РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Задача 15.1.
Для одной из оболочек, изображенных
в таблице 15.2 требуется:
а) Определить начальные параметры M0, Q0;
б) Построить эпюры моментов изгибающих, поперечных
сил, прогибов, углов поворота по длине оболочки,
в) Определить опасное сечение и вычислить нормальные
меридиональные и окружные напряжения.
Толщина цилиндра и сферы постоянна, равна h. Радиус срединных поверхностей – r. Оболочка
загружена внутренней распределенной нагрузкой q.
Исходные данные для расчета принять из таблиц 15.1 и
15.2
Таблица 15.1
Номер cтроки |
Номер схемы по табл.15.2 |
l, м |
h, м |
r, м |
q, кН/м2 |
E, МПа |
01 |
1 |
0,25 |
0,004 |
0,06 |
5 |
210 |
02 |
2 |
0,28 |
0,005 |
0,055 |
4 |
210 |
03 |
3 |
0,26 |
0,003 |
0,075 |
6 |
200 |
04 |
1 |
0,24 |
0,0025 |
0,08 |
2 |
200 |
05 |
2 |
0,22 |
0,006 |
0,065 |
4 |
210 |
06 |
3 |
0,23 |
0,0045 |
0,07 |
2 |
200 |
07 |
1 |
0,20 |
0,003 |
0,08 |
3 |
200 |
08 |
2 |
0,22 |
0,004 |
0,085 |
6 |
210 |
09 |
3 |
0,26 |
0,006 |
0,065 |
5 |
210 |
10 |
1 |
0,28 |
0,009 |
0,065 |
6 |
200 |
11 |
2 |
0,28 |
0,008 |
0,08 |
6 |
200 |
12 |
3 |
0,22 |
0,003 |
0,055 |
2 |
210 |
13 |
1 |
0,23 |
0,003 |
0,09 |
4 |
210 |
14 |
2 |
0,22 |
0,0025 |
0,065 |
2 |
200 |
15 |
3 |
0,23 |
0,005 |
0,085 |
3 |
200 |
16 |
1 |
0,24 |
0,006 |
0,06 |
6 |
210 |
17 |
2 |
0,25 |
0,006 |
0,09 |
5 |
200 |
18 |
3 |
0,28 |
0,007 |
0,075 |
6 |
200 |
19 |
1 |
0,30 |
0,008 |
0,08 |
2 |
210 |
20 |
2 |
0,20 |
0,008 |
0,075 |
4 |
200 |
21 |
3 |
0,25 |
0,006 |
0,065 |
2 |
200 |
22 |
1 |
0,25 |
0,005 |
0,075 |
3 |
210 |
23 |
2 |
0,26 |
0,006 |
0,3 |
6 |
200 |
24 |
3 |
0,24 |
0,007 |
0,25 |
5 |
200 |
25 |
1 |
0,25 |
0,005 |
0,3 |
6 |
210 |
26 |
2 |
0,25 |
0,005 |
0,06 |
6 |
210 |
27 |
3 |
0,28 |
0,006 |
0,055 |
2 |
210 |
28 |
1 |
0,26 |
0,006 |
0,075 |
4 |
200 |
29 |
2 |
0,24 |
0,007 |
0,08 |
2 |
200 |
30 |
3 |
0,22 |
0,008 |
0,065 |
3 |
210 |
31 |
1 |
0,23 |
0,008 |
0,07 |
6 |
200 |
32 |
2 |
0,20 |
0,006 |
0,08 |
5 |
200 |
33 |
3 |
0,22 |
0,005 |
0,085 |
6 |
210 |
34 |
1 |
0,26 |
0,006 |
0,065 |
2 |
210 |
35 |
2 |
0,28 |
0,007 |
0,065 |
4 |
200 |
36 |
3 |
0,28 |
0,005 |
0,08 |
6 |
200 |
|
а |
в |
б |
а |
г |
б |
Таблица 15.2. Расчетные схемы оболочек
№ п/п |
Схема |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Пояснения к решению задачи
Введение
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя
криволинейными поверхностями, расстояние между которыми незначительно по
сравнению с размерами поверхностей.
1. Линии и радиусы
поверхности оболочки
Плоскость, пересекающая поверхность оболочки и
проходящая через ось вращения, образует меридиональную линию или меридиан.
Линии, перпендикулярные меридианам и оси вращения называют параллелями.
Поверхность, равноудаленная от внешней и внутренней поверхностей оболочки,
называют срединной и имеющей двояковую кривизну.
Радиус кривизны меридиана – радиус кривизны
параллели –
. Радиусы
и
– главные
радиусы кривизны поверхности вращения. Важное значение при изучении свойств
поверхности имеет гауссова кривизна
. На рис. 15.1 даны некоторые формы меридианов при соответствующих К.
При K – меридианы
выпуклые (рис. 15.1, а); K
– меридианы
прямые линии (рис. 1, б); K
– меридианы
вогнутые (рис. 1, в), при этом, если
, то
.
а) б) в)
Рис. 15.1
2.
Безмоментная теория осесимметрично нагруженных
оболочек
Примером безмоментного
состояния служит напряженное состояние, возникающее в оболочке под действием
равномерного внутреннего давления. Оболочка испытывает только растяжение.
В этом заключается ее преимущество как
конструктивного элемента.
В стенках оболочки возникают нормальные меридиональные
σm и окружные σt напряжения (рис. 15.2, а).
Основным признаком безмоментного
состояния будет ,
где ε– относительное удлинение срединной
поверхности; χ – относительное изменение кривизны; h – толщина
стенки. Так напряжение растяжения , а напряжение изгиба –
, то, в виду незначительности величины
, напряжением σu можно пренебречь.
а)
б)
Рис. 15.2
Рассмотрим равновесие
сил, возникающих от действия внутреннего давления q на элементарной площади и усилий от
напряжений меридионального σm и тангенциального σt с площадями
и
. На рис. 15.2, б
показана меридиональная плоскость. Спроецируем все усилия на общую нормаль n-n:
Заменим синус его аргументом ввиду малости угла и
разделим выражение (1) на получим
или, с учетом равенства
окончательно определим
Зависимость (2) называют уравнением Лапласа.
Если принять , то
;
и уравнение (2)
можно представить как
В уравнение входят два неизвестных напряжения σm и σt.
Определим сначала σm,
используя уравнение равновесия согласно рис. 15.3.
Рис. 15.3
Вырежем часть оболочки вращения, заполненной
жидкостью.
Q – веса части жидкости и емкости, лежащие ниже рассматриваемого
слоя, q– давление в жидкости с учетом избыточного (по закону
Паскаля) ,
где q0 – избыточное давление в емкости; H – глубина
рассматриваемого слоя; γ– объемный вес жидкости. Площадь окружного сечения
емкости рассчитаем как: .
Спроецируем силы на ось O - O:
Отсюда:
Подставив (4) в уравнение (2), определим σt.
Рассмотрим конкретные расчетные схемы.
3. Сферический
сосуд под внутренним давлением q
Рис. 15.4
Считаем, что , а
(рис. 4), определим
Согласно закона Гука для плоского деформированного состояния,
относительная радиальная деформация . В нашем примере
где w – абсолютное приращение радиуса сферы под давлением q.
Считая , с учетом (5) и выражениях
относительных деформаций, определим абсолютную деформацию
.
Таким образом,
4. Цилиндрический
котел под внутренним давлением
Рис. 15.5
Меридианами считаем образующие котла (см. рис.15.5),
т. е. ;
, следовательно
.
Меридиональное напряжение определим, рассматривая
равновесие правой отсеченной части котла по сечению C-C.
Следовательно, окружное напряжение в два раза больше
меридионального. Используя выкладки предыдущего примера, выразим абсолютное
радиальное перемещение
Отсюда,
5. Подвешенная
цилиндрическая оболочка с коническим днищем
Наполнена жидкостью объемным весом γ, (см. рис. 15.6).
Определить напряжения σt ,
σm в цилиндрической и
конической частях, построить эпюры
напряжений.
Начало вертикальной координаты x в днище
оболочки; ry – текущий радиус конической части; 2α – угол
конуса днища.
Рассмотрим
коническую часть.
Давление жидкости на глубине H+H1-x равно .
Т. к. ;
. Проекция ρt на
горизонтальную ось
. Выразим ry через радиус оболочки
. Окружное напряжение конической части примет вид:
Рис. 15.6
При x=H1; ;
при x=-(H+H1); (см. эп.
, рис. 15.6).
Цилиндрическая
часть.
Воспользуемся уравнением (4):
Выразим q через объемный вес, ry – через радиус оболочки.
Вес жидкости в конической части высотой x равен объему конуса на объемный вес жидкости
При x=H1; ;
при x=H1; и α=0;
.
Эпюры σm даны на рис. 15.6. Разрывы на эпюрах вызваны краевыми
эффектами.
6. Краевой эффект в
цилиндрической оболочке (моментная теория расчета оболочек)
Длинные цилиндрические оболочки соединены фланцами,
являющимися более жесткими по отношению к оболочкам. Оболочка, находящаяся под
внутренним давлением q может увеличить начальный диаметр. Вследствие этого на
некотором участке от фланца стенки оболочки получают искривление. Исследуем
напряженное состояние и изгиб стенок оболочки (краевой эффект), считая, что
продольные усилия в поперечном сечении отсутствуют.
Рис. 15.7
В общем случае изгиб цилиндрической оболочки включает десять
уравнений равновесия элемента. Из них поперечная сила Qy=0; моменты крутящие ; сдвигающие силы
.
Погонные моменты Mx и поперечные силы Ny, в виду симметрии относительно оси X не
получают приращения в радиальных сечениях. Остальные уравнения равновесия,
согласно рис. 15.7, при h=1:
отсюда
Заменим , сократив на dφ∙dx,
получим
Второе слагаемое, в виду малости, отбрасываем, получим
. Подставим данное выражение в (10), имеем
В выражении (10) два неизвестных. Введем дополнительное уравнение погонных
продольных сил
В дальнейшем, от дифференциальных уравнений в усилиях перейдем к дифференциальным
уравнениям в радиальных перемещениях. Для этого выразим усилия через
деформации, а деформации – через перемещения.
Закон Гука при плоском напряженном состоянии (σz=0):
Усилия при ширине вырезанного участка, равного
единице, примут вид
Приравняем Nx выражений (12) и (14), получим
Относительная радиальная деформация, при условии
сохранения формы окружности,
Погонная поперечная сила Ny, с учетом (15) и (16), равна
Дополнительный погонный изгибающий момент от силы Nx имеет
значение
Изгибающие моменты от внутреннего давления q,
соответственно равны,
При равномерном радиальном расширении цилиндрической оболочки приращение перемещения к приращению радиуса
остается постоянным, поэтому моменты
примут вид
Полный момент
Подставим (17) в (11), имеем раскрывая
полученное выражение, учетом (12) и (17), окончательно определяем
или
Выражение (21) – дифференциальное уравнение равновесия
элемента цилиндрической оболочки в перемещениях.
Влияние продольной силы Nx на изменение w незначительно и ею можно пренебречь. Тогда (равенство
нулю Nx) приближенное уравнение равновесия примет вид Данное
выражение можно записать как
Уравнение (22) можно преобразовать, обозначив
где – коэффициент
затухания перемещений, 1/м.
При q=0 уравнение (23) примет вид (24)
балки на упругом основании.
Четырежды интегрируя
уравнение (23), получим перемещение срединной поверхности оболочки
где f(x) – частное решение; при q=const по
всей длине оболочки, .
Следовательно, все силы и моменты можно определить как
Угол наклона касательной к срединной поверхности
7. Расчет длинной
цилиндрической оболочки (защемление с двух сторон)
Признаком длинной оболочки считают выражение .
В уравнении (25) при ;
, что противоречит условию закрепления второго торца, следовательно,
C1 и C2 равны
нулю.
Уравнение (25) примет вид
.
(26)
а)
б)
Рис. 15.9
На рис. 15.9 показана половина оболочки с защемлением левого
торца, загруженная внутренним давлением q.
Расчетную схему представим как цилиндрическую
оболочку, загруженную по левому торцу моментом и силой. Это возможно, если
отделить массивный фланец от цилиндрической оболочки (рис.15.9 б).
Для определения C3 и C4
продифференцируем уравнение (26):
При x=0;
где Q0 и M0 –
поперечная сила и момент в защемлении.
Приравняем выражения (26б) и (26в),
соответственно M0 и Q0, получим
Частное решение уравнения (26) получим согласно
граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба и угла поворота
срединной поверхности оболочки ;
.
По уравнению (26) имеем ; по уравнению (26а)
– C3=C4. В
уравнении (27) заменим
. После преобразования, получим
, учитывая, что
.
Произведя замену и, с учетом уже
известного выражения
, получим значение
.
Используя зависимости внутренних силовых факторов от
производных w, определим и построим их эпюры.
Согласно условию прочности, определим окружное и тангенциальное напряжения и
, сравним с допускаемыми. В случае невыполнения,
произведем коррекцию толщины оболочки.
8. Расчет
цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по концам
Расчетная схема представлена рис. 15.10.
Рис.15.10
Уравнение прогиба цилиндрической оболочки, согласно
(26),
.
Граничные условия: x=0; ;
Определение значения Q0.
Уравнение (26) преобразуем к виду:
Частное решение уравнения (26) получим согласно
граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба срединной поверхности
оболочки :
Уравнения углов поворота срединной поверхности, погонного
момента меридионального и погонной поперечной силы, соответственно, примут
выражения: