Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Расчет пространственного ломаного стержня

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 1 и схемам на рис. 1.

1. Определите внутренние усилия (продольную и поперечные силы, изгибающие и крутящий моменты), действующие в сечениях стержня на различных участках. Постройте эпюры усилий.

2. Для стержня, примыкающего к заделке, обозначенного номером 1, определите положение опасного сечения.

3. Подберите размеры поперечного сечения из условия прочности. Дальнейший расчет проводится по двум вариантам: круглое и прямоугольное сечение:

- для круглого сечения предварительно подберите диаметр стержня, учитывая только действие изгиба и кручения, вычислив значение приведенного момента на основе соответствующей материалу стержня теории прочности;

- для прямоугольного сечения определите размеры его сторон при заданном соотношении h/b, учитывая в первом приближении только изгибающие моменты. Сечение должно быть расположено выгодным образом по отношению к силовым плоскостям.

4. Постройте эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении отдельно для каждого усилия, принимая во внимание все факторы. Для стержня круглого поперечного сечения допускается пренебречь действием поперечных сил.

5. Проверьте прочность стержня во всех опасных точках на основе соответствующей материалу теории прочности с учетом всех действующих усилий (кроме поперечной силы в случае круглого сечения). Если условие прочности не будет выполнено (либо сечение окажется неэкономичным), измените размеры сечения.

6*. Определите полное линейное и угловое перемещения сечения С, используя формулу Максвелла - Мора. 

 

Таблица 1

Номер строки

ll,

м

F1,

кН

Схема

по рис. 1

F4,

кН

l2,

м

h/b

F2,

кН

F3,

кН

l3,

м

Материал

01

1,0

20

1

-10

0,5

1

20

0

0,6

Сталь

02

0,8

-10

2

20

0,4

2

0

10

0,5

Чугун

03

0,6

-20

3

-20

0,3

3

-30

0

0,4

Бронза

04

0,5

10

4

10

0,6

1

0

-20

0,3

Бронза

05

0,4

30

5

-30

0,7

2

-10

0

0,2

Чугун

06

0,3

-30

6

30

0,3

3

0

30

0,3

Бронза

07

0,6

5

7

-5

0,4

1

-20

0

0,4

Дюралюм.

08

0,7

-5

8

5

0,5

2

0

-10

0,5

Дюралюм.

09

0,9

40

9

-40

0,8

3

30

0

0,6

Сталь

10

1,0

-40

10

40

1,0

1

0

20

0,3

Сталь

 

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

 

1 схема                                          2 схема

1   2

 

 

3 схема                                           4 схема

3   2

 

 

5 схема                                           6 схема

5   6

 

 

7 схема                                            8 схема

7    8

 

 

9 схема                                          10 схема

9   0

Рис.1

 

Задача 2. Расчет плоско-пространственной консольной рамы

Плоско-пространственная консольная рама нагружена сосредоточенными силами и парами сил.

Требуется: Построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 2 и схемам на рис. 2.

Таблица 2

Номер

строки

Схема

по рис.2

M/Pl

F1/P

F2/P

l1/l

l2/l

l3/l

01

I

1

3

2

2

1

1

02

II

1

2

2

1

1

2

03

III

1

1

0,5

2

1

2

04

IV

2

3

1

1

1

2

05

V

2

2

2

2

2

1

06

VI

2

1

1

1

2

1

07

VII

1

3

1,5

2

2

1

08

VIII

1

2

1

1

1

2

09

IX

1

1

1

2

1

2

10

X

2

1

2

1

1

2

11

I

1

3

1,5

2

1

1

12

II

1

2

1,5

1

1

2

13

III

1

1

2

2

1

2

14

IV

2

3

1

1

1

2

15

V

2

2

1

2

2

1

16

VI

2

1

2

1

2

1

17

VII

1

3

3

2

2

1

18

VIII

1

2

1

1

1

2

19

IX

1

1

2

2

1

2

20

X

2

1

2

1

1

2

21

I

1

3

2

2

1

1

22

II

1

2

2

1

1

2

23

III

1

1

4

2

1

2

24

IV

2

3

1,4

1

1

2

25

V

2

2

4

2

2

1

26

VI

2

1

2

1

2

1

27

VII

1

3

1,5

2

2

1

28

VIII

1

2

1

1

1

2

29

IX

1

1

2

2

1

2

30

X

2

1

1,5

1

1

2

 

а

г

а

б

а

в

г

 

18a

18b

Рис.2

 

Задача 3. Расчет пространственной консольной рамы

Пространственная консольная рама нагружена сосредоточенными силами F1 и F2.

