Лекции по теории упругости

 

Главная

Лекция 3. Толстостенные трубы

 

3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы

Если толщина стенки трубы, нагруженной радиальной на­грузкой, превышает 0,1 радиуса геометрической оси стенки, труба считается толстостенной. Распределение напряжений по толщине стенки такой трубы нельзя считать равномерным; радиальные пере­мещения отдельных точек стенки трубы зависят от их расстоя­ния r до оси трубы.

С помощью теории расчета толстостенных труб определяются напряжения и перемещения в точках стенок цилиндров машин, стволов орудий, при температурных или прессовых посадках рубашек, муфт и ступиц на валы, а также в облицовках тоннелей и стволов, подверженных горному давлению.

Рассмотрим отрезок трубы длиной, равной единице, вырезанный двумя сечениями, нормальными к оси трубы (рис. 30,а). Труба нагружена на внутренней и наружной поверхностях радиальной сжимающей нагрузкой; интенсивности рВ и рН этой нагрузки по­стоянны как вдоль оси трубы, так и по ее окружности. Любой такой отрезок на некотором расстоянии от торцов трубы находится в плоском деформированном состоянии.

а                                                                              б

Рис. 30

 

Составим уравнение равновесия элемента трубы, выделенного двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол , и двумя окружными сечениями, радиусы которых r и r + dr (рис. 30,б). По граням этого элемента действуют радиаль­ные и окружные напряжения  и . Радиальное напряжение при изменении радиуса r получает приращение , а окружное напряжение  в силу осевой симметрии задачи при изменении угла  не меняется.

Дифференциальное уравнение равновесия (1.32,б) для осесимметричной задачи имеет вид

.                                            (3.1)

Напря­жения  и  выразим через относительные линейные деформа­ции   с помощью закона Гука:

,                    (3.2)

а относительные деформации заменим их выраже­ниями через радиальное перемещение v (рис. 30,б), пользуясь зависимостями

 .

Подставив эти выражения в формулу (3.2), а выражения (3.2) в фор­мулу (3.1), получим выражения для напряжений и дифферен­циальное уравнение равновесия элемента трубы в перемещениях

 ,                                        (3.3)

 .                                              (3.4)

Уравнение (3.4) может быть представлено в виде

,

откуда следует, что

Этому уравнению удовлетворяет решение

.                                                    (3.5)

Заменив в формулах (3.3) перемещение v его выражением (3.5), получим для напряжений:

 .                                 (3.6)

Граничные условия для определения постоянных А и В со­ставляем из условий на внутренней и наружной поверхностях трубы:

1)  ,  ;         2)   ,   .              

Учет этих условий в первом уравнении (3.6) дает систему двух уравнений, содержащих А и В, решив которую, найдем

 .

Подстановка найденных значений А и В в уравнения (3.6) дает следующие выражения для напряжений:

 ,               (3.7)

а подстановка в уравнение (3.5) - выражение для радиального пере­мещения

           (3.8)

В формулах (3.7) и (3.8)

Из формул (3.7) видно, что

т. е. сумма радиального и окружного напряжений в любой точке есть постоянная величина, не зависящая от радиуса r.

По формулам (3.7) и (3.8) можно вычислить напряжения и радиальные перемещения для сплошного вала, подверженного наружному радиальному давлению, если положить RB = 0. В та­ком случае

откуда видно, что материал вала испытывает однородное напря­женное состояние.

 

3.2 Исследование напряжений при давления на одном из контуров

1.            Сжимающее радиальное давление на наружном контуре. По формулам (3.7), положив в них рВ = 0, найдем

      .                                      (3.9)

Второй член в скобке формулы (3.9) равен единице или меньше ее, поэтому напряжения  во всех точках отрицательные, сжимающие. Окружное напряжение по абсолютной величине всегда больше радиального. Наибольшее нормальное радиальное напряжение  возникает на наружной поверхности трубы (r = Rн) и равно - рн, а наибольшее окружное напряжение   - на внутренней поверхности (r = RB) и равно - .  Как видно из формулы (3.9), напряжения меняются вдоль радиуса по кри­волинейному закону. Эпюры напряжений  показаны  на рис. 31,а. Уменьшение наружного радиуса может быть опреде­лено по формуле (3.8) для перемещения v, если положить в ней рВ = 0, а r = RB. Тогда

.                               (3.10)

2.            Сжимающее радиальное давление на внутреннем контуре. По формуле (3.7), положив в рн = 0, найдем

         .                                   (3.11)

                                 а                                                                       б

Рис. 31

 

Второй член в скобке формулы (3.11) равен единице или больше ее, поэтому напряжения  во всех точках трубы отри­цательны, а  - положительны. Наибольшее нормальное ради­альное напряжение  возникает на внутренней поверхности (r = RB) и равно - рB, наибольшее окружное  - также на вну­тренней (r = RB), оно растягивающее и равно  .

Закон изменения напряжений вдоль радиуса тоже криволи­нейный [см. формулу (3.11)]. Эпюры напряжений  показаны на рис. 31,б. Увеличение внутреннего радиуса может быть по­лучено по формуле (3.8) для перемещений v, если положить в ней рн = 0, a r = RB:

.                                (3.12)

Соотношение окружных напряжений, вычисленных по фор­муле (3.11) при  r = RB и r == RH ,

 .           (3.13)

Из формулы (3.13) видно, что чем меньше толщина кольца, т. е. чем ближе друг к другу значения RB и RH , тем ближе отно­шение (3.13) к единице, т. е. тем равномернее распределяются напряжения sT по толщине трубы. Например, при RB = 0,95, отношение

и окружные напряжения можно считать равномерно распределен­ными по толщине кольца. При большой толщине трубы напря­жения  и  в точках, удаленных от внутренней поверхности, сближаются по величине и в пределе, при , становятся одинаковыми и противоположными по знаку.

Представим формулу (3.11) в виде

 .

Следовательно, если r > 4RB, напряжения  и  будут равны и будут составлять меньше 6% от внутреннего давления. На этом основании по формуле (3.11) можно определять радиальные и окружные напряжения в случае плоской деформации тела, имею­щего отверстия, нагруженные радиальным давлением, располо­женные друг от друга на расстоянии больше 8RB (рис. 32). Внеш­ний контур тела не имеет значения и может быть произвольного очертания.

Рис. 32

 

3.3 Условия прочности при упругой деформации

Составим условия прочности для толстостенной трубы, испы­тывающей внутреннее давление рВ. В зависимости от принятого предельного состояния для наиболее напряженной точки на вну­тренней поверхности трубы получим следующие выражения:

1.          Для хрупких материалов (чугун, бетон) по первой теории прочности

       .                            (3.14)

По формуле (3.11) при r = RB  расчетное напряжение

 .

или

 ,

откуда

.                                            (3.15)

Выражение (3.15) показывает, что при внутреннем давлении, при­ближающемся по величине к допускаемому напряжению , от­ношение   стремится к бесконечности, т.е. никаким увели­чением наружного радиуса RH нельзя удовлетворить условию прочности (3.14).

2.          Для пластичных материалов (сталь, медь) по третьей теории прочности

       .                     (3.16)

По формуле (3.11) при r = RB  расчетное напряжение

.                                (3.16)

или

,

откуда

  .                                         (3.17)

Выражение (3.17) показывает, что при внутреннем давлении рВ, приближающемся по величине к половине допускаемого напря­жения , отношение  стремится к бесконечности и увели­чением наружного радиуса РH  удовлетворить условию проч­ности (3.16) нельзя.

 

3.4 Напряжения в составных трубах.

Имеются конструкции, представляющие собой составные толстостенные оболочки или трубы (например, стволы артил­лерийских орудий, облицовки пустотелых гребных винтов) (рис. 33,а). В этих случаях наружные оболочки насаживаются на внутренние с натягом  (рис. 33,б). Геометрическое условие совместности деформа­ций внутренней и на­ружной трубы имеет вид

,

где vB  -  уменьшение наружного радиуса внутренней трубы;

      vH - увеличение внутреннего радиуса наружной трубы.

Подставив в уравнение (3.18) абсолютные величины радиаль­ных перемещений vB и vH  по формулам (3.12) и (3.10) с учетом обозначений, принятых для радиусов на рис. 33, получим

,                  (3.19)

где    р - междутрубное давление, действующее на поверх­ности соприкосновения труб;

ЕB и ЕH  - модули упругости материала внутренней и на­ружной труб.

 

а

б

 

 

 

Рис. 33

 

Применительно к трубам, выполненным из одинакового мате­риала с модулем упругости Е, формула (3.19) примет вид

,                    (3.20)

где введено обозначение

.                                (3.20)

Решение уравнения (3.20) дает следующее выра­жение для междутрубного давления:

 .                           (3.21)

При заданном натяге  для возможности насадки наружной трубы на внутреннюю нужно или нагреть наружную трубу или охладить внутреннюю.

Натяг  связан с температурой t соотношением

 .                                               (3.22)

Приравняв правые части уравнений (3.20) и (3.22), получим междутрубное давление после насадки

 .                                               (3.23)

Напряжения в составной трубе вычисляются на основании принципа сложения действия сил путем алгебраического суммиро­вания рабочих напряжений от внутреннего давления рB сплошной трубы с внутренним радиусом R1 и наружным R3 (соответствую­щие эпюры показаны на рис. 33,в) и напряжений от междутруб­ного давления р. Для внутренней трубы междутрубное давление представляет собой наружную радиальную сжимающую нагрузку, а для наружной - внутреннюю радиальную сжимающую на­грузку. Эпюры от междутрубного давления р показаны на рис. 33,г, а суммарные эпюры напряжений  и  на рис. 33,д.

Пользуясь одной из теорий прочности, можно при заданном наружном радиусе R2 внутренней трубы определить величину воз­можного полного радиального давления р, действующего по поверхности соприкосновения труб, из условия, что расчетное на­пряжение  по выбранной теории прочности в наиболее напря­женных точках А и В (рис. 34) трубы равняется допускаемому напряжению .

 

а

б

в

Рис. 34

 

В точке А

 .          (3.24)

В точке В

                      (3.25)

Если приравнять выраже­ние (3.24) для напряжения  в точ­ке А допускаемому напряже­нию , полное радиальное давление р на поверхности со­прикосновения труб получится из уравнения

следующим:

 .                                        (3.26)

Наружный радиус R3 наружной трубы определяется при из­вестной величине давления р из условия прочности для элемента, выделенного у точки В на внутренней поверхности наружной трубы (рис. 34,в). По третьей теории прочности аналогично (3.16)

,                                             (3.27)

а по формуле (3.11) при радиусах  RВ = R2,   RН = R3   и   r = R2

 .                      (3.28)

Приравняв выражения (3.27) и (3.28), найдем

откуда

 .                                            (3.29)

Условие равнопрочности труб в точках А и В получится путем приравнивания выражений (3.23) и (3.24) для напряжения в этих точках:

 .

Если подставить выражение (3.21) для междутрубного давле­ния в формулу (3.24) для расчетного напряжения,  последняя по­лучит вид:

 . 

Расчетное напряжение  для составной трубы будет иметь наименьшее значение. Тогда, когда отри­цательное слагаемое в квадратных скобках будет наибольшим. Это произойдет при значении   при этом квадратная скобка будет равна  , а наименьшее расчетное напряжение

 .

В разделе 3.3 по третьей теории прочности была получена формула для расчетного напряжения  сплошной трубы, подверженной внутреннему давлению. Насколько уменьшается это напряжение у составной трубы, показывает соотношение

 .

При малом внутреннем радиусе R1 это отношение приближается к 0,5. Если же наружный радиус R3 близок по значению внутреннему радиусу R1 , т. е. труба тонкостенная, отношение ста­новится близким к единице, т. е. составная труба не имеет прочност­ных преимуществ по сравнению со сплошной.

 

3.5 Понятие о расчете многослойных труб

Выражение (3.8), полученное для радиальных перемещений v трубы, подверженной радиальным давлениям на наружное и вну­треннем контурах, может быть использовано для определения междутрубных давлений рм в многослойных трубах (рис. 35,а), возникающих от посадки. Рассмотрим два последовательных слоя  k  и  k + 1 многослойной трубы (рис. 35,б). Каждый слой представ­ляет собой трубу, находящуюся  в  условиях,  соответствующих  схеме нагружения на рис. 35,а, и радиальное давление на наруж­ном контуре каждого слоя (трубы) является сжимающим. Поэтому в формуле для перемещения v давление рН нужно считать поло­жительным. Для каждой поверхности соприкосновения между k-м и (k + 1)-м слоями можно написать уравнение совместности деформации

.

 

а

б

Рис. 35

Уравнение (3.30) выражает условие равенства суммы укоро­чения  наружного радиуса внутреннего слоя k и удлине­ния  внутреннего радиуса наружного слоя k + 1 величине натяга  между слоями k и k + 1.

Для вычисления перемещения  в формулу для переме­щения (3.8) нужно подставить

Для вычисления перемещения  в формулу (3.8) нужно подставить

После подстановки и некоторых упрощений для труб, выполненных из одного материала и m одинаковы), уравнение совместности (3.30) примет вид

 .          (3.31)

Уравнение (3.31) называется уравнением трех давлений. Если число слоев составной трубы равно п, то число уравнений (3.31), составляемых для каждой поверхности соприкосновения слоев, будет п 1. Число содержащихся в них неизвестных междутруб­ных давлений будет тоже п 1, следовательно, путем совместного решения уравнений системы давления могут быть всегда найдены. Следует отметить, что для ненагруженных внутренней и наружной поверхностей составной трубы, состоящей из п слоев, давления р0,1 и рn,n+1 равны нулю.

После определения междутрубных давлений, напряжения в каждом промежуточном слое, возникающие от натяга, опреде­ляются по формулам (3.7), во внутреннем слое - по форму­лам (3.9), а в наружном - по формулам (3.11). К полученным напряжениям следует алгебраически добавить напряжения, по­лученные для сплошной трубы, имеющей такую же толщину, как и составная, от внутреннего или наружного давления, которому подвергается составная труба.

 

3.6 Примеры

Пример 3.1. Определить, пользуясь третьей теорией прочности (наи­больших касательных напряжений), наружный радиус R3 составной трубы (рис. 36,а), подверженной внутреннему давлению рВ = 80 Мн2, если допу­скаемое напряжение  не должно превышать 150 Мн2. Построить эпюры радиальных и окружных напряжений по сечению А - С.

 

а

б

Рис. 36

 

Решение. Материал трубы испытывает плоскую деформацию. Для внутрен­ней трубы наиболее напряженными являются точки на внутренней поверхности, в которых радиальное и окружное главные напряжения, (рис. 36,б) одновре­менно достигают наибольшей величины. Так как в этих точках окружное напря­жение больше, чем радиальное, а радиальное - сжимающее и равно внутреннему давлению рВ, то

.   

Окружное напряжение в точке А на внутренней поверхности согласно формуле (3.24)

.

Полное давление р по поверхности соприкосновения труб, соответству­ющее при заданном радиусе R2 допускаемому напряжению  в точке А, по формуле (3.26)

Наружный радиус R3 наружной трубы по формуле (3.29)

 

Рис. 37

 

Эпюры напряжений строятся отдельно (рис. 37):

1) для радиальных и окружных рабочих напряжений ()раб и ()раб от  внутреннего давления рВ в сплошной трубе, имеющей толщину стенки R3 - R1 (эпюры 1 и 2);

2) для напряжении ()м и ()м от междутрубного сжимающего давле­ния рм, возникающего от насадки: у внутренней трубы - наружного радиаль­ного и у наружной трубы - внутреннего радиального (эпюры  3 и 4).

Полные эпюры напряжений  и  (эпюры 5 и 6) получаются сложением ординат указанных двух эпюр с учетом их знаков

Величина междутрубного давления рм определяется из условия, что по по­верхности соприкосновения труб полное радиальное напряжение  равно сумме междутрубного давления ()м и рабочего напряжения ()раб, возникающего в этом месте сплошной трубы, имеющей тол­щину стенки R3R1, от внут­реннего давления рB. Но так как ()м в точке В равнo рм, a  равно р, то

откуда

Напряжение ()раб вычис­ляется по формуле (3.11) для радиального напряжения по по­верхности с радиусом  r = 15,5 см в сплошной трубе толщиной R3 - R1, подвержен­ной одному внутреннему давле­нию рB = 80 Мн2,

По формуле (3.22)

По этим значениям ()раб и ()м построены эпюры 1 и 3 на рис. 37. Алгебраи­ческое сложение ординат этих эпюр дает ординаты эпюры 5 полного радиального напряжения.

Определим окружное напряжение ()м от междутрубного давления рм по поверхности соприкасания труб. Для наружной трубы, испытывающей вну­треннее давление рм , оно  определяется по формуле (3.11):

- в точке В (r = R2)

 - в точке С (r = R3)

Для внутренней трубы, испытывающей наружное давление рм, ()м, оно определяется по формуле (3.9):

- в точке В (r = R2)

- в точке А (r = R1)

Окружное напряжение ()раб от давления рВ вычисляем по формуле (3.11), приняв в ней RB = R1,  RH = R3:

.    (3.23)

По формуле (3.23) вычисляем:

- в точке. А при r = 10 см ()раб = 124,4 Мн2;

- в точке В при r  = 15,5 см ()раб = 64,6 Мн2;

- в точке С при r = 21,5 см ()раб = 44,4 Мн2.

По этим значениям ()раб и ()м построены эпюры 2 и 4. Алгебраическое сложение ординат этих эпюр дает ординаты эпюры 6 полного окружного напря­жения  .

Пример 3.2. На вал диаметром d = 10 см в горячем состоянии надета рубашка (рис. 38, а), внутренний диаметр которой до нагревания был на 0,001d меньше диаметра вала. Толщина стенок рубашки 10 см. Вал и рубашка стальные. Определить наибольшие напряжения в рубашке (Е = 2 Мн2).

а

б

Рис. 38

 

Решение. Уменьшение радиуса вала и увеличение внутреннего радиуса ру­башки в сумме должны дать величину зазора  между рубашкой и валом до на­гревания, равного (рис. 38,б)

Для решения задачи следует использовать формулы для составных труб, полагая внутренний радиус внутренней трубы R1 равным нулю, R2 = 5 см и  R3 = 15 см.

Давление, передающееся от рубашки на вал после насадки, по формуле (3.20)

где

тогда

Наибольшее по абсолютной величине радиальное напряжение в рубашке возникает по поверхности соприкосновения с валом:

Наибольшее окружное напряжение в рубашке возникает на ее внутренний поверхности [см. формулу (3.11)]:


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов