Главная

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Задача 15.1.

Для одной из оболочек, изображенных в таблице 15.2 требуется:

а) Определить начальные параметры M₀, Q₀;

б) Построить эпюры моментов изгибающих, поперечных сил, прогибов, углов поворота по длине оболочки,

в) Определить опасное сечение и вычислить нормальные меридиональные и окружные напряжения.

Толщина цилиндра и сферы постоянна, равна h. Радиус срединных поверхностей – r. Оболочка загружена внутренней распределенной нагрузкой q.

Исходные данные для расчета принять из таблиц 15.1 и 15.2

Таблица 15.1

Номер cтроки	Номер схемы по табл.15.2	l, м	h, м	r, м	q, кН/м^2	E, МПа
01	1	0,25	0,004	0,06	5	210
02	2	0,28	0,005	0,055	4	210
03	3	0,26	0,003	0,075	6	200
04	1	0,24	0,0025	0,08	2	200
05	2	0,22	0,006	0,065	4	210
06	3	0,23	0,0045	0,07	2	200
07	1	0,20	0,003	0,08	3	200
08	2	0,22	0,004	0,085	6	210
09	3	0,26	0,006	0,065	5	210
10	1	0,28	0,009	0,065	6	200
11	2	0,28	0,008	0,08	6	200
12	3	0,22	0,003	0,055	2	210
13	1	0,23	0,003	0,09	4	210
14	2	0,22	0,0025	0,065	2	200
15	3	0,23	0,005	0,085	3	200
16	1	0,24	0,006	0,06	6	210
17	2	0,25	0,006	0,09	5	200
18	3	0,28	0,007	0,075	6	200
19	1	0,30	0,008	0,08	2	210
20	2	0,20	0,008	0,075	4	200
21	3	0,25	0,006	0,065	2	200
22	1	0,25	0,005	0,075	3	210
23	2	0,26	0,006	0,3	6	200
24	3	0,24	0,007	0,25	5	200
25	1	0,25	0,005	0,3	6	210
26	2	0,25	0,005	0,06	6	210
27	3	0,28	0,006	0,055	2	210
28	1	0,26	0,006	0,075	4	200
29	2	0,24	0,007	0,08	2	200
30	3	0,22	0,008	0,065	3	210
31	1	0,23	0,008	0,07	6	200
32	2	0,20	0,006	0,08	5	200
33	3	0,22	0,005	0,085	6	210
34	1	0,26	0,006	0,065	2	210
35	2	0,28	0,007	0,065	4	200
36	3	0,28	0,005	0,08	6	200
	а	в	б	а	г	б

Таблица 15.2. Расчетные схемы оболочек

№ п/п	Схема
1
2
3

Пояснения к решению задачи

Введение

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми незначительно по сравнению с размерами поверхностей.

1. Линии и радиусы поверхности оболочки

Плоскость, пересекающая поверхность оболочки и проходящая через ось вращения, образует меридиональную линию или меридиан. Линии, перпендикулярные меридианам и оси вращения называют параллелями. Поверхность, равноудаленная от внешней и внутренней поверхностей оболочки, называют срединной и имеющей двояковую кривизну.

Радиус кривизны меридиана – радиус кривизны параллели – . Радиусы и – главные радиусы кривизны поверхности вращения. Важное значение при изучении свойств поверхности имеет гауссова кривизна . На рис. 15.1 даны некоторые формы меридианов при соответствующих К.

При K – меридианы выпуклые (рис. 15.1, а); K – меридианы прямые линии (рис. 1, б); K – меридианы вогнутые (рис. 1, в), при этом, если , то .

а) б) в)

Рис. 15.1

2. Безмоментная теория осесимметрично нагруженных оболочек

Примером безмоментного состояния служит напряженное состояние, возникающее в оболочке под действием равномерного внутреннего давления. Оболочка испытывает только растяжение. В этом заключается ее преимущество как конструктивного элемента.

В стенках оболочки возникают нормальные меридиональные σ_m и окружные σ_t напряжения (рис. 15.2, а).

Основным признаком безмоментного состояния будет ,

где ε– относительное удлинение срединной поверхности; χ – относительное изменение кривизны; h – толщина стенки. Так напряжение растяжения , а напряжение изгиба – , то, в виду незначительности величины , напряжением σ_u можно пренебречь.

а) б)

Рис. 15.2

Рассмотрим равновесие сил, возникающих от действия внутреннего давления q на элементарной площади и усилий от напряжений меридионального σ_m и тангенциального σ_t с площадями и . На рис. 15.2, б показана меридиональная плоскость. Спроецируем все усилия на общую нормаль n-n:

Заменим синус его аргументом ввиду малости угла и разделим выражение (1) на получим

или, с учетом равенства

окончательно определим

Зависимость (2) называют уравнением Лапласа.

Если принять , то ; и уравнение (2) можно представить как

В уравнение входят два неизвестных напряжения σ_m и σ_t. Определим сначала σ_m, используя уравнение равновесия согласно рис. 15.3.

Рис. 15.3

Вырежем часть оболочки вращения, заполненной жидкостью.

Q – веса части жидкости и емкости, лежащие ниже рассматриваемого слоя, q– давление в жидкости с учетом избыточного (по закону Паскаля) ,

где q₀ – избыточное давление в емкости; H – глубина рассматриваемого слоя; γ– объемный вес жидкости. Площадь окружного сечения емкости рассчитаем как: .

Спроецируем силы на ось O - O:

Отсюда:

Подставив (4) в уравнение (2), определим σ_t.

Рассмотрим конкретные расчетные схемы.

3. Сферический сосуд под внутренним давлением q

Рис. 15.4

Считаем, что , а (рис. 4), определим

Согласно закона Гука для плоского деформированного состояния, относительная радиальная деформация . В нашем примере

где w – абсолютное приращение радиуса сферы под давлением q.

Считая , с учетом (5) и выражениях относительных деформаций, определим абсолютную деформацию

.

Таким образом,

4. Цилиндрический котел под внутренним давлением

Рис. 15.5

Меридианами считаем образующие котла (см. рис.15.5), т. е. ; , следовательно .

Меридиональное напряжение определим, рассматривая равновесие правой отсеченной части котла по сечению C-C.

Следовательно, окружное напряжение в два раза больше меридионального. Используя выкладки предыдущего примера, выразим абсолютное радиальное перемещение

Отсюда,

5. Подвешенная цилиндрическая оболочка с коническим днищем

Наполнена жидкостью объемным весом γ, (см. рис. 15.6).

Определить напряжения σ_t , σ_m в цилиндрической и конической частях, построить эпюры напряжений.

Начало вертикальной координаты x в днище оболочки; r_y – текущий радиус конической части; 2α – угол конуса днища.

Рассмотрим коническую часть.

Давление жидкости на глубине H+H₁-x равно .

Т. к. ; . Проекция ρ_t на горизонтальную ось . Выразим r_y через радиус оболочки . Окружное напряжение конической части примет вид:

Рис. 15.6

При x=H₁; ;

при x=-(H+H₁); (см. эп., рис. 15.6).

Цилиндрическая часть.

Воспользуемся уравнением (4):

Выразим q через объемный вес, r_y – через радиус оболочки.

Вес жидкости в конической части высотой x равен объему конуса на объемный вес жидкости

При x=H₁; ;

при x=H₁; и α=0; .

Эпюры σ_m даны на рис. 15.6. Разрывы на эпюрах вызваны краевыми эффектами.

6. Краевой эффект в цилиндрической оболочке (моментная теория расчета оболочек)

Длинные цилиндрические оболочки соединены фланцами, являющимися более жесткими по отношению к оболочкам. Оболочка, находящаяся под внутренним давлением q может увеличить начальный диаметр. Вследствие этого на некотором участке от фланца стенки оболочки получают искривление. Исследуем напряженное состояние и изгиб стенок оболочки (краевой эффект), считая, что продольные усилия в поперечном сечении отсутствуют.

Рис. 15.7

В общем случае изгиб цилиндрической оболочки включает десять уравнений равновесия элемента. Из них поперечная сила Q_y=0; моменты крутящие ; сдвигающие силы .

Погонные моменты M_x и поперечные силы N_y, в виду симметрии относительно оси X не получают приращения в радиальных сечениях. Остальные уравнения равновесия, согласно рис. 15.7, при h=1:

отсюда

Заменим , сократив на dφ∙dx, получим

Второе слагаемое, в виду малости, отбрасываем, получим . Подставим данное выражение в (10), имеем

В выражении (10) два неизвестных. Введем дополнительное уравнение погонных продольных сил

В дальнейшем, от дифференциальных уравнений в усилиях перейдем к дифференциальным уравнениям в радиальных перемещениях. Для этого выразим усилия через деформации, а деформации – через перемещения.

Закон Гука при плоском напряженном состоянии (σ_z=0):

Усилия при ширине вырезанного участка, равного единице, примут вид

Приравняем N_x выражений (12) и (14), получим

Относительная радиальная деформация, при условии сохранения формы окружности,

Погонная поперечная сила N_y, с учетом (15) и (16), равна

Дополнительный погонный изгибающий момент от силы N_x имеет значение

Изгибающие моменты от внутреннего давления q, соответственно равны,

При равномерном радиальном расширении цилиндрической оболочки приращение перемещения к приращению радиуса остается постоянным, поэтому моменты примут вид

Полный момент

Подставим (17) в (11), имеем раскрывая полученное выражение, учетом (12) и (17), окончательно определяем или

Выражение (21) – дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в перемещениях.

Влияние продольной силы N_x на изменение w незначительно и ею можно пренебречь. Тогда (равенство нулю N_x) приближенное уравнение равновесия примет вид Данное выражение можно записать как

Уравнение (22) можно преобразовать, обозначив

где – коэффициент затухания перемещений, 1/м.

При q=0 уравнение (23) примет вид (24)

балки на упругом основании.

Четырежды интегрируя уравнение (23), получим перемещение срединной поверхности оболочки

где f(x) – частное решение; при q=const по всей длине оболочки, .

Следовательно, все силы и моменты можно определить как

Угол наклона касательной к срединной поверхности

7. Расчет длинной цилиндрической оболочки (защемление с двух сторон)

Признаком длинной оболочки считают выражение .

В уравнении (25) при ; , что противоречит условию закрепления второго торца, следовательно, C₁ и C₂ равны нулю.

Уравнение (25) примет вид

. (26)

а) б)

Рис. 15.9

На рис. 15.9 показана половина оболочки с защемлением левого торца, загруженная внутренним давлением q.

Расчетную схему представим как цилиндрическую оболочку, загруженную по левому торцу моментом и силой. Это возможно, если отделить массивный фланец от цилиндрической оболочки (рис.15.9 б).

Для определения C₃ и C₄ продифференцируем уравнение (26):

При x=0;

где Q₀ и M₀ – поперечная сила и момент в защемлении.

Приравняем выражения (26б) и (26в), соответственно M₀ и Q₀, получим

Частное решение уравнения (26) получим согласно граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба и угла поворота срединной поверхности оболочки ; .

По уравнению (26) имеем ; по уравнению (26а) – C₃=C₄. В уравнении (27) заменим . После преобразования, получим , учитывая, что .

Произведя замену и, с учетом уже известного выражения , получим значение .

Используя зависимости внутренних силовых факторов от производных w, определим и построим их эпюры.

Согласно условию прочности, определим окружное и тангенциальное напряжения и , сравним с допускаемыми. В случае невыполнения, произведем коррекцию толщины оболочки.

8. Расчет цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по концам

Расчетная схема представлена рис. 15.10.

Рис.15.10

Уравнение прогиба цилиндрической оболочки, согласно (26),

.

Граничные условия: x=0; ;

Определение значения Q₀.

Уравнение (26) преобразуем к виду:

Частное решение уравнения (26) получим согласно граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба срединной поверхности оболочки :

Уравнения углов поворота срединной поверхности, погонного момента меридионального и погонной поперечной силы, соответственно, примут выражения: