Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Исследование плоского напряженного состояния.

Стальной кубик (рис.1) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

1. главные напряжения и направление главных площадок;

2. максимальные касательные напряжения, равные наибольшей разности главных напряжений;

3. главные деформации ε1, ε2, ε3;

4. эквивалентное напряжение  по четвертой (энергетической) теории прочности;

5. относительное изменение объема;

6. удельную потенциальную энергию деформации.

Данные взять из табл.1.

Таблица 1

Номер

cтроки

Схема

по рис.1

σx

σy

τx

01

1

10

50

20

02

2

20

60

90

03

3

30

70

100

04

4

40

80

10

05

5

50

90

60

06

6

60

100

70

07

7

70

60

80

08

8

80

70

90

09

9

90

80

40

10

10

100

90

50

11

11

60

100

90

12

12

70

40

100

13

13

80

50

10

14

14

90

90

20

15

15

100

100

90

16

16

10

10

90

17

17

20

20

100

18

18

30

90

10

19

19

40

100

20

20

20

50

10

90

21

21

90

20

100

22

22

100

40

10

23

23

10

50

20

24

24

20

90

40

25

25

30

100

80

26

26

80

80

90

27

27

90

90

100

28

28

100

100

10

29

29

10

10

20

30

30

20

20

40

31

31

40

40

80

32

32

50

50

90

33

33

90

90

100

34

34

100

50

10

35

35

10

90

20

36

36

20

100

40

 

а

г

б

а

 

1 схема                                 2 схема                                  3 схема

image049  image050  image051

 

4 схема                                 5 схема                                    6 схема

image052  image053  image054

 

7 схема                                 8 схема                                      9 схема

image055  image056  image057

 

10 схема                                 11 схема                                  12 схема

image058image049image050

 

13 схема                                 14 схема                                15 схема

image051image052  image053

 

16 схема                                17 схема                                  18 схема

image054image055  image056

 

19 схема                                 20 схема                               21 схема

image057image058image049

 

22 схема                                 23 схема                                 24 схема

image050  image051image052

 

25 схема                                 26 схема                                 27 схема

image053  image054image055

 

28 схема                                   29 схема                                  30 схема

image056  image057image058

 

31 схема                                 32 схема                                  33 схема

image049  image050  image051

 

34 схема                                 35 схема                                  36 схема

image052  image053  image054

Рис. 1

 

Задача 2. Исследование плоского напряженного состояния.

На расчетной схеме (рис.2) указаны две элементарные площадки, на гранях которых возникают нормальные и касательные напряжения.

Требуется  для схемы а):

1. Указать главную площадку общего положения.

2. На главной площадке присвоить главным напряжениям соответствующие индексы.

3. По главным напряжениям определить нормальные и касательные напряжения в площадке, положение которых задается нормалью n.

Требуется для схемы б):

1. По напряжениям, заданным на площадке общего положения, определить главные напряжения и их направление.

2. Решение задачи выполнить аналитически и с использованием кругов Мора.

Примечание: 

Данные для решения взять согласно ниже приведенных расчетных схем из табл. 2.

а)                                                                б)

Рис. 2.

 

Таблица 2

Номер

строки

Числовые данные вариантов

σгор,

МПа

σверт,

МПа

α,

град.

σx,

МПа

σy,

МПа

τxy,

МПа

01

-20

-48

60

46

0

-14

02

18

-40

-45

30

0

-50

03

0

40

-40

0

-41

-13

04

46

30

-45

50

20

30

05

-30

-50

45

42

0

32

06

0

-40

-70

20

40

-40

07

0

50

50

28

20

-38

08

49

30

-50

-50

0

-12

09

-20

-48

-40

0

33

21

10

-39

0

-20

0

-12

22

11

48

20

30

0

22

-23

12

20

-47

60

-30

21

18

13

19

-39

60

50

-10

-60

14

40

44

-30

15

0

36

15

47

-30

-45

-28

56

-15

16

0

-44

60

26

-44

11

17

30

0

-60

-20

25

16

18

-18

49

30

-10

-50

-20

19

0

25

-70

-35

0

-61

20

-45

0

30

40

-30

40

21

0

-32

-20

-58

-20

17

22

-20

50

-60

-22

0

41

23

0

-31

60

40

-18

-45

24

49

0

40

-40

20

-30

25

26

40

30

62

32

24

26

-5

-50

30

25

-15

50

27

-35

0

-40

0

-60

-20

28

23

0

20

0

35

28

29

20

0

-45

-12

-39

-19

30

47

40

60

0

30

-40

 

в

а

г

б

в

а

 

Задача 3. Исследование плоского напряженного состояния.

Стальная пластинка (рис.3) с указанными в таблице 3 размерами, находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние. Дано E=1000 МПа, μ=0,3.

Требуется найти:

1. Напряжения σx, σy, σ, τxy, τ.

2. Максимальные напряжения σmax, σmin.

3. Деформации εx,  εy.

Данные взять из табл.3.

Таблица 3

Номер

cтроки

Номер схемы

по рис.3

BF,

см

BD,

см

01

1

4

3

02

2

8

6

03

3

3

3

04

4

4

3

05

5

3

3

06

6

4

3

07

7

8

6

08

8

3

3

09

9

4

3

10

10

3

3

11

11

4

3

12

12

8

6

13

13

3

3

14

14

4

3

15

15

3

3

16

16

4

3

17

17

8

6

18

18

3

3

19

19

4

3

20

20

3

3

21

21

4

3

22

22

8

6

23

23

3

3

24

24

4

3

25

25

3

3

26

26

4

3

27

27

8

6

28

28

3

3

29

29

4

3

30

30

3

3

31

31

4

3

32

32

8

6

33

33

3

3

34

34

4

3

35

35

3

3

36

36

8

6

 

г

в

а

 

1 схема                                                        2 схема

 

 

3 схема                                                        4 схема

 

 

5 схема                                                        6 схема

 

 

7 схема                                                        8 схема

 

 

9 схема                                                        10 схема

 

 

11 схема                                                        12 схема

 

 

13 схема                                                        14 схема

 

 

15 схема                                                        16 схема

 

 

17 схема                                                        18 схема

 

 

19 схема                                                        20 схема

 

 

21 схема                                                        22 схема

 

 

23 схема                                                        24 схема

 

 

25 схема                                                        26 схема

 

 

27 схема                                                        28 схема

 

 

29 схема                                                        30 схема

 

 

31 схема                                                        32 схема

 

 

33 схема                                                        34 схема

 

 

35 схема                                                        36 схема

Рис.3

 

Задача 4. Исследование плоского напряженного состояния по заданным напряжениям на произвольных площадках. Проверка прочности

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 4 и схемам на рис. 4.

1. Найдите нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке.

2. Найдите величины главных напряжений и угол наклона главных площадок к заданным площадкам. Покажите главные площадки с действующими на них напряжениями на рисунке.

3. Определите величины наибольших касательных напряжений: наибольшего касательного напряжения для заданного плоского напряженного состояния  (max τ) и максимального касательного напряжения для заданного элементарного параллелепипеда (т.е. полученного при исследовании объемного напряженного состояния – τmax). Покажите  на рисунке площадки, на которых действуют эти напряжения (max τ и τmax). Найдите нормальные напряжения на этих площадках.

4. Проверьте прочность материала заданного элементарного параллелепипеда. Найдите действительный коэффициент запаса прочности. Покажите на рисунке опасные площадки.

5. Найдите величины относительных продольных деформаций по главным направлениям и относительную объемную деформацию. Покажите деформации на рисунке.

6*. Постройте следы предельных поверхностей, соответствующие используемым теориям прочности. Покажите точку, изображающую заданное напряженное состояние, найдите графически действительный коэффициент запаса прочности.

Примечание. Пункты 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

 

Таблица 4

Номер

строки

№ схемы

на рис.4

σx, МПа

σz, МПа

τxz, МПа

β, град

σпред, МПа

Материал

01

1

10

-20

30

15

240

Сталь

02

2

-20

30

-40

30

180/600

Чугун

03

3

50

40

50

45

150

Бронза

04

4

-30

-50

-60

60

150/500

Чугун

05

1

-10

30

10

75

210

Дюралюмин.

06

2

20

-40

-20

15

160/480

Чугун

07

3

-70

-60

20

30

260

Сталь

08

4

40

30

-10

45

120

Бронза

09

4

-80

70

-30

60

180/600

Чугун

10

3

60

-30

40

75

200

Дюралюмин.

 

г

в

а

б

г

в

а

 

1 схема                        2 схема

1   2

 

 

3 схема                              4 схема

3   4

Рис. 4

 

Задача 5. Исследование плоского напряженного состояния по заданным напряжениям на главных площадках. Проверка прочности

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 5 и схемам на рис. 5.

1. По заданным главным напряжениям найдите нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке.

2. Определите величины наибольших касательных напряжений: наибольшего касательного напряжения для заданного плоского напряженного состояния max τ и максимального касательного напряжения для заданного элементарного параллелепипеда τmax (т.е. полученного при исследовании объемного напряженного состояния). Покажите на рисунке площадки, на которых они действуют. Найдите нормальные напряжения на этих площадках.

3. Проверьте прочность материала заданного элементарного параллелепипеда. Найдите действительный коэффициент запаса прочности. Покажите на рисунке опасные площадки.

4. Найдите компоненты тензора деформаций для заданного напряженного состояния. Покажите деформации на рисунке.

5*. Постройте следы предельных поверхностей, соответствующие используемым теориям прочности. Покажите точку, изображающую заданное напряженное состояние,  найдите графически действительный коэффициент запаса прочности.

Примечание. Пункты 1 и 2 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

 

Таблица 5

Номер

строки

№ схемы

на рис. 5

,

МПа

β,

град

,

МПа

σпред,

МПа

Материал

01

4

50

75

40

180/600

Чугун

02

3

-100

45

-50

150

Бронза

03

2

80

60

-30

150/450

Чугун

04

1

-80

30

30

240

Сталь

05

4

-90

15

-10

180/600

Чугун

06

3

20

30

60

200

Дюралюмин.

07

2

-110

15

-120

160/500

Чугун

08

1

10

60

-10

180/540

Чугун

09

1

-70

75

-20

260

Сталь

10

2

0

30

-60

150/450

Чугун

 

в

г

б

а

в

г

 

1 схема                             2 схема

1   2

 

 

3 схема                         4 схема

3  4

Рис.5

 

 

Примеры выполнения задач

Пример 1

Дано:  = -25 МПа;  = -75 МПа;  = 20 МПа;  = 55°; для чугуна  = 80 Мпа; рис.6.

Рис.6

 

Решение.

1. По заданным напряжениям, действующим по граням элемента, определим главные напряжения с помощью круга Мора (рис.7). Напряженное состояние в какой-либо площадке можно представить точкой в координатной плоскости , а напряженное состояние в двух взаимно-перпендикулярных площадках соответствует двум точкам, расположенных на концах диаметра круга Мора. Поэтому для построения круга Мора отложим в системе координат  точку, соответствующую напряженному состоянию в грани А, и точку, соответствующую напряженному состоянию в грани В.

Соединив точки А и В прямой линией, получим диаметр круга Мора, пересечение которого с осью  дает центр круга Мора. Пересечение окружности, проведенной  из центра С радиусом СА, с осью  дает значение главных напряжений  и  в окрестности выделенного элемента.

Рис.7

 

Из круга Мора получаем:

 = -18 МПа;  = -82 МПа.

Наибольшие касательные напряжения будут равны  = 32МПа. Для определения напряжения в площадке, наклонной под углом  = 55° к горизонтальной площадке В, надо от точки В отложить против часовой стрелки центральный угол  = 110°. Тогда координаты точки D и будут напряжениями в площадке . Окончательно получим:

 = -23 МПа;  = -17 МПа.

2. Теперь определим аналитически, чему равны главные напряжения и наибольшие касательные напряжения по формулам:

Подставляя исходные данные, получим:

что совпадает со значениями напряжений, снятых с круга Мора.

3. Покажем на схеме положение главных площадок и направление главных напряжений (рис.8). Для того, чтобы от площадки А перейти к площадке, где действует главное напряжение , нужно совершить поворот по часовой стрелке на угол . Поэтому на схеме от площадки А откладываем по часовой стрелке угол  и получаем площадку, в которой действует главное напряжение . В перпендикулярной ей площадке действует главное напряжение . Так как   и   является  отрицательными величинами, то они вызывают сжатие на своих площадках.

Рис.8

 

4. Проверим прочность материала по критерию наибольших касательных напряжений, который иногда называется третьей теорией прочности, по формуле:

,

где R – расчетное сопротивление материала при одноосном растяжении.

Подставляем в формулу  и  для той заданной площадки, в которой действует большее по модулю нормальное напряжение  и . В нашем случае это площадка В. Подставляя значения  и  в исходную формулу, получим:

Следовательно, величины напряжений, действующих по заданным площадкам, являются недопустимыми для данного материала с точки зрения его прочности.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов