Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении

Для заданного типа поперечного сечения балки:

- определить положение центра тяжести;

- построить эпюры линейных координат;

- вычислить осевые моменты инерции сечения;

- построить эпюру секториальных координат;

- определить положение центра изгиба;

- построить эпюру главных секториальных координат;

- вычислить главный секториальный момент инерции сечения;

- вычислить момент инерции сечения при чистом кручении;

- вычислить изгибно-крутильную характеристику сечения.

Для заданной расчетной схемы балки:

- записать аналитические выражения для определения внутренних усилий;

- рассчитать значения внутренних усилий для характерных сечений (опорные сечения, середина и четверти пролета);

- построить эпюры внутренних усилий (Qx или Qy, Mx или My, Bω, Mω, M0, Mz).

Для опасных сечений балки:

- определить величину нормальных и касательных напряжений;

- построить эпюры нормальных и касательных напряжений (от воздействия каждого внутреннего усилия и результирующие).

Исходные данные для выполнения курсовой работы приведены в табл. 1-4.

В табл. 1 даны геометрические характеристики поперечного сечения балки, а также тип сечения.

В табл. 2 даны нагрузки, действующие на балку, а также длина и тип закрепления балки.

В табл. 3 даны типы поперечных сечений балки, а также расположение нагрузки. Тип поперечного сечения выбирается в соответствии с табл. 1.

В табл. 4 даны типы закреплений балки, а также расположение нагрузки. Тип закрепления балки выбирается в соответствии с табл. 2.

 

Таблица 1. Геометрические характеристики сечения

Номер

строки

Тип

сечения

(по табл.1)

B,

см

H,

см

δ,

см

1

A

24

30

1,4

2

B

32

40

1,6

3

A

40

44

1,8

4

B

28

36

2,0

5

C

24

30

1,4

6

D

24

30

1,6

7

C

32

40

1,8

8

D

32

40

2,0

9

A

32

40

1,4

10

C

40

44

1,6

11

A

46

44

1,8

12

C

28

36

2,0

13

B

24

30

1,4

14

D

40

44

1,6

15

B

40

44

1,8

16

D

28

36

2,0

17

A

28

36

1,4

18

B

24

36

1,6

19

C

46

40

1,8

20

D

46

40

2,0

21

D

30

40

1,4

22

C

28

40

1,6

23

B

30

40

1,8

24

A

30

40

2,0

25

C

30

40

1,4

 

в

г

б

а

 

Таблица 2. Нагрузки, действующие на балку

Номер

строки

F1,

кН

F2,

кН

q1,

кН/м

q2,

кН/м

L,

м

Тип закрепления

балки (по табл.4)

1

18

-

-

-

6

I

2

-

-

8

-

7

II

3

30

-

-

-

8

I

4

-

-

-

10

5

II

5

-

26

-

-

4

I

6

-

-

12

-

4

II

7

-

28

-

-

5

I

8

28

-

-

-

6

II

9

-

-

15

-

7

I

10

26

-

-

-

8

II

11

-

-

15

-

8

I

12

-

-

-

12

7

II

13

-

18

-

-

6

I

14

-

30

-

-

5

II

15

-

-

10

-

4

I

16

-

-

-

15

4

II

17

-

-

-

8

5

I

18

18

-

-

-

6

II

19

30

-

-

-

7

I

20

-

28

-

-

8

II

21

-

26

-

-

8

I

22

-

-

10

-

7

II

23

-

-

12

-

6

I

24

-

-

-

8

5

II

25

-

-

-

15

4

I

 

в

г

а

б

г

в

 

Таблица 3. Типы поперечных сечений балки

Тип поперечного сечения балки

A

B

C

D

 

Таблица 4. Типы закреплений балки

Тип закрепления балки

I

II

 

 

Методические указания

 

1. Теоретические сведения о тонкостенном стержне

 

Тонкостенным стержнем называется такой стержень, у которого один из линейных размеров поперечного сечения мал по сравнению с остальными.

Тонкостенные стержни могут быть закрытого профиля (трубчатое, коробчатое сечения) и открытого профиля (тавр, двутавр, швеллер и т.п.).

В стержнях открытого профиля наиболее отчетливо проявляются особенности их расчета.

Тонкостенные стержни как расчетная схема сохраняют в себе основные свойства бруса при работе на растяжение, сжатие, изгиб и кручение. Вместе с тем тонкостенный стержень в силу своих геометрических особенностей проявляет свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения:

- не всегда применим принцип Сен-Венсана с равномерным распределением усилий в сечении стержня;

- не соблюдается закон плоских сечений, происходит депланация за счет продольных перемещений точек поперечного сечения.

Условия крепления стержня влияют на депланацию поперечного сечения. Если депланация в различных поперечных сечениях различна, деформация называется стесненным кручением (рис.1).

Рис.1. Стесненное кручение стержня

 

Депланация приводит к возникновению не только касательных, но и нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня. Таким образом, при стесненном кручении тонкостенных стержней открытого профиля одновременно имеют место деформации кручения и изгиба.

Внутренние усилия в поперечных сечениях при стесненном кручении приводятся:

- к самоуравновешенной системе двух пар равных продольных сил N (рис. 2), которые называются бимоментом Bω;

-к изгибающему моменту Mx или My;

-к поперечной силе Qy или Qx;

-к моменту чистого кручения Mo (рис. 3, а);

-к изгибно-крутящему моменту Mω (рис. 3, б).

Рис.2. Образование бимомента

 

а                                                      б

Рис. 3. Внутренние усилия:

а – момент чистого кручения; б – момент изгибно- крутящий

 

 

2. Порядок выполнения задания

 

2.1. Определение положения центра тяжести, величины главных  центральных моментов инерции поперечного сечения

 

Координаты центра тяжести поперечного сечения относительно произвольных осей X1 и Y1 определяются по формулам

где А – площадь поперечного сечения; Sy1– статический момент площади относительно оси Y1; Sx1– статический момент площади относительно оси X1.

Для определения главных центральных моментов инерции поперечного сечения Jx и Jy необходимо выполнить построение эпюр линейных координат X и Y в главных центральных осях сечения.

Вычисление Jx и Jy для тонкостенных стержней выполняется перемножением эпюр линейных координат с учетом толщины элементов поперечного сечения по правилу Верещагина:

    

 

2.2. Определение координат  центра изгиба

 

Центром изгиба называется такая точка, через которую должна проходить плоскость действия внешних сил, чтобы балка испытывала только деформацию изгиба (не подвергалась кручению).

Координаты центра изгиба А определяются по формулам

где SωByсекториально-линейный статический момент сечения  относительно оси Y; SωBxсекториально-линейный  статический момент сечения  относительно оси X.

SωBx  и SωBy  вычисляются перемножением эпюр линейных координат с эпюрой секториальных координат ωB по правилу Верещагина с учетом толщины элементов поперечного сечения:

Секториальная координата определяется по формуле

Секториальная координата ωB представляет собой удвоенную площадь сектора M0BM1, образованную поворотом радиуса-вектора r относительно полюса B от начального положения BM0 до BM1 (рис.4) .

 

Рис. 4. Нахождение секториальной координаты

 

Если поворот радиуса-вектора r вокруг полюса В от точки начала отсчета M0 к точке M1 осуществляется против хода часовой стрелки, то секториальная координата положительна. Для определения положения центра изгиба выполняется построение эпюры секториальных координат ωB. Полюс В и точку начала отсчета M0 располагают на контуре сечения по оси симметрии. Координаты центра изгиба откладываются от полюса В.

 

 

2.3. Построение эпюры главных секториальных координат поперечного сечения

 

Для построения эпюры главных секториальных координат ω0 полюс располагают в центре изгиба А, точку отсчета M0 – на контуре сечения по оси симметрии.

Обязательной проверкой правильности вычисления координат центра изгиба является равенство нулю секториально-линейного статического момента Sω0x или Sω0y, который вычисляется перемножением эпюры главных секториальных координат ω0 с соответствующей эпюрой линейных координат:

Погрешность вычислений не должна превышать 1%.

 

 

2.4. Вычисление момента инерции при чистом кручении JK, секториального момента инерции Jω0, изгибно-крутильной характеристики K

 

Момент инерции чистого кручения определяется по формуле

где α– коэффициент, зависящий от формы сечения; bi – наибольший размер элемента сечения; δi – толщина элемента сечения.

Для двутаврового сечения α=1,20; для швеллера α=1,12; для таврового сечения α=1,15.

Секториальный момент инерции вычисляется перемножением эпюры ω0 с учетом толщины по правилу Верещагина:

Изгибно-крутильная характеристика

где модуль упругости I рода E=200 ГПа; модуль упругости II рода G=80 ГПа.

 

 

2.5. Определение начальных параметров внутренних усилий и деформаций при стесненном кручении тонкостенных стержней открытого профиля

 

Величина внутреннего усилия в сечении тонкостенного стержня определяется методом начальных параметров по табл. 5, где θ0 – угол закручивания в начале координат; θ0/ – относительный угол закручивания в начале координат; Bω0 бимомент в начале координат; MK0 – крутящий момент в начале координат. Начало координат располагается в левом сечении стержня.

Из четырех начальных параметров два неизвестных. Неизвестные начальные параметры определяются из условия крепления балки справа. Таким образом, при любом креплении однопролетной балки необходимо решать не более двух уравнений, вытекающих из условия опирания правого сечения балки (табл. 5).

 

Таблица 5

№ схемы

Схема закрепления балки

Начальные параметры

1

2

3

4

 

 

2.6. Построение эпюр внутренних усилий

 

Аналитические выражения для определения внутренних усилий и деформаций можно составить по табл. 5.

По результатам вычислений выполняется построение эпюр внутренних усилий: QX или QY – поперечных сил; My или Mx– изгибающих моментов; Bωxбимомента; M0– момента чистого кручения; Mω – изгибно-крутящего момента; MK – внешнего крутящего момента.

 

2.7. Вычисление нормальных напряжений

 

В сечениях тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении возникают нормальные напряжения

 где N – продольная сила в сечении;My– изгибающий момент относительно оси Y; Mx– изгибающий момент относительно оси X;  Bω– изгибно-крутящий бимомент; А – площадь поперечного сечения;

Jx– момент инерции относительно оси Х; Jy – момент инерции относительно оси Y; Jω0секториальный момент инерции;

Х, Y – эпюры линейных координат; ω0– эпюра главных секториальных координат.

 

2.8.  Вычисление касательных напряжений

 

Касательные напряжения при стесненном кручении тонкостенных стержней определяются выражением

где QX– поперечная сила по направлению оси X; QY– поперечная сила по направлению оси Y; M0– момент при чистом кручении; Mω– изгибно-крутящий момент; JK– момент инерции сечения при чистом кручении; Jωсекториальный момент инерции; – эпюра статического момента отсеченной части сечения относительно оси Х; – эпюра статического момента отсеченной части сечения относительно оси Y; –– площадь отсеченной части эпюры главных секториальных координат.

Для пояснения теории расчета тонкостенных стержней далее приведено несколько примеров.

 

3. Примеры выполнения задания

 

3.1. Пример №1

 

3.1.1. Исходные данные

 

Таблица 6. Исходные данные

В, см

30

Н, см

40

δ, см

2

q, кН/м

15

L, м

4

Е, ГПа

200

G, ГПа

80

 

В табл. 6 приведены исходные данные для примера №1. На рис. 5 и 6 даны поперечное сечение и расчетная схема рассматриваемого стержня.

 

Рис. 5. Поперечное сечение

 

Рис. 6. Расчетная схема

 

 

3.1.2. Определение положения центра тяжести, величины главных центральных моментов инерции поперечного сечения

Площадь поперечного сечения

Статический момент площади относительно оси X1

Координаты центра тяжести (рис. 7)

 

Рис. 7. Координаты центра тяжести

 

Моменты инерции относительно центральных осей (вычисляются при помощи эпюр линейных координат рис. 8 и 9)

 

=15444

 

                                

 

Рис.8. Эпюра Х, см                                     Рис.9. Эпюра Y, см

 

 

3.1.3. Определение координат центра изгиба

 

Для определения центра изгиба строим эпюру секториальных координат (рис. 10) с произвольным полюсом В и началом отсчета M0. B и M0 располагаем на контуре по оси симметрии сечения.

Рис.10. Эпюра ωВ, см2

 

Секториальную координату определяем по формуле

 

Секториально-линейный  статический момент относительно оси Y вычисляем перемножением эпюр ωB и X  по формуле

Определяем координаты центра изгиба

ay откладываем от полюса B по оси Y, получаем центр изгиба А (рис. 11).

Рис.11. Эпюра ω0, см2

 

3.1.4. Построение эпюры главных секториальных координат поперечного сечения

 

 

Проверка правильности определения положения центра изгиба:

 

 

Эпюра ω0 построена правильно, положение центра изгиба верное.

 

3.1.5. Вычисление момента инерции при чистом кручении JK, секториального момента инерции Jω0, изгибно-крутильной характеристики K

Для двутаврового сечения α=1,2.

 

 

3.1.6. Определение неизвестных начальных параметров

 

Рис.12. Нахождение эксцентриситета

 

На рис.12 показан эксцентриситет е.

Z=0;                            z=L;

θ0=0;                          BωL=0;

θ0/=0;                          MKL=0.

где 

При z=L по табл. 5

 

3.1.7. Определение ординат для построения эпюры бимоментов Bω

 

По табл. 5

С шагом в 1 м длины балки определяем

Bω0=2,72 кН·м2;

 

3.1.8. Определение ординат для построения эпюры изгибно-крутящих моментов Mω

 

 По табл. 5

Mω0=-2,226 кН·м;

 

3.1.9. Определение ординат для построения эпюры моментов чистого кручения M0z

 

По табл.5

MO0=0;

 

 

3.1.10. Определение ординат для построения эпюры внешних крутящих моментов MKz

 

 

Результаты вычислений внутренних усилий сводим в табл.7.

Таблица 7. Внутренние усилия

z

Kz

shKz

chKz

0

0

-2,226

0

2,72

-2,226

0

1

1

0,48

-1,6695

-0,411

1,011

-1,258

0,4986

1,1174

2

0,96

-1,113

-0,527

0,106

-0,586

1,1144

1,4973

3

1,44

-0,5565

-0,505

-0,207

-0,051

1,9919

2,2288

4

1,92

0

-0,471

0

0,471

3,3372

3,4838

 

 

3.1.11. Построение эпюр внутренних усилий  (рис.13)

Рис. 13. Эпюры внутренних усилий

 

 

3.1.12. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении стержня

 

Нормальные напряжения

По эпюрам My и Bω опасным сечением в консольной балке является опорное.

My=120 кН∙м=-120∙10-3 МН∙м;

Вω=2,72 кН∙м2=2,72∙10-3 МН∙м2;

Эпюры σu и σω построены с помощью эпюр X и ω0. Эпюру σполучаем суммированием эпюр σu и σω (рис. 14, в).

 

    

а                                            б                                          в

Рис. 14. Эпюры нормальных напряжений:

а – эпюра 𝜎u, МПа; б – эпюра σω, МПа; в – эпюра σ, МПа

 

 

3.1.13. Построение эпюр касательных напряжений в опасном сечении стержня

 

Касательные напряжения

По эпюрам  опасным является опорное сечение.

Касательные напряжения от изгиба

где – статический момент отсеченной части сечения относительно оси Y. считается с помощью рис. 15. 

Рис. 15. Расчетные точки

 

 

Остальные участки симметричны найденным.

Рис. 16. Эпюра τu, МПа

 

Касательные напряжения от изгиба (рис. 16)

 

Определяем напряжения от изгибно-крутящего момента.

 

Рис. 17. Эпюра ω0, см2

 

Эпюра  (рис. 18) строится с помощью эпюры ω0 (рис. 17).

Рис. 18. Эпюра Sωотс, см3

 

Касательные напряжения от изгибно-крутящего момента (рис. 19)

 

Рис. 19. Эпюра τω, МПа

 

Находим напряжения от чистого кручения в опорном сечении   так как в опорном сечении M0=0.

Эпюру τ получаем суммированием эпюр τu, τω и τo (рис.20).

Рис. 20. Эпюра τ, МПа

 

3.1.14. Нахождение угла закручивания

 

При z=L

 

3.2. Пример №2

 

3.2.1. Исходные данные

 

В табл. 8 приведены исходные данные для примера №2. На рис. 21 и 22 даны поперечное сечение и расчетная схема рассматриваемого стержня.

 

Таблица 8. Исходные данные

В, см

40

Н, см

44

𝛿, см

1,6

q, кН/м

15

L, м

8

Е, ГПа

200

G, ГПа

80

Рис. 21. Поперечное сечение

 

Рис. 22. Расчетная схема

 

3.2.2. Определение положения центра тяжести, величины главных центральных моментов инерции поперечного сечения

 

Площадь поперечного сечения

Статический момент площади относительно оси Y1

Координата центра тяжести (рис.23)

Рис. 23. Координаты центра тяжести

 

Для тонкостенных стержней моменты инерции Jx и Jy вычисляем перемножением эпюр линейных координат по правилу Верещагина (при помощи эпюр линейных координат рис. 24 и 25):

 

                

Рис. 24. Эпюра Y, см                       Рис. 25. Эпюра X, см

 

 

3.2.3. Определение координат центра изгиба

 

Для определения центра изгиба строим эпюру секториальных координат с произвольным полюсом В (рис. 26).

Рис. 26. Эпюра ωВ, см2

 

Секториальную координату определяем по формуле