Расчетно-графические работы

 

Главная

 

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Задача 15.1.

Для одной из оболочек, изображенных в таблице 15.2 требуется:

а) Определить начальные параметры M0, Q0;

б) Построить эпюры моментов изгибающих, поперечных сил, прогибов, углов поворота по длине оболочки,

в) Определить опасное сечение и вычислить нормальные меридиональные и окружные напряжения.

Толщина цилиндра и сферы постоянна, равна h.  Радиус срединных поверхностей – r. Оболочка загружена внутренней распределенной нагрузкой q.

Исходные данные для расчета принять из таблиц 15.1 и 15.2

 

Таблица 15.1

Номер

cтроки

Номер схемы

по табл.15.2

l,

м

 h,

м

r,

м

q,

кН/м2

E,

МПа

01

1

0,25

0,004

0,06

5

210

02

2

0,28

0,005

0,055

4

210

03

3

0,26

0,003

0,075

6

200

04

1

0,24

0,0025

0,08

2

200

05

2

0,22

0,006

0,065

4

210

06

3

0,23

0,0045

0,07

2

200

07

1

0,20

0,003

0,08

3

200

08

2

0,22

0,004

0,085

6

210

09

3

0,26

0,006

0,065

5

210

10

1

0,28

0,009

0,065

6

200

11

2

0,28

0,008

0,08

6

200

12

3

0,22

0,003

0,055

2

210

13

1

0,23

0,003

0,09

4

210

14

2

0,22

0,0025

0,065

2

200

15

3

0,23

0,005

0,085

3

200

16

1

0,24

0,006

0,06

6

210

17

2

0,25

0,006

0,09

5

200

18

3

0,28

0,007

0,075

6

200

19

1

0,30

0,008

0,08

2

210

20

2

0,20

0,008

0,075

4

200

21

3

0,25

0,006

0,065

2

200

22

1

0,25

0,005

0,075

3

210

23

2

0,26

0,006

0,3

6

200

24

3

0,24

0,007

0,25

5

200

25

1

0,25

0,005

0,3

6

210

26

2

0,25

0,005

0,06

6

210

27

3

0,28

0,006

0,055

2

210

28

1

0,26

0,006

0,075

4

200

29

2

0,24

0,007

0,08

2

200

30

3

0,22

0,008

0,065

3

210

31

1

0,23

0,008

0,07

6

200

32

2

0,20

0,006

0,08

5

200

33

3

0,22

0,005

0,085

6

210

34

1

0,26

0,006

0,065

2

210

35

2

0,28

0,007

0,065

4

200

36

3

0,28

0,005

0,08

6

200

 

а

в

б

а

г

б

 

Таблица 15.2. Расчетные схемы оболочек

п/п

Схема

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

Пояснения к решению задачи

 

Введение

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми незначительно по сравнению с размерами поверхностей.

 

1. Линии и радиусы поверхности оболочки

Плоскость, пересекающая поверхность оболочки и проходящая через ось вращения, образует меридиональную линию или меридиан. Линии, перпендикулярные меридианам и оси вращения называют параллелями. Поверхность, равноудаленная от внешней и внутренней поверхностей оболочки, называют срединной и имеющей двояковую кривизну.

Радиус кривизны меридиана –  радиус кривизны параллели – . Радиусы  и  – главные радиусы кривизны поверхности вращения. Важное значение при изучении свойств поверхности имеет гауссова кривизна . На рис. 15.1 даны некоторые формы меридианов при соответствующих К.

При K – меридианы выпуклые (рис. 15.1, а); K – меридианы прямые линии (рис. 1, б); K  – меридианы вогнутые (рис. 1, в), при этом, если , то .

а)                            б)                             в)

Рис. 15.1

 

2. Безмоментная теория осесимметрично нагруженных оболочек

Примером безмоментного состояния служит напряженное состояние, возникающее в оболочке под действием равномерного внутреннего давления. Оболочка испытывает только растяжение. В  этом заключается ее преимущество как конструктивного элемента.

В стенках оболочки возникают нормальные меридиональные σm и окружные σt напряжения (рис. 15.2, а).

Основным признаком безмоментного состояния будет ,

где ε– относительное удлинение срединной поверхности; χ – относительное изменение кривизны; h – толщина стенки. Так напряжение растяжения , а напряжение изгиба – , то, в виду незначительности величины , напряжением σu можно пренебречь.

 

а)                                                                                   б)

Рис. 15.2

 

Рассмотрим равновесие сил, возникающих от действия внутреннего давления q на элементарной площади  и усилий от напряжений  меридионального σm и тангенциального σt с площадями  и . На рис. 15.2, б показана меридиональная плоскость. Спроецируем все усилия на общую нормаль n-n:

Заменим синус его аргументом ввиду малости угла и разделим выражение (1) на  получим


 

или, с учетом равенства

окончательно определим

Зависимость (2) называют уравнением Лапласа.

Если принять , то ;  и уравнение (2) можно представить как

В уравнение входят два неизвестных напряжения σm и σt. Определим сначала σm, используя уравнение равновесия согласно рис. 15.3.

Рис. 15.3

 

Вырежем часть оболочки вращения, заполненной жидкостью.

Qвеса части жидкости и емкости, лежащие ниже рассматриваемого слоя, q давление в жидкости с учетом избыточного (по закону Паскаля) ,

где q0 – избыточное давление в емкости; H – глубина рассматриваемого слоя; γ– объемный вес жидкости. Площадь окружного сечения емкости рассчитаем как: .

Спроецируем силы на ось O - O:

Отсюда:

Подставив (4) в уравнение (2), определим σt.

Рассмотрим конкретные расчетные схемы.

 

3. Сферический сосуд под внутренним давлением q

Рис. 15.4

 

Считаем, что , а  (рис. 4), определим

Согласно закона Гука для плоского деформированного состояния, относительная радиальная деформация . В нашем примере

где w – абсолютное приращение радиуса сферы под давлением q.

Считая , с учетом (5) и выражениях относительных деформаций, определим абсолютную деформацию

.

Таким образом,

 

4. Цилиндрический котел под внутренним давлением

Рис. 15.5

 

Меридианами считаем образующие котла (см. рис.15.5), т. е. ; , следовательно .

Меридиональное напряжение определим, рассматривая равновесие правой отсеченной части котла по сечению C-C.

Следовательно, окружное напряжение в два раза больше меридионального. Используя выкладки предыдущего примера, выразим абсолютное радиальное перемещение

Отсюда,

 

5. Подвешенная цилиндрическая оболочка с коническим днищем

Наполнена жидкостью объемным весом γ, (см. рис. 15.6).

Определить напряжения σt , σm в цилиндрической и конической  частях, построить эпюры напряжений.

Начало вертикальной координаты x в днище оболочки; ry – текущий радиус конической части; 2α – угол конуса днища.

 

Рассмотрим коническую часть.

Давление жидкости на глубине H+H1-x  равно .

Т. к. ; . Проекция ρt на горизонтальную ось . Выразим ry через радиус оболочки . Окружное напряжение конической части примет вид:

Рис. 15.6

 

При x=H1; ;

при x=-(H+H1);  (см. эп., рис. 15.6).

 

Цилиндрическая часть.

Воспользуемся уравнением (4):



Выразим q через объемный вес, ry – через радиус оболочки.

Вес жидкости в конической части высотой x равен объему конуса на объемный вес жидкости

При x=H1; ;

при x=H1; и α=0; .

Эпюры σm даны на рис. 15.6. Разрывы на эпюрах вызваны краевыми эффектами.

 

6. Краевой эффект в цилиндрической оболочке (моментная теория расчета оболочек)

Длинные цилиндрические оболочки соединены фланцами, являющимися более жесткими по отношению к оболочкам. Оболочка, находящаяся под внутренним давлением q может увеличить начальный диаметр. Вследствие этого на некотором участке от фланца стенки оболочки получают искривление. Исследуем напряженное состояние и изгиб стенок оболочки (краевой эффект), считая, что продольные усилия в поперечном сечении отсутствуют.

Рис. 15.7

 

В общем случае изгиб цилиндрической оболочки включает десять уравнений равновесия элемента. Из них поперечная сила Qy=0; моменты крутящие ; сдвигающие силы .

Погонные моменты Mx и  поперечные силы Ny, в виду симметрии относительно оси X не получают приращения в радиальных сечениях. Остальные уравнения равновесия, согласно рис. 15.7, при h=1:

    отсюда  

Заменим , сократив на dx, получим

 

Второе слагаемое, в виду малости, отбрасываем, получим . Подставим данное выражение в (10), имеем

В выражении (10) два неизвестных.  Введем дополнительное уравнение погонных продольных сил

В дальнейшем, от дифференциальных уравнений  в усилиях перейдем к дифференциальным уравнениям в радиальных перемещениях. Для этого выразим усилия через деформации, а деформации – через перемещения.

Закон Гука при плоском напряженном состоянии (σz=0):

Усилия при ширине вырезанного участка, равного единице, примут вид

Приравняем Nx выражений (12) и (14), получим

Относительная радиальная деформация, при условии сохранения формы окружности,

Погонная поперечная сила Ny, с учетом (15) и (16), равна

Дополнительный погонный изгибающий момент от силы Nx имеет значение

Изгибающие моменты от внутреннего давления q, соответственно равны,

При равномерном радиальном расширении  цилиндрической оболочки  приращение перемещения к приращению радиуса остается постоянным,  поэтому моменты примут вид

Полный момент

Подставим (17) в (11), имеем  раскрывая полученное выражение, учетом (12) и (17), окончательно определяем       или

Выражение (21) – дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в перемещениях.

Влияние продольной силы Nx на изменение w незначительно и ею можно пренебречь. Тогда (равенство нулю Nx) приближенное уравнение равновесия примет вид  Данное выражение можно записать как

Уравнение (22) можно преобразовать, обозначив

где  – коэффициент затухания перемещений, 1/м.

При q=0 уравнение (23) примет вид           (24)

балки на упругом основании.

Четырежды интегрируя уравнение (23), получим перемещение срединной поверхности оболочки

где  f(x) – частное решение; при q=const по всей длине оболочки, .

Следовательно, все силы и моменты можно определить как

Угол наклона касательной к  срединной поверхности

 

7. Расчет длинной цилиндрической оболочки (защемление с двух сторон)

Признаком длинной оболочки считают выражение .

В уравнении (25) при ; , что противоречит условию закрепления второго торца, следовательно, C1 и C2 равны нулю.

Уравнение (25) примет вид

.                      (26)

              а)                                                                          б)

Рис. 15.9

 

На рис. 15.9 показана половина оболочки с защемлением левого торца, загруженная внутренним давлением q.

Расчетную схему представим как цилиндрическую оболочку, загруженную по левому торцу моментом и силой. Это возможно, если отделить массивный фланец от цилиндрической оболочки (рис.15.9 б).

Для определения C3 и C4 продифференцируем уравнение (26):

При x=0;   

где Q0 и M0 – поперечная сила и момент в защемлении.

Приравняем выражения (26б) и (26в), соответственно M0 и Q0, получим

Частное решение уравнения (26) получим согласно граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба и угла поворота срединной поверхности оболочки ;   .

По уравнению (26) имеем ; по уравнению (26а) – C3=C4. В уравнении (27) заменим . После преобразования, получим , учитывая, что .

Произведя замену  и, с учетом уже известного выражения , получим значение .

Используя зависимости внутренних силовых факторов от производных w, определим и построим их эпюры.

Согласно условию прочности, определим окружное и тангенциальное напряжения  и , сравним с допускаемыми. В случае невыполнения, произведем коррекцию толщины оболочки.

 

8. Расчет цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по концам

Расчетная схема представлена рис. 15.10.

 

Рис.15.10

 

Уравнение прогиба цилиндрической оболочки, согласно (26),

.

Граничные условия: x=0;    ;

Определение значения Q0.

Уравнение (26) преобразуем к виду:

Частное решение уравнения (26) получим согласно граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба срединной поверхности оболочки :

Уравнения углов поворота срединной поверхности, погонного момента меридионального и погонной поперечной силы, соответственно, примут выражения: