Лекции по теории упругости

 

 

Главная

Лекция 1. Основы теории упругости

 

1.1 Основные положения, допущения и обозначения

Теория упругости имеет целью аналитическое изучение напряженно-деформированного состояния упругого тела. С помощью теории упругости могут быть проверены решения, полученные с использованием допущений сопротивления ма­териалов, и установлены границы применимости этих решений. Иногда разделы теории упругости, в которых, как и в сопротив­лении материалов, рассматривается вопрос о пригодности де­тали, но с использованием достаточно сложного математического аппарата (расчет пластин, оболочек, массивов), относят к при­кладной теории упругости.

В настоящей главе изложены основные понятия математиче­ской линейной теории упругости. Применение математики к опи­санию физических явлений требует их схематизации. В математической теории упругости задачи решаются с возможно меньшим числом допущений, что усложняет мате­матические приемы, применяемые для решения. В линейной тео­рии упругости предполагается существование линейной зави­симости между составляющими напряжениями и деформациями. Для ряда материалов (резина, некоторые сорта чугуна) такая зависимость даже при малых деформациях не может быть принята: диаграмма s - e  в пределах упругости имеет одинако­вые очертания как при нагружении, так и при разгрузке, но в обоих случаях криволинейна. При исследовании таких материалов необходимо пользоваться зависимостями нелинейной теории упру­гости.

В математической линейной теории упругости исходят из следующих допущений:

1. О непрерывности (сплошности) среды. При этом атомистическая структура вещества или наличие каких-либо пустот не учитывается.

2. О естественном состоянии, на основании которого началь­ное напряженное (деформированное) состояние тела, возникшее до приложения силовых воздействий, не учитывается, т. е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в любой его точке равны нулю. При наличии на­чальных напряжений это допущение будет справедливым, если только к результирующим напряжениям (сумме начальных и возникших от них из воздействий) могут быть применены зависимости линейной теории упругости.

3. Об однородности, на основании которого предполагается, что состав тела одинаков во всех точках. Если применительно к металлам это допущение не дает больших погрешностей, то в от­ношении бетона при рассмотрении малых объемов оно может при­вести к значительным погрешностям.

4. О шаровой изотропности, на основании которого считается, что механические свойства материала одинаковы по всем направ­лениям. Кристаллы металла не обладают таким свойством, но для металла в целом, состоящего из большого числа мелких кри­сталлов, можно считать, что эта гипотеза справедлива. Для ма­териалов, обладающих различными механическими свойствами в разных направлениях, как, например, для слои­стых пластиков, разработана теория упругости ортотропных и анизотропных материалов.

5. Об идеальной упругости, на основании которого предпола­гается полное исчезновение деформации после снятия нагрузки. Как известно, в реальных телах при любом нагружении возникает остаточная деформация. Поэтому допущение следует считать при­менимым, если остаточная деформация не превышает условно заданной нормы.

6. О линейной зависимости между составляющими деформа­циями и напряжениями.

7. О малости деформаций, на основании которого предпола­гается, что относительные линейные и угловые деформации малы по сравнению с единицей. Для таких материалов, как резина, или таких элементов, как  спиральные пружины, создана теория больших упругих деформаций.

При решении задач теории упругости пользуются теоремой о единственности решения: если заданные внешние поверхностные и объемные силы находятся в равновесии, им соответствует одна единственная система на­пряжений и перемещений. Положение о единственности решения справедливо, если только справедливы допущение о естественном состоянии тела (иначе возможно бесчисленное количество решений) и допущение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами.

При решении задач теории упругости часто пользуются принци­пом Сен-Венана: если внешние силы, приложенные на небольшом участке упругого тела, заменить действующей на том же участке статически эквивалентной си­стемой сил (имеющей тот же главный вектор и тот же главный момент), то эта замена вызовет лишь изменение местных де­формаций.

В точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения мало зависят от способа их приложения. Нагрузка, которая в курсе сопротивления мате­риалов схематически выражалась на основании принципа Сен-Венана в виде силы или сосредоточенного момента, на самом деле представляет собой нормальные и касательные напряжения, распределенные тем или иным способом на определенном участке поверхности тела. При этом одной и той же силе или паре сил может соответствовать различное распределение напряже­ний. На основании принципа Сен-Венана можно считать, что из­менение усилий на участке поверхности тела почти не отражается на напряжениях в точках, удаленных на достаточно большое расстояние от места приложения этих усилий (по сравнению с линейными размерами нагруженного участка).

Положение исследуемой площадки, выделенной в теле (рис. 1), определяется направляющими косинусами нормали N к пло­щадке в выбранной системе прямоугольных осей координат х, у и z.

Если Р — равнодействующая внутренних сил, действующих по элементарной площадке , выделенной у точки А, то полное напряжение рN  в этой точке по площадке с нормалью  N  опре­деляется  как  предел  отношения в следующей форме:

.

Вектор рN  можно разложить в пространстве на три взаимно перпендикулярные составляющие.

 

а                                                                                                                                 б

Рис. 1

 

1. На составляющие рNx , рNy и рNz по направлениям трех осей (рис. 1, а). Эти состав­ляющие положительны, если совпадают по направлению с поло­жительными направлениями соответствующих осей. Согласно рис. 1, а

.                                                               (1.1,а)

2. На составляющие ,  и  по направлениям нормали к площадке (нормальное напряжение) и двух взаимно перпенди­кулярных осей s и t  (рис. 1,б), лежащих в плоскости площадки (касательные напряжения). Согласно рис.1, б

.                              (1.1,б)

 Если сечение тела или площадка  параллельны одной из плоскостей координат, например у0z (рис. 2), то нормалью к этой площадке будет третья ось координат х и составляющие напря­жения будут иметь обозначения ,  и .

Нормальное напряжение положительно, если оно растяги­вающее, и отрицательно, если оно сжимающее. Знак касатель­ного напряжения определяется с помощью следующего правила: если положительное (растягивающее) нормальное напряжение по площадке дает положительную проекцию, то касательное на­пряжение по той же площадке считается положительным при условии, что оно тоже дает положительную проекцию на соот­ветствующую ось; если же растягивающее нормальное напря­жение дает отрицательную проекцию, то положительное касательное напряжение тоже должно давать отрицательную про­екцию на соответствующую ось.

 

Рис. 2

 

На рис. 3, например, все составляющие напряжения, дейст­вующие по граням элементарного параллелепипеда, совпадаю­щим с плоскостями координат, положительны.

Рис. 3

 

Чтобы определить напряженное состояние в точке упругого тела, необходимо знать полные напряжения рN по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Так как каждое полное напряжение можно разложить на три составляющие, напряженное состояние будет определено, если будут известны девять составляющих напряжений. Эти составляю­щие можно записать в виде матрицы

,

называемой матрицей компонентов тензора напряжений в точке.

В каждой горизонтальной строчке матрицы записаны три со­ставляющих напряжения, действующих по одной площадке, так как первые значки (название нормали) у них одинаковые. В каждом вертикальном столбце тензора записаны три напря­жения, параллельных одной и той же оси, так как вторые значки (название оси, параллельно которой действует напряжение) у них одинаковые.

 

1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра

Выделим у исследуемой точки А (с координатами х, у и z) напря­женного упругого тела тремя взаимно перпендикулярными па­рами плоскостей элементарный параллелепипед с размерами ребер dx, dy и dz (рис. 2). По каждой из трех взаимно перпен­дикулярных граней, примыкающих к точке А (ближайших к пло­скостям координат), будут действовать три составляющих напря­жения -  нормальное и два касательных. Считаем, что по граням, примыкающим к точке А, они положительны.

При переходе от грани, проходящей через точку А, к парал­лельной грани напряжения меняются и получают приращения. Например, если по грани CAD, проходящей через точку А, дей­ствуют составляющие напряжения = f1 (x,y,z),  =f2 (x,y,z,), =f3 (x,y,z,), то по параллельной грани, вслед­ствие приращения только одной координаты х при переходе от одной грани к другой, будут действовать составляющие напря­жения   Можно определить напряжения на всех гранях элементарного паралле­лепипеда, как показано на рис. 3.

Кроме напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, на него действуют объемные силы: силы веса, инерционные. Обозначим проекции этих сил, отнесенных к единице объема, на оси координат через X, У и Z. Если приравнять нулю сумму проекций на ось х всех нормальных, касательных и объемной сил, дейст­вующих на элементарный параллелепипед, то после сокращения на произведение dxdydz получим уравнение

.

Составив аналогичные уравнения проекций сил на оси у и z, напишем три дифференциальных уравнения равновесия элементар­ного параллелепипеда, полученных Коши,

.                                       (1.2)

При уменьшении размеров параллелепипеда до нуля он прев­ращается в точку, а  и  представляют собой составляющие напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через точку А.

Если приравнять нулю сумму моментов всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно оси xc, парал­лельной оси х и проходящей через его центр тяжести, получим уравнение

или, с учетом того, что второй и четвертый члены уравнения выс­шего порядка малости по сравнению с остальными, после сокра­щения на dxdydz

 или  .

Составив аналогичные уравнения моментов относительно цен­тральных осей уc и zc , получим три уравнения закона парности касательных напряжений

, ,  .                                        (1.3)

Этот закон формулируется так: касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам и направ­ленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и одинаковы по знаку.

Таким образом, из девяти составляющих напряжений матрицы тензора  шесть попарно равны друг другу, и для определения напряженного состояния в точке достаточно найти лишь следую­щие шесть составляющих напряжений:

.

Но составленные условия равновесия дали нам всего лишь три уравнения (1.2), из которых шесть неизвестных найдены быть не могут. Таким образом, прямая задача определения напряжен­ного состояния в точке в общем случае статически неопределима. Для раскрытия этой статической неопределимости необходимы дополнительные геометрические и физические зависимости.

Рассечем элементарный параллелепипед у точки А плоскостью, наклоненной к его граням; пусть нормаль N к этой плоскости имеет направляющие косинусы l,  т  и  п.  Полу­чившаяся  геометрическая  фигура  (рис. 4)  представляет собой пирамиду с треугольным основанием - элементарный тетраэдр. Будем считать, что точка А совпадает с началом координат, а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра - с плоскостями координат.

Составляющие напряжения, действующие по этим граням тетраэдра, будем считать положительными. Они показаны на рис. 4. Обозначим через   и проекции полного напря­жения pN , действующего по  наклонной грани BCD тетраэдра, на оси х, у и z. Площадь наклонной гра­ни BCD обозначим dF. Тогда площадь грани АВС будет dF, грани ACD -  dF и грани АDВ -  dF .

Рис. 4

 

Составим уравнение равновесия тетраэдра, спроектировав все силы, действующие по его гра­ням, на ось х; проекция объемной силы в уравне­ние проекций не входит, так как представляет собой величину высшего порядка малости по сравнению с проекциями поверхностных сил:

,

откуда

.

Составив уравнения проекции сил, действующих на тетраэдр, на оси у и z, получим еще два аналогичных уравнения. В результате будем иметь три уравнения равновесия элементар­ного тетраэдра

.                                         (1.4)

По известным трем проекциям найдем полное напряжение

.                                          (1.5)

Разделим пространственное тело произвольной формы систе­мой взаимно перпендикулярных плоскостей хОу, yОz и хОz (рис. 5) на ряд элементарных параллелепипедов.  У  поверхности  тела  при  этом  образуются элементарные тетраэдры, (криволинейные участки по­верхности ввиду их малости можно заменить плоскостями). В та­ком случае рN будет представлять нагрузку на поверхности, а уравнения (1.4) будут связывать эту нагрузку с напряжениями  и в теле, т. е. будут представлять граничные условия задачи теории упругости. Условия, определяемые этими уравнениями, называют условиями на поверхности.

Рис. 5

 

Следует отметить, что в теории упругости внешние нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями, приложенными по какому-либо закону к площадкам, совпадаю­щим с поверхностью тела.

 

1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке

Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани составляет с координатными осями углы, косинусы ко­торых равны l, т и п (рис. 6). Будем считать заданными составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие по площадкам, лежащим в координатных плоскостях, и определим напряжения на площадке BCD. Выберем новую систему прямо­угольных осей координат х1 , y1 и z1, так чтобы ось х1 совпадала с нормалью N , а оси  у1 и z1 лежали в плоскости площадки BCD. Каждая из этих осей будет иметь в системе осей x, y, z свои направляющие косинусы, указанные в табл. 1.

 

Рис. 6

 

                                                                                                                                    Таблица 1

Оси

x

y

z

x1

l1

m1

n1

y1

l2

m2

n2

z1

l3

m3

n3

 

Полное напряжение рN, действующее по площадке BCD, разложим на составляющие рNx , pNy и pNz . Нормальное напря­жение  действующее по пло­щадке BCD, можно рассматри­вать как проекцию на ось N (или х1) полного напряжения pN , действующего по площадке BCD, а полное напряжение рN - как равнодействующую трех его проекций. Так как проекция равнодействующей равна сумме проекций составляю­щих, то

.

Подставив выражения (1.4) и произ­ведя необходимые сокращения, запишем

sN  = sx l2 + sy m2 + sz n2 + 2txy lm + 2tyz mn + 2tzx nl.                               (1.6)

Спроектировав составляющие рNx , pNy  и pNz на ось у1 (рис. 6), получим

,

а заменив их выражениями (1.4) и приведя по­добные члены, - 

             (1.7,а)

Аналогично из суммы проекций на ось z1 найдем выражение для третьего составляющего касательного напряжения

              (1.7,б)

С помощью формул (1.6) и (1.7) можно преобразовать состав­ляющие тензора напряжений  при переходе от одной системы координат х, у, z к новой системе координат х1, у1, z1.

Для записи (1.6), (1.7) и ряда других формул теории упругости можно установить последовательность чередования индексов у составляющих напряжений и чередова­ния направляющих косинусов, показанную схематически на рис. 6.

 

1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке

В курсах математической теории упругости доказывается, что в любой точке тела можно найти три взаимно перпендикуляр­ные главные площадки, на которых отсутствуют касательные на­пряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам назы­ваются главными напряжениями. Одно из них представляет собой наибольшее напряжение в данной точке, другое ¾ наименьшее, а третье имеет величину, промежуточную между первыми двумя.

Предположим, что наклонная грань BCD тетраэдра, выделен­ного у точки А напряженного тела (рис. 7), — главная площадка. Обозначим направляющие косинусы нормали к глав­ной площадке l, m и п. Полное напряжение рv, действующее по главной площадке, направлено по нормали v и равно главному нормальному напряжению. Касательное напряжение равно нулю.

Составим по формулам (1.4) выражения для проекций напряжения рv на оси координат:

.  

С другой стороны, те же проекции  pvx = pvl;  pvy = pvm;  pvz = pvn.

Рис. 7

 

Так как левые части в уравнениях равны, приравни­ваем правы части и получаем систему

 ,                                (1.8)

в которой четыре неизвестных: главное напряжение рv и три направляющих косинуса. Четвертое недостающее уравнение системы — условие равенства единице суммы квадратов направляю­щих косинусов:

l2 + m2 + n2 = 1.                                        (1.9)

Из соотношения следует, что направляющие косинусы не могут все одновременно быть равны нулю, поэтому система уравнений с неизвестными l, т и п должна иметь решения, отличные от нуля, а значит ее определитель должен равняться нулю. Раскрыв этот определитель, получим

,

где введены обозначения

.

Решив кубическое уравнение, получим три значения его корня, т. е. три главных напряжения, из которых алгебраи­чески наибольшее назовем , наименьшее , а промежуточ­ное . Величины главных напря­жений в точке, не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения. Следова­тельно, коэффициенты а1 и а2 и свободный член а3 в этом урав­нении также не должны зависеть от выбора осей коорди­нат. Поэтому функции а1 и а2 составляющих напряжений и сво­бодный член а3, называются инвариантами системы осей координат.

Так как число главных площадок равно трем, должно быть найдено девять направляющих косинусов. Чтобы найти, например, направляющие косинусы l1 , т1, п1 нормали к площадке, по ко­торой действует главное напряжение , надо подставить значе­ние  в какие-нибудь два уравнения (1.8).

Решив эти два уравнения, найдем значения двух направляю­щих косинусов, например l1 и m1 , выраженные через п1. Подставив найденные значения l1 и т1 в уравнение (1.9), найдем третий направляющий косинус п1 пер­вой главной площадки.

Рассмотрим снова элементарный тетраэдр у точки А (рис. 8). Предположим, что три взаимно перпендикулярные его грани представляют собой глав­ные площадки в точке А.

Рис. 8

 

Составим выражение для касательного напряжения t, дей­ствующего по наклонной грани BCD тетраэдра, имеющей направ­ляющие косинусы l, т и n, и найдем экстремальные значения этого напряжения и поло­жение площадок, по кото­рым они действуют. На основании формулы (1.1,б) квадрат касательного на­пряжения по площадке BCD 

.

Ввиду того, что грани тетраэдра ACD, ACВ и ABD главные площад­ки, подстановка в это уравнение выражений для pN ,  вычисленных по формулам (1.1,а), (1.4) и (1.6), дает

Из соотношения (1.9) 

n2 = 1 – l2m2,

тогда

.

Наибольшее значение касательного напряжения tN  найдется из условий

,

дающих два уравнения с двумя неизвестными l и m.

Предположим, что  обозначены соответственно , тогда последние два уравнения примут вид двух уравне­ний третьей степени относительно l  и  т

.

Если отбросить не отвечающие исходным условиям задачи решения системы уравнений, останутся следующие значения двух групп на­правляющих косинусов: 

Первая группа при положительных т и п определяет нормаль, лежащую в плоскости у0z и составляющую с этими осями углы в 45°, или площадку, делящую пополам прямой угол между главными площадками, по которым действуют напряжения  и . При отрицательных т и п первая группа определяет нормаль и площадку соответственно перпендикулярные к первым (рис. 9, а).

 

а                                                                            б

 

в

Рис. 9

 

Вторая группа определяет две площадки, делящие пополам прямые углы между главными пло­щадками, по которым действуют  и  (рис. 9, б).

Можно получить новую систему кубических уравнений, из которой можно найти третью группу направляющих косинусов:

3)

определяющих еще две взаимно перпендикулярные площадки (рис. 9, в).

Таким образом, найдены три пары взаимно пер­пендикулярных площадок. По каждой из этих пар касательные напряжения одинаковы и представляют наибольшее напря­жение для определенной группы площадок.

Величина трех наибольших касательных напряжений полу­чается путем подстановки значений l, т и п первой, второй и тре­тьей групп в уравнение  для  . Каждое из них равно полуразности двух главных напряжений:

           (1.10)

 

1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам

Выделим у точки А площадками, равнонаклоненными к главным площадкам, элементарный октаэдр (рис. 10). При уменьшении размеров октаэдра его грани, лежащие в накрест расположенных четвертях, соль­ются, и мы получим четыре пло­щадки, проходящие через точку А, называемые октаэдрическими.

Рис. 10

 

Вычислим нормальные и каса­тельные напряжения, действую­щие по октаэдрической площадке. Так как в главных осях 1, 2, 3 все три направляющих косинуса нормали к октаэдрической пло­щадке одинаковы, а сумма их квадратов равна единице, то            

                                     (1.11)

Подставляя эти значения в формулу (1.6) и учитывая инвариантность суммы нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, находим нор­мальное напряжение по октаэдрической площадке

.                             (1.12)

Полное напряжение  по октаэдрической площадке на осно­вании формул (1.1,a) и (1.4)

.

Касательное напряжение по октаэдрической площадке

.

Приведя подкоренное выражение к общему знаменателю, найдем

,                        (1.13)

или, с учетом выражения (1.10),

.                                   (1.13,а)

 

1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями

Предположим, что упругое тело закреплено и не может перемещаться в пространстве. Тогда его точки могут изменять положение в пространстве только за счет деформации тела.

Пусть какая - нибудь точка А упругого тела (рис. 11), имевшая до де­формации  координаты  х,  у  и   z,  вследствие  деформа­ции  тела  оказалась в поло­жении A1 с координатами х + и, у + v и  z + w. Отрезок AA1 называется линейным  перемещением точки A, а отрезки и, v и  w проекциями этого перемещения на оси координат. Переме­щения и их проекции для разных точек различны; они пред­ставляют собой непрерывные (по условиям сплошности) функции координат точки:

u =f1 (x, y, z);  v = f2 (x, y, z);  w = f3 (x, y, z).

 

Рис. 11

 

Деформированное состояние в точке А (рис. 12, а) будет известно, если будут известны деформации всех трех про­екций элементарного параллелепипеда. Для этого надо знать: относительные линейные деформации трех взаимно перпендикулярных ребер ,  и  и изме­нения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его граней, параллельных плоскостяx координат (относительные сдвиги или относительные угловые деформации ,  , .

 

 

а

б

Рис. 12

 

Относительное изменение объема элементарного параллелепи­педа при деформации

Если отбросить величины второго и третьего порядка малости,

,                                            (1.14)

где  средняя относительная линейная деформация

.

Найдем зависимости между составляющими деформациями и проекциями перемещения на оси координат. Для этого рассмотрим проекцию элементарного параллелепипеда на пло­скость хОу. Пусть заданы первоначальные координаты точки Ах и у и длины проекций ребер dx и dy (рис. 12, б). После дефор­мации тела точка А перейдет в положение A1 , а точка В — в положение В1.

Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме ли­нейного перемещения точки А и его приращения, вызванного изменением координаты х при переходе от точки А к точке В. Это приращение равно частному дифференциалу функции и = f1 (x, y, z) по переменной х. Поэтому линейное перемещение точки В равно . Кроме того, вследствие изменения перво­начального прямого угла ВАС на величину  точка В1 займет положение В'. Отрезок В1В' представляет изменение пере­мещения v точки А при переходе от точки А к точке В вдоль оси х.

Относительная деформация  ребра АВ

аналогично найдем

Изменение  прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы  и  их тангенсами,

Если пренебречь в скобках частными производными, которые малы по сравнению с единицей, то

Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выражение для относительной линейной де­формации и относительных сдвигов и . В результате получим следующие шест зависимостей между относительными деформациями и перемеще­ниями:

.                                      (1.15)

Зависимости (1.15) получены Коши. Исходя из гео­метрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению, положительное значение отно­сительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, уОz и zОx.

 

1.7  Относительная линейная деформация в произвольном направлении

Наметим внутри упругого тела две точки А (х, у, z) и В (х + dx, у + dy, z + dz), находящиеся на расстоянии dr друг от друга (рис. 13). Направляющие косинусы отрезка dr обозначим l, т и п.

Рис. 13

 

При деформации тела под влиянием внешней нагрузки, точка А перейдет в положение А1, точка В в положение В1, а отрезок dr получит приращение . Новая длина отрезка АВ

,

где  искомая относительная линейная деформация.

Проекции перемещения АА1 точки А на оси координат обоз­начаем и, v и w. Тогда  проекции  перемещения  ВВ1  точки  В  на  оси  координат  и + du,  v + dv,    w + dw.

С одной стороны 

.

С другой стороны, квадрат отрезка А1В1 равен сумме квадратов трех его проекций на оси координат:

(А1В1)2 = dx2 + dy2 + dz2 + 2dxdu + 2dydv + 2dzdw.

Тогда получим

.

Подставив выражения для полных дифференциалов переме­щений и, v и w, и заметив, что

учитывая, что l2 + m2 + п2 = 1, сокращая на 2, и используя зависимости (1.15), получаем

.                   (1.16)

Сравнение выражений (1.16) для линейной деформаций , и (1.6) для нормального напряжения  в том же направлении, показы­вает, что они по структуре одинаковы и выражение (1.16) может быть получено из формулы (1.6) путем замены с сохранением знач­ков  на  и на . Пользуясь такой заменой, можно получить все формулы теории деформации из аналогичных формул теории напряжений. В ча­стности, деформированное состояние в точке упругого тела опре­деляется матрицей компонентов тензора деформаций:

.

 

1.8. Уравнения совместности деформаций

Из уравнений (1.15) видно, что если заданы три функции и, v и w, то все шесть составляющих деформаций будут определены однозначно. Но задать эти шесть составляющих произвольно нельзя. Они должны быть связаны дополнительными зависимостями — уравнениями совместности.

Из допущения о сплошности тела следует, что перемещения в его точках должны представлять собой непрерывные и одно­значные функции от координат. Для таких функций величина их производных не зависит от порядка дифференцирования. Поэтому, если дифференцировать по различным переменным ко­ординатам уравнения перемещений, после математи­ческих преобразований можно получить искомые зависимости между составляющими относительных линейных и угловых де­формаций. Так как эти зависимости связаны с условиями сплошности тел, они называются также уравнениями неразрыв­ности.

Если эти уравнения не соблюдены, то из малых параллелепи­педов и тетраэдров, на которые можно разделить упругое тело (рис. 14,а), после деформации каждого из них, зависящей от шести составляющих (рис. 14,б), может оказаться невозможным сло­жить непрерывное деформированное тело (рис. 14, в).

 

а

б

в

Рис. 14

 

Дифференцируя первые два уравнения (1.15) для линейных деформаций, находим

.

Складывая эти выражения и учитывая выражение для угло­вой деформации , получаем

.

Произведя круговую подстановку индексов, можно получить еще два аналогичных уравнения, которые составят первую группу уравнений неразрывности

.                                   (1.17,а)

Дифференцируем уравнения для угловых деформаций (1.15), складываем первые два уравнения и вычитаем третье:

.

Дифференцируем это уравнение по  у:

.

После круговой подстановки можно получить еще два анало­гичных уравнения, которые составят вторую группу уравнений неразрывности

.                              (1.17,б)

Шесть условий (1.17,а) и (1.17,6) будут удовлетво­рены, если при решении задачи теории упругости удастся по заданным нагрузкам, действующим на тело, найти выражения для и, v и w. Если затем вычислить деформации по уравнениям (1.15), то урав­нения совместности, превратятся в тождества, так как они выведены из тех же уравнений (1.15).

Если же при решении задачи по нагрузкам найдем напря­жения, а затем деформации, необходимо проверить, удовлетво­ряют ли найденные деформации уравнениям совместности.

 Можно доказать, что уравнения совместности представляют собой необходимые условия для того, чтобы по уравнениям (1.15) можно было найти составляющие перемещения по заданным составляющим деформациям.

Таким образом, зависимости (1.17,а и 17,б) являются необхо­димыми и достаточными условиями интегрируемости формул (1.15), обеспечивающими одновременно однозначность переме­щений. Это справедливо, если тело ограничено односвязной областью, т. е. областью, в пределах которой лю­бая замкнутая кривая может быть непрерывной деформацией стянута в точку без пересечения контура области.

 

1.9 Закон Гука для изотропного тела

Опытами установлено, что для упругих тел при напряжениях меньше предела упругости компоненты матрицы тензора деформаций Те представляют собой линейные функции составляющих тензора напряжений. Они могут быть в об­щем случае представлены следующими линейными уравнениями:

.                (1.18)

Можно доказать, что для системы линейных уравнений (1.18) коэффициенты, расположенные симметрично относительно глав­ной диагонали, должны быть равны: anm = amn. Поэтому в этих уравнениях отпадает (36-6)/2=15 коэффициентов и остается  36 – 15 = 21.

Коэффициенты а11, . . ., а66, число которых 21, зависят от свойств материала и представляют собой упругие постоянные любого анизотропного материала, обладающего различными упру­гими свойствами в различных направлениях.

Для тела из однородного изотропного упругого мате­риала число произвольных постоянных может быть сокращено. Можно считать, что линейные деформации у этих материалов зависят только от нормальных напряжений, а угло­вые – только от касательных. Вследствие этого уравнения (1.18) разобьются на две системы из трех уравнений, каждая из кото­рых содержит три неизвестных. Всего останется 18 коэффициентов:

.         (1.18,а)

Коэффициенты, расположенные симметрично относительно глав­ных диагоналей, равны друг другу. Поэтому отпадает 2(9-3)/2=6 коэффициентов и остается 18 - 6 = 12.

При заданных напряжениях  и  деформации  и  не должны зависеть от выбора осей координат. Это будет соблю­даться, если еще ряд коэффициентов будет равен нулю. Например, при показанном на рис. 15,а направлении касательного напряжения  оно отрицательно. Если же направление оси х изменить на обратное, (рис. 15,б), знак напряжения  станет положительным и равен­ство между левой и правой частями четвертого уравнения (1.18а) нарушится. Этого не будет лишь в случае, когда a46 = 0; a64 = 0.

 

а

б

Рис. 15

 

Если повернуть таким же образом ось у, а затем ось z, можно установить, что

a45 = a54 = 0  и  а56 = а65 = 0.

Если повернуть одновременно оси х и у по часовой стрелке на 90°, т. е.  заменить ось Оу на Ох, а ось Ох на Оу, то в первом уравнении (1.18,а) напряженияи  поме­няются местами. При этом равенство между левой и правой ча­стями не нарушится лишь при условии а11 = а13. Аналогично во втором и третьем уравнениях (1.18,а) должно быть а21 = а22 и а31 = а32.

Если повернуть другие оси, т. е. заменить ось Оу на Оz, затем ось Оz на Ох, можно найти еще равенства

a11 = a22 = a33  и  а44 = а55 = а66.

В результате число постоянных для изотропного тела сокращается до трех, известных из курса сопротивления мате­риалов. Из них только две независимы.

Независимыми упругими постоянными могут быть любые две из следующих четырех величин: модуль продольной упругости Е, модуль сдвига G, объемный модуль упругости k и коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) . Они связаны между собой линейной зависимостью

,                                                   (1.19)

а также зависимостью (1.22).

Уравнения, связывающие составляющие тензора деформаций и составляющие тензора напряжений (закон Гука) для однород­ного изотропного упругого материала, могут быть пред­ставлены следующим образом:

1. Известными из курса сопротивления материалов выраже­ниями для составляющих деформаций

.                               (1.20)

2. Выражением, связывающим объемные характеристики. Для этого к первому из уравнений (1.20) прибавим в скобках  и , ко второму  и  и к третьему  и . Сложим все три уравнения и, с учетом формул (1.12) и (1.14), по­лучим

или

,                                                                                           (1.21)

где

                                                                                 (1.22)

назы­вается объемным модулем упругости.

1.         Уравнениями, решенными относительно составляющих на­пряжений. Для этого первое уравнение (1.20) представим, ис­пользовав формулу (1.21), в виде

       .

Решив это уравнение относительно  с учетом формулы (1.19), найдем

где

                      (1.23)

представляют собой величины, зависящие только от упругих постоянных Е и  материала, и называются коэффициентами Ламе.

Таким же преобразованием двух следующих уравнений (1.20) получим выражения для и , а решением трех последних уравнений (1.20) - выражения для . Итак:

.                                 (1.24)

 

1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах

Большая категория задач теории упругости допускает значительное упрощение математического реше­ния. Это задачи, в которых можно считать, что внешние воздей­ствия лежат в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости хОу, и что вызываемые ими напряжения и перемещения одинаковы для всех точек любой оси z, перпендикулярной этой плоскости. Напряжения по площадкам хОу и перемещения по направлению оси z или отсутствуют, или представляют собой функции напря­жений и перемещений, возникающих в плоскости хОу. Такие за­дачи объединяются общим названием — плоские задачи. Разли­чают две разновидности плоской задачи: плоское деформированное и плоское напряженное состояния.

При плоском деформированном состоянии точки тела не могут перемещаться вдоль оси z (рис.16,а) из-за препятствия со сто­роны соседних элементов (вдали от торцов при большой длине тела). Нагрузка, действующая на тело, постоянна вдоль оси z, но может меняться в плоскости хОу при условии, что она в этой плоскости уравновешена. В таком случае любой элемент толщи­ной, равной единице, вырезанный двумя параллельными сече­ниями, перпендикулярными оси z, на известном расстоянии z = а от торцов (рис. 16,б) находится в одинаковых условиях с сосед­ними и испытывает плоское деформированное состояние. Пере­мещения w вдоль оси z отсутствуют (w = 0), а два других и v) не зависят от координаты z.

При плоском напряженном состоянии размеры тела вдоль оси z малы   (рис. в), а боковые плоскости хОу свободны от нагрузки, т.е. напряжения ,  и этим плоскостям равны нулю. Ввиду малой толщины можно предположить, что и внутри тела, по плоскостям, параллельным хОу, напряжения пренебрежимо малы, а напряжения ,  и  не зависят от координаты z. Перемещения  вдоль оси z происходят, но они представляют собой функцию напряжений  и .

Основные уравнения теории упругости, применительно к указанным разновидностям плоской задачи упростятся следующим образом:

1. Плоское деформированное состояние.

Перемещения и = f1(x, y),  v = f2(x, y) и w = 0.

Деформации из уравнений Коши (1.15)

Напряжение , ,  и  не равны нулю;  .

Перейдем к уравнениям закона Гука. По третьей формуле (1.20)

откуда 

,                                                 (1.25)

т.е. напряжение  .

Подставив в формулу (1.20) выражение (1.25), получим

где приведенный модуль упругости 

приведенный коэффициент Пуассона

 

а

б

в

Рис. 16

 

Аналогично можно преобразовать вторую формулу (1.20).

Приведенный модуль сдвига 

                                                 (1.26)

Таким образом,

                                   (1.27)

2. Плоское напряженное состояние.

Перемещения  u =f1(x,y);  v = f2(x,y)  и  w = f3(x,y).

Деформации  = (x, y);  = (x, y);  = (x, y);

                        = (x, y);  .

Напряжения ,   и  не равны нулю; .

Уравнения закона Гука

                                     (1.28)

3. Уравнения, одинаковые для плоского деформированного и напряженного состояний.

Из трех уравнений равновесия (1.2) ввиду того, что все напряжения не зависят от z, a  и   равны нулю, остается два:

                                     (1.29)

Условия на поверхности (1.4) примут вид

                                         (1.30)

Для плоского напряженного состояния pNz = 0, так как . Из шести уравнений совместности (1.16) вследствие того, что , и  не зависят от z,   равно нулю или тоже не зависит от z, а и  равны нулю, останется одно

                                      (1.31,а)

Если в уравнении (1.31,а) заменить деформации напряжениями, пользуясь формулами (1.28), и получившуюся в правой части уравнения удвоенную производную  заменить выраже­нием  

полученным из уравнений (1.29) при условии отсутствия объемных сил, то уравнение совместности деформации может быть представлено в напряжениях

                   (1.31,б)

где  – оператор Лапласа.

Путем совместного решения уравнений (1.29) и (1.31,б) могут быть найдены напряжения в случае плоской задачи. Так как в эти уравнения не входят упругие постоянные, можно заключить, что напряженное состояние не зависит от материала.

В случае, если объемные силы имеют потенциал, три состав­ляющих напряжения ,  и  могут быть выражены через одну функцию, называемую функцией напряжений.  Если объемная сила имеет только одну проекцию  (например, собственный вес), то три составляющих напряжения выражаются через функ­цию напряжений следующим образом:

Можно убедиться, что эти выражения удовлетворяют уравнениям равновесия (1.29). Подставив в уравнение (1.31,б), получим бигармоническое уравнение плоской задачи

Решение плоской задачи сводится к подысканию функции , удовлетворяющей этому уравнению  и условиям на поверхности.

 

1.11 Плоская задача в полярных координатах

Если тело имеет форму кругового цилиндра или ограничено радиальными и круговыми сечениями цилиндра, пло­скую задачу проще решать не в прямоугольных, а в полярных коор­динатах.

Выделим у точки М тела произвольной формы, имеющего по­стоянную толщину в направлении оси z, равную единице, и нахо­дящегося под действием взаимно уравновешивающихся нагрузок (рис. 17,а), элемент двумя радиальными и двумя окружными сечениями и составим условия его равновесия. На элемент дей­ствуют радиальные и окружные нормальные напряжения и  касательные напряжения  и . Действующие по граням выделенного элемента напряжения, с учетом их приращения вслед­ствие изменения переменных   и  r, показаны на рис. 17,б.

а

б

в

г

Рис. 17

 

       Составим уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на биссектрису R угла  и на касательную Т к окружности радиусом

Выполняя перемножение, откидывая величины высшего по­рядка малости, сокращая подобные члены и деля на , полу­чаем по этим формулам  дифференциальные уравнения равнове­сия в полярных координатах

 .                             (1.32,а)

Учитывая, что  находим, что первые два члена в уравнениях (1.32,а) и (1.29) соответствуют друг другу. Последние члены в каждом из уравнений (1.32,а) выражают особенности полярных координат по сравнению с пря­моугольными. Чем ближе элемент к началу координат, тем они больше. Для точки в начале координат при r = 0 уравне­ния (1.32,а) неприменимы.

Закон Гука для плоского напряженного состояния

.                                        (1.33)

Для плоского деформированного состояния модуль упру­гости Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона  в формулах (1.33) заменяются приведенными величинами Е', G' и .

Уравнение совместности в полярных координатах при постоян­ных объемных силах получается из уравнения (1.31,а) путем пере­хода от декартовых координат к полярным. Координаты r и  можно представить в виде функций координат х и у:

.

Поэтому первые частные производные какой-либо функции r и  по х и у

.    

Пользуясь выражениями для r и , вычисляем входящие в последние фор­мулы  производные и после подстановки этих производных, получаем

.

Дифференцируя эти выражения, находим вторые производные. Складывая эти  производные, получаем для первой скобки уравнения (1.31,а)

.

Для того, чтобы выразить вторую скобку уравнения (1.31,б) в напряжениях  и , соответствующих полярным координатам, воспользуемся формулой (1.6). Площадки, по которым действуют нормальные напряжения  и , находим, поворачивая оси координат х и у на угол  вокруг оси z, как по­казано на рис. 17,в. Направляющие косинусы для повернутых осей даны в табл. 2.

                                                                                                                                            

                                                                                                                                             Таблица 2

Оси

x

y

z

х1

l1 = cos

m1 = sin

n1 = 0

у1

l2 = - sin

m2 = cos

n2 = 0

z1

l3 = 0

m3 =0

n3 = 1

 

Подставляя в формулу (1.6) соответствующие значения коси­нусов, получаем для напряжений в полярных координатах (рис. 17,г)

 .

Сложение этих формул показывает, что . Тогда уравнение совместности (1.31,б) в полярных координатах принимает вид

.                   (1.34,а)

Если объемные силы имеют потенциал, все три составляющих напряжения ,  и  в полярных координатах могут быть выражены через одну функцию (r,) напряжений. При отсутствии объемных сил, напряжения вы­ражаются через функцию j следующим образом:

 . 

При подстановке этих выражений в дифференциальные уравне­ния (1.32,а) последние превращаются в тождества.

Уравнение совместности (1.34,а), выраженное через функцию напряжений, примет вид

.             (1.34,б)

В случае осесимметричной плоской задачи при нагрузке, сим­метричной относительно оси z, касательные напряжения по граням элемента отсутствуют и дифференциальные уравнения равновесия (1.32,а) имеют вид

 .                              (1.32,б)

Перемещение в случае осесимметричной плоской задачи проис­ходит только в радиальном направлении на рис. 17, а) и не зависит от . В окружном направлении в этом случае перемещение отсутствует.

Относительная линейная деформация в радиальном направле­нии

.                               (1.35,а)

Относительная линейная деформация в окружном направлении

.                              (1.35,б)

Относительный сдвиг .

 

1.12 Возможные решения задач теории упругости

В 15 уравнениях (1.2), (1.15), (1.24) являются неизвестными шесть компонентов напряжений (, , , , , ), шесть компонентов деформации (, , , , , ) и три ком­понента перемещений (и, v, w), т.е. всего 15 неизвестных. Таким образом, с математической точки зрения задача сводится к нахождению 15 функций, удовлетворяющих 15 уравнениям, а также усло­виям на контуре.

При прямом решении задачи, когда в решении участвуют все 15 уравнений, уравнения неразрывности де­формаций, как вытекающие из (1.15) не нужны и могут исполнять роль контрольных уравнений.

Решение указанных трех групп уравнений можно вести разными путями в зависимости от того, что инте­ресует в первую очередь. В связи с этим можно отметить. три направления.

1.          Принять за основные неизвестные перемещения точек упругого тела; тогда имеем три неизвестных функции

u = f1(x,y,z),  v = f2(x,y,z),  w =f3(x,y,z).                        (1.36)

Для получения решений надлежит в физи­ческие уравнения (1.24) подставить геометрические соотноше­ния (1.15), т. е. выразить напряжения через перемещения, и затем полученные выражения подставить в урав­нения равновесия, в результате чего получим три уравнения

(u,v,w)=0, (u,v,w)=0, (u,v,w)=0.                       (1.37)

решение которых приведет к выражениям типа (1.36). Назовем этот метод методом перемещений.

2.          Принять за неизвестные напряжения; тогда имеем шесть неизвестных функций

= Ф1(x,y,z),  = Ф2(x,y,z), = Ф3(x,y,z),

= Ф4(x,y,z), = Ф5(x,y,z), = Ф6(x,y,z).                       (1.38)

Так как напряжения из уравнений равновесия непосред­ственно не определяются, надо обратиться к уравнениям деформаций. Используя, например, уравнения неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б) с помощью (1.2) и (1.24) можно получить урав­нения в форме:

F1(,…,) = 0 … Fe(,…,) = 0.                           (1.39)

дальнейшее решение которых приведет к выражениям типа (1.38). Назовем этот метод методом сил.

3. Очевидно, возможен смешанный, метод, когда за ос­новные неизвестные приняты некоторые из перемещений и некоторые из напряжений.

Что касается способов математического решения полу­ченной системы уравнений, то здесь мож­но указать несколько направлений.

а) Точное решение прямой задачи, т. е. непосредствен­ное интегрирование уравнений (1.37) или (1.39).

Основные затруднения при решении прямой задачи теории упругости заключаются обычно в точном удовлетворении ре­шения (1.36) или (1.38) граничным условиям. Эти трудности сни­маются при решении обратной задачи.

б) Решение обратной задачи, является сравнительно простым (так как связано лишь с дифференцированием функций).

Так, например, задаются перемещениями как функциями координат точки (х, у, z) и разыскивают на основании ус­ловий (1.15) деформации, а по ним с помощью (1.24) напряжения; знание последних дает возможность с помощью (1.4) уста­новить поверхностные условия, т. е. внешние нагрузки, которым соответствуют заданные перемещения.

Располагая несколькими решениями обратных задач, каж­дая из которых соответствует своим граничным условиям, можно комбинированием таких решений полу­чить решение и для некоторых прямых задач.

в) Оказался вполне удобным полуобратный способ Сен-Венана, согласно которому задают часть внешних сил и часть перемещений и разыскивают остальные факторы из ус­ловия удовлетворения соответствующих уравнений указанных .выше групп.

Для облегчения решения некоторых уравнений теории упругости оказывается целесообразным способ по­следовательных приближений.

Одной из разновидностей такого способа оказывается использование в некоторых задачах вначале тех решений, которые являются каким-либо элементарным решением, например, найденным в курсе сопротивления ма­териалов. Подстановка этих решений в уравнения теории упругости приводит к некоторым несоответствиям, из анализа которых можно найти путь корректи­ровки предварительного решения, если и не дающий в итоге точного решения задачи, то приводящий к удовлетворитель­ному для практики приближенному решению (более стро­гому, чем исходное элементарное решение).

 

1.13 Решение задач в перемещениях

Из уравнения (1.24) с помощью (1.15) имеем:

            (1.40)

где 

Дифференцируя (1.40) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:

 .       (1.41)

Выражение в первой скобке может быть записано так:

.

Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав  круговую подстановку букв.

Итак, приходим к следующей системе основных уравне­ний метода перемещений теории упругости:

.                                (1.42)

Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они яв­ляются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.

Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.

Подставив в первое уравнение (1.4) на место на­пряжений выражения для них в форме (1.40), имеем:

 .                  (1.43)

Уравнения (1.42) совместно с условиями на поверхности (1.43) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.

 

1.14 Решения задач в напряжениях

В противоположность приему, принятому в предыдущем разделе, когда во всех преобразованиях преследовали цель выразить неизвестные через перемещения, можно по­ставить другую: все выражать через напряжения. Сообщим окончательные результаты и ограничимся случаем статического равновесия тела при ус­ловии отсутствия объемных сил или их постоянства.

Трех условий равновесия (1.2) недостаточно, и надо обратиться к условиям неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б). Так как в последние входят деформации, их необходимо выразить через напряжения с помощью (1.24). Выпол­нив эту подстановку и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (1.2), уравнения неразрывности преобразуют к сле­дующему виду (уравнения Бельтрами):

 ,                                     (1.44)

где   .

Таким образом, для решения задачи придется проинтегри­ровать девять уравнений (1.2), (1.44), а входящие в общие ре­шения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.4).

 

1.15 Случай температурного поля

Если элементарный параллелепипед, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформация характеризовалась бы следующими ком­понентами:   

где а – коэффициент линейного теплового расширения и Т — температура. Будем полагать, что рассматриваемое тем­пературное поле не слишком высокое, чтобы могли изме­ниться упругие характеристики материала (в частности - модуль упругости).

При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации, используя (1.20), запишем так:

 .                                (1.45)

Если в первых трех выражениях аТ перевести в левую часть равенств и обозначить

то уравнения (1.45) примут вид, сходный с (1.20) с заменой на ,  на  и на .

В таком случае можно использовать вариант обобщенного закона Гука. Тогда получим:

 .                             (1.46)

где  .

Компоненты уравнений теории упругости для решения такой задачи будут складываться из прежних дифференциальных уравнений равновесия (1.2), прежних геометрических уравнений (1.15), прежних условий на границе (1.4) и новых физических уравнений (1.45) или (1.46), составленных для случая теплового эффекта.

Эти уравнения можно переписать в виде:

 .                      (1.47)

Если теперь проделать выкладки, как в разделе 1.13, то взамен (1.42) придем к уравнениям

                 (1.48)

Сравнивая (1.48) с (1.47), можно заключить, что при вычисле­нии перемещений неравномерность нагрева тела как бы равно­сильна добавлению к реальным объемным силам (X, Y, Z) не­которых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных   а при вычислении напряжений (1.47) появлению до­полнительных членов, пропорциональных температуре.

 

1.15 Краткие выводы

1. Цель математической теории упругости – определить напряжения и деформации при любых нагрузках на границе и внутри упругого тела любой форы.

В отличие от сопротивления материалов, базирующегося на гипотезе плоских сечений и других упрощенных предполо­жениях, теория упругости ставит целью относительно стро­гое решение задачи при минимальном количестве исходных гипотез.

Задачей точного решения в теории упругости является получение такой системы функций напряжений, смещений и деформаций, чтобы в каждой точке внутри тела были обеспе­чены условия равновесия и условия непрерывности (сплош­ности) тела, а у границы тела внутренние силы находились бы в равновесии с внешними силами, действующими на поверх­ностях (на границе) тела.

2. Для этой цели теория упругости располагает следую­щими группами уравнений:

а) тремя статическими, уравнениями, справедливыми для каждой точки внутри тела, из которых следует, что интен­сивности изменения (градиенты) нормальных и касательных напряжений вдоль координатных осей и сами напряжения между собой не являются независимыми и подчинены опре­деленным дифференциальным соотношениям (1.2).

б) шестью геометрическими уравнениями (1.15), справедливы­ми для каждой точки внутри тела, из которых, с одной стороны, следует, что компоненты деформации (удлинения и сдвиги) связаны дифференциальными соотношениями с функ­циями смещений, а с другой стороны (как следствие), интен­сивности изменения деформаций вдоль координатных осей и сами деформации между собой не являются независимыми и подчинены определенным дифференциальным соотношениям, именуемым уравнениями неразрывности деформации (1.17,а) и (1.17,б).

в) шестью физическими уравнениями (1.24), справедливыми для каждой точки внутри тела и связывающими компоненты напряжений в каждой точке с компонентами деформации для той же точки.

Иначе говоря, в каждом конкретном теле (со своими уп­ругими характеристиками) указанные непрерывные функции для компонентов напряжений, деформаций и смещений оказываются взаимосвязанными, т. е. существует связь не только между функциями, входящими в каждую отдельную группу, но одной группы уравнений с уравнениями другой группы. Эта взаимо­связь предопределяется физической природой исследуемого тела.

3. В указанные три группы уравнений, составляющие в итоге пятнадцать уравнений, входят пятнадцать неизвестных функций. Принципиально может быть найдено бесчисленное множество решений, каждое из которых обратило бы в тождество все перечисленные уравнения, т. е. обеспечило бы равновесие и непрерывность тела в окрестности любой точки внутри тела. Однако каждое из таких решений соответство­вало бы своим особым статическим условиям (внешним нагрузкам) и кинематическим условиям на поверхности тела (наличие или отсутствие тех или иных связей). Поэтому истинным решением задачи будет то, которое увязано с конкретными, заданными граничными условиями и потому конкретное решение должно удовлетворять действительным граничным условиям. Часто эти условия задаются в статическом плане и для каждой точки на грани­це тела представляются тремя граничными условиями (1.4).


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов