху и Тух. Дифференциальные уравнения изгиба пластины конечной жесткости при наличии цепных усилий и выражения для усилий М, N, Q, Н и Т получены Карманом:

 .            (4.24)

Эта система может быть сведена к системе двух совокупных дифференциальных уравнений с помощью введения некоторой непрерывной функции  , называемой функцией напряжений. Если выразить продольные и сдвигающие силы N и Т через функ­цию напряжений  

,             (4.25)

то можно убедиться, что первые два уравнения системы (4.24) будут тождественно удовлетворены при любом виде функции .

Подставив выражения (4.25) для цепных усилий N и Т во второе и третье уравнения системы (4.24) и заменив изгибающие и кру­тящие моменты М и Н их выражениями (4.13), (4.14), (4.16) полу­чим следующую систему дифференциальных уравнений Кармана в частных производных:

 .    (4.26)

Уравнения (4.26) применяют для расчета гибких пластин большого прогиба   w > h/2. Если цепные усилия оказывают малое влияние на изгиб, то в системе (4.26) следует пренебречь членами, зависящими от . Первое уравнение системы (4.26) отпадает, а второе принимает вид

.

Этим уравнением мы и пользуемся для расчета плит и пластин средней толщины.

При расчете мембран, обладающих малой жесткостью на изгиб, в системе уравнений (4.26) следует пренебречь членами, пропорциональными цилиндрической жест­кости. Тогда первое уравнение этой системы остается в силе, а второе уравнение примет вид

 .

В частном случае, когда сдвигающая сила Т равна нулю, про­дольные силы Nх = Nу = N и для определения w можно со­ставить следующее дифференци­альное уравнение:

 .

Решение  дифференциального уравнения (4.11) в конечной форме получено для эллиптиче­ской и круглой пластин, защем­ленных на контуре и нагружен­ных равномерно распределенной нагрузкой. В остальных случаях пользуются приближенными реше­ниями.

Интеграл дифференциального уравнения (4.11), представ­ляющего собой уравнение четвертой степени в частных производ­ных от двух независимых переменных, должен удовлетворять восьми граничным условиям на контуре. На каждой кромке можно составить по два условия, исходя из равенства нулю соответству­ющих двух величин из числа следующих: прогиба w, угла , из­гибающих моментов Мх или Mу, обобщенных поперечных сил  или .

Обобщенные поперечные силы представляют собой попереч­ные силы на свободных кромках пластины, заменяющие одновре­менное действие погонных крутящих моментов и попереч­ных сил

 .

Таким образом, общее число условий составляет 2 х 4 = 8. Например, для пластины (рис. 58) следует составить следующие восемь условий:

Рис. 58

 

- кромка АВ

1)            при 0 < х < а  у = 0, w = 0;

2)            при 0 < х < а  у = 0,  = 0;

- кромка AD

3)            при 0 < y < b  x = 0, w = 0;

4)            при 0 < y < b  x = 0, Мх = 0;

- кромка DC

5)            при 0 < х < а  у = b,  = 0;

6)            при 0 < х < а  у = b, Му= 0;

- кромка ВС

7)             при 0 < у < b  у = a,  = 0;

8)            при 0 < х < b  у = а, Мх= 0;

Обычно геометрические граничные условия, относящиеся к про­гибам w и углам поворота сечений , выполняются точно, а стати­ческие граничные условия, относящиеся к изгибающим момен­там М и обобщенным поперечным силам Q0, - лишь в интеграль­ной форме. После того как будут найдены погонные изгибающие моменты, поперечные силы и крутящий момент, напряжения можно определить по формулам сопротивления материалов

 .                  (4.27)

Наибольшие нормальные напряжения от изгиба  и  и ка­сательные напряжения  от кручения возникают в точках верх­ней и нижней граней пластины. Наибольшие касательные напряже­ния  и  от перерезывания возникают в срединной плоскости.

 

4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59,а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, про­ходящей через центр О пластины и называемой центральной осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверх­ность вращения, симметричную относительно оси z. Поэтому се­чение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59,б, окажется также симметричным от­носительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, ле­жащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пла­стины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испыты­вают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемеще­ния, параллельные оси z) тоже одинаковы.