Требуется: Построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 3 и схемам на рис. 3.

Таблица 3

Номер

строки

Схема

по рис.3

F1/P

F2/P

l1/l

l2/l

l3/l

01

I

–1,0

1,0

0,5

1,0

1,0

02

II

1,5

2,0

1,5

2,0

2,0

03

III

–1,5

3,0

2,0

1,5

3,0

04

IV

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

05

V

–1,5

1,0

1,0

2,0

2,0

06

VI

1,0

–1,0

1,0

1,0

1,0

07

VII

1,0

–2,0

0,5

2,0

1,0

08

VIII

1,5

–3,0

1,5

1,5

2,0

09

IX

–2,0

–2,0

2,5

2,0

2,0

10

X

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

11

I

–1,0

1,0

0,5

1,0

1,0

12

II

1,5

2,0

1,5

2,0

2,0

13

III

–1,5

3,0

2,0

1,5

3,0

14

IV

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

15

V

–1,5

1,0

1,0

2,0

2,0

16

VI

1,0

–1,0

1,0

1,0

1,0

17

VII

1,0

–2,0

0,5

2,0

1,0

18

VIII

1,5

–3,0

1,5

1,5

2,0

19

IX

–2,0

–2,0

2,5

2,0

2,0

20

X

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

21

I

–1,0

1,0

0,5

1,0

1,0

22

II

1,5

2,0

1,5

2,0

2,0

23

III

–1,5

3,0

2,0

1,5

3,0

24

IV

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

25

V

–1,5

1,0

1,0

2,0

2,0

26

VI

1,0

–1,0

1,0

1,0

1,0

27

VII

1,0

–2,0

0,5

2,0

1,0

28

VIII

1,5

–3,0

1,5

1,5

2,0

29

IX

–2,0

–2,0

2,5

2,0

2,0

30

X

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

 

г

а

б

а

в

б

 

19a

19b

Рис.3

 

Задача 4. Расчет пространственной консольной рамы

Пространственная консольная рама нагружена сосредоточенными силами F1, F2 и F3.

Требуется: Построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 4 и схемам на рис. 4.

Таблица 4

Номер

строки

Схема

по рис.4

F1/ql

F2/ql

F3/ql

l1/l

l2/l

l3/l

01

I

–2,0

1,0

–2,0

1,0

2,0

2,0

02

II

1,0

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

03

III

2,0

3,0

1,0

1,5

2,0

1,0

04

IV

3,0

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

05

V

2,0

1,0

3,0

1,0

1,0

2,0

06

VI

1,0

–1,0

2,0

2,0

2,0

3,0

07

VII

–1,0

–2,0

1,0

2,5

1,5

1,0

08

VIII

–2,0

–3,0

–1,0

1,5

1,0

3,0

09

IX

–3,0

–2,0

–2,0

1,0

1,0

2,0

10

X

–2,0

–1,0

–3,0

2,0

2,0

3,0

11

I

–2,0

1,0

–2,0

1,0

2,0

2,0

12

II

1,0

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

13

III

2,0

3,0

1,0

1,5

2,0

1,0

14

IV

3,0

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

15

V

2,0

1,0

3,0

1,0

1,0

2,0

16

VI

1,0

–1,0

2,0

2,0

2,0

3,0

17

VII

–1,0

–2,0

1,0

2,5

1,5

1,0

18

VIII

–2,0

–3,0

–1,0

1,5

1,0

3,0

19

IX

–3,0

–2,0

–2,0

1,0

1,0

2,0

20

X

–2,0

–1,0

–3,0

2,0

2,0

3,0

21

I

–2,0

1,0

–2,0

1,0

2,0

2,0

22

II

1,0

2,0

–1,0

2,0

1,0

3,0

23

III

2,0

3,0

1,0

1,5

2,0

1,0

24

IV

3,0

2,0

2,0

1,5

1,5

3,0

25

V

2,0

1,0

3,0

1,0

1,0

2,0

26

VI

1,0

–1,0

2,0

2,0

2,0

3,0

27

VII

–1,0

–2,0

1,0

2,5

1,5

1,0

28

VIII

–2,0

–3,0

–1,0

1,5

1,0

3,0

29

IX

–3,0

–2,0

–2,0

1,0

1,0

2,0

30

X

–2,0

–1,0

–3,0

2,0

2,0

3,0

 

г

а

б

г

а

в

б

 

20a

20b

Рис.4

 

Задача 5. Расчет пространственного ломаного бруса переменного сечения

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 5 и схемам на рис. 5.

1. Необходимо обозначить стержни, начиная от свободного конца;

2. Выбрать и построить плавающую систему координат;

3. Последовательно, от консоли к защемлению, выделить произвольные сечения с координатами привязки к началу участка;

4. Записать уравнения равновесия внутренних силовых факторов с учетом знаков;

5. Построить эпюры внутренних силовых факторов;

6. Произвести проверку правильности эпюр;

7. На третьем (круглого сечения) участке проанализировать загруженность сечений;

8. Произвести расчет круглого сечения с построением эпюр напряжений;

9. Проверить условия прочности круглого сечения;

10. Произвести анализ загруженности сечений четвертого (прямоугольного сечения) участка;

11. Подобрать сечение бруса из условия прочности, построить эпюры напряжений;

12. Проверить условия напряженного состояния прямоугольного сечения для характерных точек.

 

Таблица 5

Номер строки

Схема

по рис. 5

q,

кН/м

F,

кН

M,

кНм

01

1

5

8

4

02

2

6

6

5

03

3

4

5

6

04

4

3

9

3

05

5

5

8

5

06

6

7

6

4

07

7

6

7

3

08

8

5

9

4

09

9

6

6

5

10

10

4

8

5

11

11

7

7

4

12

12

5

8

9

13

13

4

7

8

14

14

5

6

7

15

15

3

5

8

16

16

4

4

6

17

17

5

7

9

18

18

7

6

5

19

19

8

4

3

20

20

6

6

4

21

21

4

3

9

22

22

6

8

10

23

23

5

7

9

24

24

4

5

8

25

25

4

6

7

 

в

г

а

в

 

 

1 схема                                                2 схема

              

 

3 схема                                             4 схема

         

 

5 схема                                          6 схема

             

 

7 схема                                          8 схема

     

 

9 схема                                          10 схема

      

 

11 схема                                          12 схема

                

 

13 схема                                          14 схема

      

 

15 схема                                                       16 схема

 

 

17 схема                                                             18 схема

  

 

19 схема                                                    20 схема

                 

 

21 схема                                                 22 схема

                  

 

23 схема                                                24 схема

         

 

25 схема

Рис.5

 

Задача 6. Расчет пространственного ломаного бруса

Для пространственного бруса требуется:

1. Построить эпюры изгибающих и крутящего момента.

2. По гипотезе наибольших касательных напряжений подобрать диаметр круглого бруса при допускаемом напряжении [𝜎].

3. Заменить круглое сечение бруса прямоугольным при заданном размере h стороны прямоугольного сечения.

Исходные данные к задаче принимаются по табл. 6 и схемам на рис. 6.

Таблица 6

Номер

строки

Схема

по рис.6

l1,

м

l2,

м

l3,

м

P1,

кН

P2,

кН

М,

кНм

[σ],

МПа

h,

см

01

1

2

1

2

3

1

0

160

8

02

4

3

1

2

1

0

4

120

8

03

7

1,5

1

0,5

2

3

0

120

9

04

10

2

2

1

2

0,5

0

120

8

05

13

2

1,5

2

0,5

0,5

0

120

6

06

3

3,5

1

1

1

0,5

0

160

6

07

5

3

1

1,5

2

1,5

0

160

10

08

8

4

2

1

1

4

0

160

10

09

11

2

0,5

1

1

4

0

120

10

10

15

2

3,5

2

2

2

0

120

14

11

2

4

0,5

1,5

2

2

0

160

16

12

6

2

0,5

1,5

2

0

8

120

12

13

9

1,5

1

2

2

0

6

100

12

14

12

1,5

1

1

2

3

0

120

9

15

14

1,5

0,5

1

1

0

2

120

8

16

2

3

2

2

1

1,5

0

100

10

17

6

4

1

3

1

0

1

120

6

18

7

3

1,5

1

4

3

0

160

15

19

11

2

3,5

2

1

1

0

120

7

20

14

3

1

2

2

0

8

120

16

21

1

4

4

2

1

0,25

0

100

6

22

5

3

1

2

2

3

0

120

10

23

9

3

2

4

1

0

3

100

12

24

12

4

0,5

1,4

1

1

0

160

8

25

13

4

3

4

1

1

0

120

6

26

3

7

2

2

0,5

0,25

0

120

8

27

4

2

1

1,5

2

0

6

100

14

28

8

2

0,5

1

0,5

2

0

120

5

29

10

2

1

2

6

2

0

160

16

30

15

2

1

1,5

1

4

0

120

5

 

в

г

а

б

а

в

г

б

а

 

1 схема                                                2 схема

                   

 

3 схема                                             4 схема

                

 

5 схема                                          6 схема

                     

 

7 схема                                            8 схема

                   

 

9 схема                                            10 схема

                

 

11 схема                                            12 схема

            

 

13 схема                                           14 схема

              

 

15 схема

      

Рис.6

 

Примеры расчета пространственного ломаного бруса переменного сечения

 

Пример 1

На рис. 7 дана расчетная схема ломаного бруса (элемента коленчатого вала ДВС). Брус состоит из четырех участков, два из которых – третий и четвертый заданы круглым и прямоугольным сечениями, соответственно. Длина участков равна l. Силовое загружение включает сосредоточенную силу F, распределенную нагрузку q и момент M.

Рис. 7. Плавающая система координат

Решение.

Определяем плоскость, образованную двумя первыми стержнями (ab) и (bc). В данном примере – профильная плоскость. Вдоль стержня  (ab) направляем ось X1 к свободному концу; перпендикулярно к ней в профильной плоскости – ось Y1; к плоскости X1Y1  восстанавливаем перпендикуляр – ось Z1.

Примечание: ось Y1 может быть направлена  вверх или вниз; ось Z1 может быть направлена вправо или влево.

 

1.  Выбор и построение плавающей системы координат

1.1. Построение плавающей системы координат на остальных участках.

На участке bc система координат поворачивается относительно оси Z, перпендикулярной к плоскости, образованной стержнями ab и bc, следовательно, оси Z1 и Z2  имеют одинаковое направление, а ось X2  направлена в сторону b. Поворачиваем "старую" систему до положения "новой" вокруг оси Z. При этом ось X2 направлена вниз, ось Y2 повернется из вертикального направления в горизонтальное от наблюдателя. Для третьего участка общим перпендикуляром к плоскости, образованной стержнями bc и cd, является ось Y. Для четвертого участка общий перпендикуляр к плоскости, образованной стержнями cd и de, – ось Z. Таким образом, вращая координатные системы вокруг общих перпендикуляров, получим остальные координатные системы.

На каждом участке выделяем отсеченные части (X1X4) с привязкой к началу рассматриваемого участка.

 

2. Уравнения равновесия отсеченных частей

Правила знаков сил и моментов

N –продольная сила  знак плюс при растяжении отсеченной части;

Qy и Qx – поперечные (перерезающие) силы определяются по направлению одноименных осей, вращение отсеченной части по часовой стрелке по направлению третьей координаты;

My и Mz – изгибающие моменты, действующие вокруг одноименных осей; знак плюс, если изгиб происходит в сторону третьей координаты;

T крутящий момент, действующий вокруг оси X (в плоскости ZY); знак плюс определяется по правилу правого винта.

0Х1l     N1=F;     Qy1=0;    Qz1=qx1 (0; qa);    My1=-qx12/2;      Mz1=0;                    T1=0.

0Х2l     N1=0;     Qy2=F;     Qz2=ql;                 My2=-qlx22/2;   Mz2=Fx2;                T2=-ql2/2.

0Х3l     N3=-ql;   Qy3=F;    Qz3=0;                  My3=-ql2;           Mz3=Fx3+ql2/2;       T3=Fl-M.

0Х4l     N1=-F;    Qy4=-ql;   Qz4=0;                 My4=M-Fl;         Mz4=Fl-ql(x4-l/2);    T4=-ql2.

 

3. Построение эпюр внутренних усилий Nx, Qy, Qz

Эпюра продольных сил N строится в плоскости XY с учетом знака, (см. рис. 8).

Рис. 8. Эпюра продольных сил N

 

Эпюры поперечных сил строятся в своих плоскостях со знаком, рис. 9 и рис. 10. Например, на первом участке эпюра Qz1 имеет вид треугольника, построена в положительной полуплоскости X1Z1, рис. 10.

                 

Рис. 9. Эпюра поперечных сил Qy                Рис.10. Эпюра поперечных сил Qz

 

3.1. Проверка правильности построения эпюр сил

Главный вектор сил в узле равен нулю, если там отсутствует сосредоточенная сила. Необходимо определить попарно равенство ординат сил в узле.

Пример. Узел C: включает стержни bc и cd, табл. 7.

 

Таблица 7

Стержни

Эпюры

Nx

Qy

Qz

bc

0

F

ql

cd

-ql

F

0

 

4. Построение эпюр моментов My, Mz, T

Эпюры изгибающих моментов My и Mz строятся на сжатых волокнах в плоскостях их действия, рис. 11 и рис. 12.

                           

Рис.11. Эпюра изгибающего момента My          Рис.12.Эпюра изгибающего момента Mz

 

Например: Уравнение равновесия Mz3=ql2/2+Fx4. Эпюра момента строится в горизонтальной плоскости в положительной полуплоскости (на сжатом волокне). При x4=0;  Mz4=ql2/2. При x4=l;  Mz4=ql2/2+Fl. 

 Эпюра крутящего момента. Строится в плоскости ZY по правилу правого вращения отсеченной части стержня – положительное значение.

Например: Для третьего участка плоскость действия T(x3) – Z3Y3 (профильная) наблюдается в виде прямой с указанием направления вращения. Для четвертого участка  плоскость действия T(x4) – Z4Y4  (фронтальная); в аксонометрии изображается в виде эллипса с указанием значения и направления вращения, рис. 13.

Рис. 13. Эпюра крутящего момента T

 

4.1. Проверка правильности построения эпюр моментов

Главный вектор момента в узле равен нулю, если там отсутствует сосредоточенный момент. Необходимо определить попарно равенство ординат моментов в узле.

Пример. Узел C: включает стержни bc и cd, табл. 8.

Таблица 8

Стержни

Эпюры

My

Mz

T

bc

ql2

Fl-M

ql2/2

cd

ql2

ql2/2

Fl-M

 

5. Расчет на прочность круглого сечения

Ввиду линейности эпюр, проведем анализ загружения крайних сечений третьего стержня. Согласно табл. 9, сечения c и d  одинаково загружены. Принимаем решение: произвести расчет по сечению c.

Примечание: касательные напряжения от поперечных сил Qy и Qz не учитываем ввиду их малости.

Таблица 9

 

Сечение

Эпюры

N

My

Mz

T

c

-ql

ql2

Fl-M

ql2/2

d

-ql

ql2

ql2/2

Fl-M

 

Для этого развернем стержень cd вокруг Z3, рис. 14.

Рис. 14.  Расчет круглого сечения

 

5.1. Подбор диаметра круглого сечения

Считаем, что главным силовым фактором для круглого сечения является крутящий момент T=ql2/2

Условие прочности при действии момента T

Где Wx – полярный момент сопротивления; для круглого сечения Wx=π∙d3/16;  [τ] – допускаемое напряжение для материала стержня; сталь 40Х – [τ]=80 МПа.

Из формулы (1) имеем

Округляем полученный результат в большую сторону с окончанием на "0" или "5" в мм.

 

5.2. Проверка напряженного состояния сечения С

5.2.1. Анализ по нормальным напряжениям

Проверка осуществляется с учетом нормальных напряжений, от действия силовых факторов N, My, Mz. Соответствующие напряжения определяют по зависимостям:

где A– площадь сечения; Wy, Wz – осевые моменты сопротивления относительно осей Y и Z, соответственно.

Для проверки строим эпюры напряжений

Рис. 15. Эпюра нормальных напряжений 𝛔N

Рис. 16. Эпюра нормальных напряжений 𝛔My

Рис. 17. Эпюра нормальных напряжений 𝛔Mz

 

Эпюры показывают растяжение или сжатие волокон в соответствующих квадрантах.

Согласно рис. 15 – рис. 17 наиболее нагруженный квадрант – четвертый; в нем полное сжатие от действия трех факторов.

Напряженное  состояние от указанных факторов считается одноосным, суммарное значение равно =σN+σMy+σMz. В данном примере σN имеет отрицательное значение, поэтому