 

а

б

 

 

 

Рис. 59

 

Если координата х получила приращение dx, то прогиб w получит соответствующее приращение dw. Отношение

                                          (4.28)

представляет собой приближенно, ввиду малости w, угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла  и, следовательно, и угол   - отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны  и , из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке со­впадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и пер­пендикулярной к касатель­ной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 60) главный радиус кривизны  характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C1 кри­визны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зави­симости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Рис. 60

 

Радиус кривизны  характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к пло­скости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вер­шина которого C2 лежит на оси z, а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналитической гео­метрии и зависимости (4.28) главная кривизна

 .                                      (4.29)

Из прямоугольного треугольника АВС2 видно, что

 ,

откуда вторая главная кривизна

 .                                        (4.30)

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных из­гибающих моментов радиального Мr и окружного МT :

 .                    (4.31)

Для дальнейших выводов понадобится еще выражение произ­водной погонного радиального изгибающего момента

 .       (4.32)

 

 

4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины

Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямо­угольных координат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h, испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z, двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол , и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dx элемент, заштрихованный на   рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + dQ и погон­ных изгибающих радиальных момен­тов Mr и Мr + dMr по окружным сечениям, а также погонных окруж­ных изгибающих моментов МT по ра­диальным сечениям.

Рис. 61

Рис. 62

 

В силу симметрии нагрузки отно­сительно центральной оси z попереч­ные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты МT одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гну­щие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.

Для составления уравнения рав­новесия элемента изгибающие момен­ты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия мо­мента, направлена в ту сторону, с ко­торой вращение момента представля­ется происходящим по часовой стрел­ке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссек­трисе, делящей угол dq пополам.

Рис. 63

 

При составлении уравнения моментов можно пренебречь ввиду малости элемента неравномерностью расположенной на нем на­грузки и моментом, вызванным приращением dQ поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действую­щие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx, который изображается вектором , параллельным оси Т. Умноже­ние всех погонных усилий на длину грани, по которой они дей­ствуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение

.   (4.33)

В уравнении (4.33) синус угла   ввиду малости заменен углом . После сокращения на , раскрытия скобок и отбрасывания члена dMr dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид

или, после деления всех членов на х dx,

 .                                   (4.34)

Подстановка в уравнение (4.34) выражений для Мк, МТ и  через  по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению

 .                                (4.35)

Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности круглой пластины, выраженное через угол , составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.

Если в этом уравнении на основании (4.28) заменить  на , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикального перемещения w

 .

Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке

.

Рис. 64

 

Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение углов , а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произ­вольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подста­новке найденных выражений для  или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих момен­тов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих мо­ментов и найдены их наибольшие значения.

Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно на­правленные распределенные погонные силы Р0 и погонные из­гибающие моменты М0 .

Рис. 65

 

Составим уравнения углов  и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следую­щим образом:

.     (4.36)

Приравняв суммарную поперечную силу по контуру радиу­сом х, равную Q2px (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной  Р + q×pх2, найдем погонную попереч­ную силу

 .                                              (4.37)

Рис. 66

 

Замена выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному урав­нению

 .                           (4.38)

Первое интегрирование выражения (4.38) дает

.                  (4.39)

Второе интегрирование выражения (4.39) дает

 .               (4.40)

Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляе­мых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины  на основании формулы (4.28) и умножения обеих ча­стей уравнения на dx, оно получает вид

.

Интегрирование дает

 .               (4.41)  

Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или урав­нением изогнутой срединной поверхности пластины.

 

4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы.

      Условия прочности

Так как число произвольных постоянных в уравнении (4.41) равно трем, то для нахождения постоянных С следует составить следующие три граничные условия:

 

 

- для защемленной кромки пла­стины (рис. 67,а)

1) х = r,  w = 0;    2) x = r,   = 0;   3) x = 0,   = 0;

 

а

 

 

- для свободно опертой кромки пластины (рис. 67, б)

1) х = r,  w = 0;    2) x = r,  Mr = 0;   3) x = 0,   = 0;

 

б

- для свободной кромки (рис. 67,в)

1) х = r,  Mr = 0;    2) x = r,  ;   3) x = 0,    w = 0.

 

в

 

Рис. 67

 

Дифференциальное уравнение (4.38) и его интегралы, а также выражения (4.31) справедливы и для кольцевой пластины в виде круг­лой пластины с круглым  отверстием  в  середине  (рис. 68,а)  или  в  виде  кольцевой  пластины,

а

б

в

Рис. 68

 

внутренний контур которой защемлен (рис. 68,б). Изменяются лишь граничные условия и для центральной силы Р должно быть составлено вы­ражение, отражающее изменение поперечной силы в сечении х [см. формулу (4.37)].

 Например, для пластины, изображенной на рис. 68, а, граничное условие    х = 0, w = 0 теряет смысл, так как при х = 0 нет пластины. Поэтому следует воспользоваться следующими тремя условиями: 1) х = b; w = 0; 2) х = b,  = 0; 3) x = a, Mr = 0. Для сосредоточенной силы получится выраже­ние

.

В этом выражении первый член представляет собой приложен­ную в центре и направленную вниз равнодействующую погонных сил Pa, приложенных к контуру ра­диусом а (сила Р на рис. 65), а второй член - силу, приложенную в центре и направленную вверх, ком­пенсирующую ту распределенную на­грузку, которой надо заполнить круг радиусом а, чтобы привести схему, изображенную на рис, к схе­ме, показанной на рис. 68,а. При такой замене уравнения остаются в силе и при наличии отверстия, так как коорди­наты х всегда больше а и изменение расчетной схемы при х < а на вывод этих уравнений не влияет.

Для пластины, изображенной на рис. 68,б, следует воспользоваться следующими граничными условиями:

1)          х = а, w = 0; 2) х = а,  = 0; 3) х = b, Mr = 0. Для сосредото­ченной силы получится выражение

       .

Если, в частном случае, одна из нагрузок q или Р отсутствует, то в формулах (4.40) и (4.41) ее следует положить равной нулю. Например, для пластины, показанной на рис. 68,в, вы­ражение для прогиба будет

.

Если для отдельных участков пластины выражения попереч­ной силы различны (рис. 69), то для каждого из участков  должно   быть  составлено  свое дифференциальное уравнение. Например, для суммарной поперечной силы на первом участке пластины

,

на втором участке

.

Рис. 69

 

После интегрирования каждого дифференциального уравнения получится три произвольных постоянных и общее число произ­вольных постоянных окажется равным 3п (п - число участков). Для каждой границы между двумя соседними участками могут быть составлены три дополнительных условия, выражающих то обстоятельство, что на границе двух соседних участков прогиб w, угол j и радиальный момент Мr одинаковы: 1) х = a, w1 = w2, 2) х = a, ; 3) х = а, (Мr)1= (Мr)2. Таких дополнитель­ных условий оказывается как раз столько, сколько недостает для нахождения всех произвольных постоянных. В разобранном при­мере при двух участках число произвольных постоянных 2 ´ 3 = 6, число условий 3 + 3 = 6.

Если известны выражения для изгибающих моментов  Мr  и  МT  и прогибов w в функции от х, то координаты х, соответствующие наибольшим значениям этих вели­чин, найдутся из условий

.                              (4.42)

В ряде случаев сечения, в ко­торых возникают наибольшие из­гибающие моменты или прогибы, известны. Например, в схеме на рис. 68,б наибольший прогиб возникает на наружном контуре при х = b, а наибольший радиальный изгибающий момент (Mr)max - в защемлении при х = а.

Подставив найденные из условий (4.42) значения х в выражения для изгибающих моментов, можно получить значения (Mr)max и (МТ)max которые, в общем случае, могут возникнуть в разных сечениях пластины. Опасное сечение может оказаться поэтому там, где погонные изгибающие моменты Мr и MT одно­временно велики.

Главные напряжения на наружной и внутренней поверхностях пластины в опасном сечении вычисляются по формулам, анало­гичным (4.27), путем замены момента инерции на момент сопротивления:

 .

Третье главное напряжение (по площадке, параллельной сре­динной плоскости) равно нулю. Расчетное напряжение, сравнивае­мое с допускаемым, вычисляется в зависимости от знаков напря­жений и  по одной из теорий прочности. Например, для пластины, представленной на рис. 68,б, опасное сечение находится в защемлении при х = а; при этом верхние волокна и от момента Мr, и от момента МT испытывают растяже­ние, а нижние - сжатие, изгибающий момент Мr в сечении х = а больше, чем МT. Предполагаем, что пластина выполнена из пла­стического материала и что применяется третья теория прочности, условие прочности по которой

 .

Волокна в точке на верхней поверхности пластины растянуты, т. е. напряжения  положительны, поэтому следует обозначить:

.

Условие прочности примет вид

.

 

4.7 Температурные напряжения в пластинах

В общем случае температура в какой-либо точке круглой пла­стины является функцией двух переменных: радиуса х и расстоя­ния z от точки до срединной плоскости. В силу линейности основ­ных уравнений для температурных напряжений напряжения, выз­ванные радиальным изменением  температуры - tx2tx1 и изме­нением температуры по толщине t2t1 можно вычислить от­дельно, а затем алгебраически суммировать. Ниже рассматри­ваются два случая изменения температуры: 1) температура одинакова для всех точек, рас­положенных на одинаковом рас­стоянии z от срединной плоско­сти, но меняется по толщине пластины по прямолинейному закону; 2) температура постоян­на по толщине, не зависит от полярного угла , но меняется в зависимости от расстояния х между точкой и центром пла­стины.

Случай 1. При одинаковом во всех точках одной окружности изменении температуры по толщине пластины , подчиняющемся прямолинейному закону (рис. 70), перемещение этих точек пластины, связанное с ее расширением или сжатием, происходит также одинаково по всем направлениям в плане.

В случае повышения температуры верхняя поверхность пла­стины получает большее расширение, чем нижняя, и пластина из­гибается по шаровой поверхности радиусом r выпуклостью вверх. На основании допущения о прямых нормалях можно считать, что относительная деформация (по отношению к срединному слою), происходящая на наружной поверхности в любом направлении,

 .                                            (4.43)

 

Рис. 70

 

С другой стороны, относительная температурная деформация отрезка длиной l на наружной поверхности по отношению к сре­динному слою

 .          (4.44)

Приравняв выражения (4.43) и (4.44), можно получить формулу для определения кривизны шаровой изогнутой поверхности

.                                                     (4.45)

Если круглая пластина не имеет закреплений или свободно поворачивается на контуре (свободно оперта), то температурное искривление не вызывает дополнительных усилий. Если же пла­стина защемлена, на контуре возникнут погонные опорные мо­менты Мr, уничтожающие кривизну, вызванную неравномерным нагревом.

При сферическом изгибе моментами Мr кривизна

.                                       (4.46)

Приравняв выражения (4.45) и (4.46), получим формулу для опреде­ления погонного изгибающего момента

,

а разделив это выражение на момент сопротивления   и подставив вместо цилиндрической жесткости D ее значение из формулы (4.12), определим наибольшее напряжение:

 .                (4.47)

Случай 2. Круглая пластина с центральным отверстием ра­диусом а подвергается действию температуры, имеющей  радиаль­ный  перепад  (рис. 71).

Рис. 71

 

В дальнейшем t(x) обозначено для кратко­сти t. Напряженное состояние в пластине считаем плоским, т. е. полагаем  = 0. В силу симметрии условий и расчетной схемы перемещения и зависят только от радиуса х, а перемещения v равны нулю. Поэтому относительные деформации

 .                              (4.48)

Если решить первые два уравнения (4.48) относительно  и , а в третьем заменить  на , можно получить

 .                             (4.49)

Подстановка значений (4.49) в уравнение равновесия  плоской задачи в полярных координатах, принимающее в данном случае () вид

,

приводит к следующему диф­ференциальному уравнению для радиального перемещения:

 .

Для интегрирования этого уравнения  левая его часть записы­вается так [см. аналогичное решение уравнения (4.36)]:

 .                                   (4.50)

Первое и второе интегрирование (4.50) дает

 .                          (4.51)

В выражении (4.51) через х1 обозначен переменный радиус, определяющий точки, расположенные между а и х. Если подставить это выражение в формулы (4.49), то получатся следующие выражения для температурных напряжений:

 .                (4.52)

Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий на контурах пластины. Если отверстия радиусом а в пла­стине нет, то интегрирование в формулах (4.52) выполняется в пределах от нуля до х.

 

4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения

Мембрана обладает малой жесткостью на изгиб и поэтому обычно рассчитывается лишь на действие цеп­ных продольных усилий Nх и Nу в срединной плоскости и на вызы­ваемые ими равномерно рас­пределенные по толщине на­пряжения. Прогибы w мем­браны составляют обычно не менее пяти толщин  h и  в боль­шую сторону не ограничива­ются.

Реактивные усилия S на закрепленном контуре (рис. 72) направлены по касатель­ной к изогнутой срединной поверхности мембраны. Они могут быть разложены на со­ставляющие: вертикальную Sz и горизонтальную Sx. Нали­чие горизонтальной соста­вляющей реактивного усилия (распора), возникающей при действии вертикальной на­грузки, - особенность мем­браны по сравнению с пла­стиной средней толщины и плитой.

Рис. 72

 

Дифференциальные уравнения изогнутой поверхности мем­браны получаются из дифференциальных уравнений (4.26) для пластины, у которой прогиб превышает половину толщины, если положить в них цилиндрическую жесткость D равной нулю. Так как в выражении цилиндрической жесткости модуль упруго­сти Е нулю не равен, она будет равна нулю, если дробь   можно считать пренебрежимо малой.

Функцию прогибов w и функцию напряжений  в мембране можно найти из системы двух уравнений

 .                 (4.53)

Уравнения (4.53) решаются приближенно. Если функция  найдена, выражения для растягивающих цепных усилий Nx и Ny в мембране могут быть вычислены по формулам

 ,                             (4.54)

а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений

 .

Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.

 

4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране

При выводе приближенных формул предполагается, что защем­ленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.72) изгибается, образуя шаровую поверхность, и что нагрузка q действует по нормали к этой изогнутой поверхности.   При   этих   условиях  усилия   N   и  напряжение     (рис. 73,а)

а

б

Рис. 73

 

по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендику­лярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах эле­мента, равных единице,

      .                                              (4.55)

Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к по­верхности элемента

                              (4.56)

Центральный угол  выражаем через длину дуги кромки эле­мента и радиус кривизны . Замена в уравнении (4.56), ввиду малости  ,

дает выражение:

- для усилия    ;

- для кривизны   .                                            (4.57)

Тогда для напряжения из формулы (4.55) получим

 .                                        (4.58)

Приближенное дифференциаль­ное уравнение изогнутой средин­ной поверхности на основании за­висимости (4.57)

.

Величина прогиба в середине мембраны получается на основа­нии закона сохранения энергии

U = A.                                                    (4.59)

где  Uпотенциальная энергия деформации мембраны;

        Aработа внешних сил на перемещениях, вызван­ных деформацией мем­браны.

Потенциальная энергия мембраны

 ,                                              (4.60)

где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука

,

может быть выражена через напряжение следующим образом:

 .

Тогда, на основании формулы, (4.58)

.                                             (4.61)

Зависимость между радиусом кривизны  и прогибом w0 в сере­дине мембраны (рис. 73,б)

или после возведения скобки в квадрат и отбрасывания  как величины высшего порядка малости

откуда

                                                  (4.62)

Подстановка этого значения  в формулу (4.61) и значения и в фор­мулу (4.60) дает выражение для потенциальной энергии

 .                                     (4.63)

Работа А внешних сил получится как интеграл, взятый по площади  мембраны, половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):

                                        (4.64)

Интеграл в выражении (4.64) представляет собой объем Vш.с. шарового сегмента с высотой w0  и радиусом а:

или, если отбросить ,

.

Поэтому выражение (4.64) примет вид

 .                                                (4.65)

При подстановке значений (4.63) и (4.65) в выражение (4.59), получаем

.

Тогда прогиб в середине мембраны

Для стальной мембраны при  = 0,3 прогиб

 .                                            (4.66)

Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциаль­ных уравнений (4.53), дает

.

Нормальное напряжение  получается, если в формулу (4.58) подставить r из формулы (4.62) и w0 из формулы (4.66):

или

.

Точное решение на базе системы (4.53) дает выра­жение

.

 

4.10 Примеры

Пример 4.1. Определить нормальные напряжения и  в точке на верхней поверхности прямоугольной пластины, испытывающей изгиб от мо­ментов М = 0,014 Мнм, распределенных по кромках AD и ВС (рис. 74). Опре­делить радиус кривизны  изогнутой срединной поверхности и наибольший прогиб w. Е = 2 Мн/м2; = 0,27.

Рис. 74

 

      Решение.

       Отношение сторон пластины  Следова­тельно, напряжения в средней части пролета можно вычислить по формулам цилиндрического изгиба.

Погонный изгибающий момент по кромкам AD и ВС

.

Напряжения по формулам (4.21) и (4.22)

Такие же напряжения будут во всех точках верхней поверхности в пределах цилиндрического изгиба.

Цилиндрическая жесткость

Кривизна срединной поверхности по формулам (4.15) и (4.19)

поэтому дифференциальное уравнение изо­гнутой срединной поверхности

или

Два последовательных интегрирова­ния дифференциального уравнения дают

                                    (4.67)

Условия для определения произволь­ных постоянных: 1) х = 0, w = 0 (про­гиб по кромке AD отсутствует); 2) х = 0,30 м,  (касательная к изогну­той срединной поверхности в середине пролета горизонтальна). Из первого усло­вия следует, что С2 = 0. Из второго условия   откуда

  

Подставляя найденные значения С1 и С2 в уравнение прогибов (4.67), получаем   

Наибольший прогиб при х = 0,30 м

.

Пример 4.2. Для заданной схемы круглой пластины (рис. 75,а) построить эпюру погонных радиальных изгибающих моментов. Коэффициент поперечной деформации m = 0,13; модуль продольной упругости Е = 2н/см2.

 

 

а

 

 

 

 

б

 

 

 

в

Рис. 75

 

Решение.

Заданная схема отличается от схемы, для которой выведены фор­мулы (4.40) и (4.41), тем, что на окружности радиусом а = 30 см нет равномерно распределенной нагрузки. Если эту нагрузку приложить, то для сохра­нения заданных условий нужно уравновесить ее аналогичной нагрузкой, при­ложенной снизу (рис. 75,б), которую можно заменить равнодействующей сосре­доточенной силой  на оси симметрии пластины. Кроме того, на этой оси действует реакция R, равная весу нагрузки, лежащей на пластине,

 .

Полная сосредоточенная сила на оси пластины

                 (4.68)

Знак минус введен потому, что сила Р направлена снизу вверх.

Таким образом, выражения (4.40) и (4.41) для  и w могут быть исполь­зованы для схемы на рис. 75,а, если вместо Р подставить в них выражение (4.68). Интенсивность нагрузки q = 4000 н/м2 = 0,4 н/см2.

Уравнение углов поворота

.

В формулу (4.31) для радиального момента входит

 ,

При подстановке этих выражения в формулу (4.31) получаем

Цилиндрическая жесткость

.

Так как

то получим

Момент

угол  

Условия для определения произвольных постоянных: 1) х = а, j = 0;  2) х = b,   Mr = 0.   Из первого условия

После выполнения арифметических действий

Из второго условия

После выполнения арифметических действий

Совместное решение уравнения (4.69) и (4.70) дает значения произвольных постоянных:

Подставив значения D и найденные значения произвольных постоянных в выражение для изгибающего момента Mr, получим

Подставляя последовательно значения х через 20 см в это уравнение, можно найти значения радиальных моментов (табл. 3). По этим ординатам построена эпюра радиальных моментов (рис. 75,в).

 

                                                                                                                                                                                       Таблица 3

Номер точки

 

х

 

х2

 

lnx

 

6,342(2,26lnx+0,87)

 

0,00046x2

Mr

нсм/см

1

30

900

3,401

54,2

0,414

18,853

-5310

2

50

2500

3,912

61,5

1,150

6,787

-2140

3

70

4900

4,248

66,3

2,254

3,463

-960

4

90

8100

4,500

69,7

3,726

2,094

-400

5

110

12100

4,700

72,9

5,566

1,402

-51

6

130

16900

4,847

74,9

7,774

1,004

-19

7

150

22500

5,011

77,3

10,350

0,754

0

 

Пример 4.3. Определить радиус кри­визны  изогнутой срединной поверхности круг­лой пластины толщиной h = 20 мм (рис. 76,а), если температура t2 на ее нижней поверхности изменилась от нуля до +100 °С, а температура t1 на верхней поверхности - от нуля до +10 °С.

Определить наибольший изгибающий момент и на­пряжения, которые возникнут в пластине. Коэф­фициент линейного температурного расширения    = 0,000012;   Е = 2  Мн/м2;  = 0,28.

      а

                                 б

в

Рис. 76

 

Решение.

Изменение температуры по толщине пластины (рис. 76,в)

.

Относительная температурная деформация нижнего или верхнего волокна по формуле (4.44)

Кривизна изогнутой срединной поверхности по формуле (4.45)

Радиус кривизны

Напряжения, возникающие в пластине при изменении температуры, равны напряжениям, которые возникнут, если приложить по контуру пластины ра­диальные изгибающие моменты (рис. 76,б), вычисляемые по формуле (4.46),

.

Напряжение на поверхности

Ту же величину напряжения  можно получить по формуле (4.47).

Пример 4.4. Составить выражение для температурных напряжений в сплошной круглой свободной на контуре пластине, температура которой па­дает от центра к наружному контуру по квадратичному закону

Определить наибольшее окружное нормальное напряжение при следующих данных: Е= 2Мн/м2, температура в центре t0= +100 °С, на наружном контуре (х = b)  tb, = +20 °С.

Решение.

Граничные условия: 1) х = 0, t = t0; 2) х = b, t = tb. Условия для определения произвольных постоянных С1 и С2 следующие.

1. Перемещение и в центре пластины равно нулю. Следовательно, при х = 0 и = 0  и из формулы (4.51)  С2 = 0.

2. На наружном контуре радиальный момент Mr = 0, и, следовательно,  радиальные напряжения  отсутствуют. Поэтому при х = b, = 0 и из фор­мулы (4.52)

Если учесть в этом выражении  заданный закон изменения температуры и произвести интегрирование, то

 .

Поэтому по формулам (4.52) получаются следующие выражения для напря­жений:

.

или, в окончательном виде,

 .                               (4.71)

На основании уравнений (4.71) можно заключить, что напряжения  во всех точках сжимающие (отрицательные), так как выражение в скобках (t0tb) положительно, а . Напряжение же  может быть и положительным. Это наибольшее (положительное) напряжение  получится при наибольшем отрицательном значении  при х = b :

Пример 4.5. Определить радиальный и окружной изгибающие мо­менты и, пользуясь третьей теорией прочности, расчетные напряжения на ниж­ней поверхности в центре круглой стальной крышки, опертой по контуру и на­груженной равномерно распределенной внешней нагрузкой (рис. 77).

 Определить величину прогиба в центре крышки. Наружный радиус пластины r =200 мм, толщина h =10 мм; интенсивность равномерно распределенной на­грузки q =12 н/см2;  E =2 н/см2;   = 0,3.

Решение.

По формулам (4.40) и (4.41), полагая в них Р = 0, находим уравнения углов  и прогибов w :

                                (4.72)

 .

Граничные условия для пластины с опер­тыми краями: 1) х = 0,  = 0; 2) х = r, w = 0; 3) х = r, Mr = 0. Из первого условия находим   или С2= 0. Из второго условия получаем уравнение с двумя неизвестными C1 и С3

 .                                       (4.73)

Рис. 77

 

Для использования третьего условия составим выражение радиального изги­бающего момента [см. формулу (4.31)]

.                                          (4.74)

Дифференцируя (4.72) и учитывая, что C2 = 0, находим

.

Подставляя это выражение и выражение (4.72) в формулу (4.74), получаем

.

На основании третьего условия

Отсюда произвольная постоянная

 .

Подставляя это значение C1 в уравнение (4.73), получаем произвольную по­стоянную

 .

При найденных произвольных постоянных выражение для радиального изгибающего момента примет вид:

.                                  (4.75)

Окружной изгибающий момент [см. формулу (4.31)] выразится так:

              (4.76)

Из выражений (4.75) и (4.76) видно, что наибольшие значения радиального и окруж­ного изгибающих моментов Mr и MT получаются при х = 0, т. е. в центре пла­стины.

 .

Соответствующие напряжения на нижней поверхности пластины растягива­ющие:

 .

Главные напряжения 5940 н/см2, = 0, поэтому, на осно­вании третьей теории прочности, расчетное напряжение

.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов