Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Построение эпюр продольных усилий и перемещений при растяжении –сжатии стержня переменного поперечного сечения при действии распределенной нагрузки.

Для вертикального стержня, имеющего жесткую заделку на одном из концов, изображенного на рис.1 необходимо:

1) Вычертить схему в произвольном масштабе.

2) Определить значения нормальной силы на каждом участке стержня.

3) Построить эпюру нормальной силы.

4) Определить удлинение стержня.

Длины участков стержня и нагрузки, приложенные к нему, приведены в табл.1, площадь поперечного сечения узкого участка А = 0,2 м2, широкого участка 2А.

 

Таблица 1

Номер

cтроки

Схема

по рис.1

а,

м

q1=q3,

кН/м

q2,

кН/м

F1,

кН

F2,

кН

F3,

кН

01

1

0,8

5

30

10

35

10

02

2

1

10

25

15

30

20

03

3

1,2

15

20

20

25

30

04

4

1,4

20

15

25

20

40

05

5

1,6

25

10

30

15

10

06

6

1,8

30

5

35

10

20

07

7

2

5

30

40

5

30

08

8

0,8

10

25

10

35

40

09

9

1

15

20

15

30

10

10

10

1,2

20

15

20

25

20

11

11

1,4

10

25

20

30

30

12

12

1,6

15

20

25

25

40

13

13

1,8

20

15

30

20

10

14

14

2

25

10

35

15

20

15

15

0,8

30

5

40

10

30

16

16

1

5

30

10

5

40

17

17

1,8

20

25

15

35

10

18

18

2

25

25

25

30

20

19

19

0,8

30

20

30

20

40

20

20

1

5

15

35

15

10

21

21

1,2

10

10

40

10

20

22

22

1,4

15

5

10

5

30

23

23

1,6

20

30

15

35

40

24

24

1,8

10

25

20

30

10

25

25

2

15

20

20

25

20

26

26

0,8

20

15

25

30

30

27

27

1

25

25

40

25

40

28

28

1,8

30

20

10

20

10

29

29

2

5

15

15

15

20

30

30

0,8

20

10

25

10

30

31

31

1

10

30

30

5

40

32

32

1,2

15

25

35

35

10

33

33

1,4

20

20

40

30

20

34

34

1,6

25

15

10

25

10

35

35

1

30

25

15

30

20

36

36

1,2

15

20

25

25

30

 

б

г

а

в

б

а

г

 

1 схема               2 схема              3 схема             4 схема

 

 

 

5 схема               6 схема              7 схема             8 схема

 

 

9 схема              10 схема              11 схема             12 схема

 

 

13 схема               14 схема              15 схема             16 схема

 

 

 

17 схема               18 схема              19 схема             20 схема

 

 

21 схема            22 схема          23 схема              24 схема

 

 

25 схема               26 схема              27 схема             28 схема

 

 

29 схема              30 схема              31 схема             32 схема

 

 

 

33 схема              34 схема              35 схема             36 схема

Рис.1

 

 

Задача 2. Статически определимые стержни, работающие на растяжение-сжатие

         Сопоставить объемы (кубатуру) кирпичной кладки стены двухэтажного здания высотой h (рис.2), запроектированного в двух вариантах: а) стена постоянного сечения; б) ступенчатая из двух частей. От чердачного перекрытия и кровли на погонный метр стены передается нагрузка интенсивности р1, от междуэтажных перекрытий – р2. Объемный вес материала равен γ.

            Данные взять из табл.2.

Таблица 2

Номер

cтроки

Схема

по рис.2

γ,

кН/м3

h,

м

01

1

18

2,7

02

2

19

2,8

03

3

20

2,9

04

4

21

3,0

05

5

22

3,1

06

6

18

3,2

07

7

19

3,3

08

8

20

3,4

09

9

21

3,5

10

10

22

3,6

11

11

19

2,6

12

12

20

2,8

13

13

21

2,8

14

14

22

2,7

15

15

18

2,9

16

16

16

2

17

17

17

2,1

18

18

18

2,2

19

19

19

2,4

20

20

20

2,6

21

21

18

2,8

22

22

19

2,8

23

23

20

2,7

24

24

21

2,9

25

25

15

2

26

26

16

2,1

27

27

17

2,2

28

28

18

2,4

29

29

19

2,6

30

30

20

2,8

31

31

15

2,8

32

32

16

2,7

33

33

17

2,9

34

34

18

2,2

35

35

19

2,4

36

36

20

2,6

 

б

а

в

 

1 схема                                                                 2 схема

   

 

 

3 схема                                                                 4 схема

  

 

 

5 схема                                                                 6 схема

  

 

 

7 схема                                                                 8 схема

  

 

 

9 схема                                                                 10 схема

  

 

 

11 схема                                                                 12 схема

  

 

 

13 схема                                                                 14 схема

  

 

 

15 схема                                                                 16 схема

  

 

 

17 схема                                                                 18 схема

  

 

 

19 схема                                                                 20 схема

   

 

 

21 схема                                                                 22 схема

  

 

 

23 схема                                                                 24 схема

  

 

 

25 схема                                                                 26 схема

  

 

 

27 схема                                                                 28 схема

  

 

 

29 схема                                                                 30 схема

  

 

 

31 схема                                                                 32 схема

  

 

 

33 схема                                                                 34 схема

  

 

 

35 схема                                                                 36 схема

  

Рис.2

 

 

Задача 3. Построение эпюр продольных усилий, напряжений и перемещений при растяжении – сжатии стержня переменного поперечного сечения

Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений для стержня переменного сечения.

Данные взять из табл.3.

Таблица 3

Номер

cтроки

Схема

по рис.3

01

1

02

2

03

3

04

4

05

5

06

6

07

7

08

8

09

9

10

10

11

11

12

12

13

13

14

14

15

15

16

16

17

17

18

18

19

19

20

20

21

21

22

22

23

23

24

24

25

25

26

26

27

27

28

28

29

29

30

30

 

в

 

1 схема                                                    2 схема                       

image001image002      

 

3 схема                                                    4 схема        

image003image004                     

 

5 схема                                                    6 схема       

image005   image006

 

        7 схема                                                    8 схема       

image007image008

 

        9 схема                                                     10 схема       

image009image010

        

11 схема                                                         12 схема     

image011 image012 

 

13 схема                                                         14 схема       

image013image014

 

15 схема                                                         16 схема     

image015image016 

 

17 схема                                                         18 схема       

image017image018

 

19 схема                                                         20 схема       

image019image020

 

21 схема                                                         22 схема    

image021image022  

 

23 схема                                                         24 схема    

image023image024  

 

25 схема                                                         26 схема       

image025image026

 

27 схема                                                         28 схема      

image027image028 

 

29 схема                                                         30 схема      

image029image030 

Рис.3

 

 

Задача 4. Построение эпюр продольных усилий, напряжений и перемещений при растяжении – сжатии стержня переменного поперечного сечения

Ступенчатый стержень находится под действием осевых сил.

1) Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

2) Определить перемещение сечения I-I.

Стержень изготовлен из стали Е = 2105 МПа.

Данные взять из табл.4.

Таблица 4

Номер

cтроки

Схема

по рис.4

А,

см2

а,

м

b,

м

с,

м

F,

кН

01

1

10

2

2

1

100

02

2

12

2,1

3

1,1

120

03

3

14

2,2

2,9

1,2

130

04

4

16

2,4

2,7

1,3

140

05

5

18

2,6

2,8

1,4

150

06

6

15

2,8

2,4

1,5

160

07

7

17

2,8

2,3

1,6

170

08

8

19

2,7

2,2

1,7

180

09

9

18

2,9

2,1

1,8

180

10

10

20

2,4

2,5

2

200

11

11

10

2,6

2

1

100

12

12

12

2,8

3

1,1

120

13

13

14

2,8

2,9

1,2

130

14

14

16

2,7

2,7

1,3

140

15

15

18

2,9

2,8

1,4

150

16

16

15

2

2,4

1,5

160

17

17

17

2,1

2,3

1,6

170

18

18

19

2,2

2,2

1,7

180

19

19

18

2,4

2,1

1,8

180

20

20

20

2,6

2,5

2

200

21

21

10

2,8

2

1

100

22

22

12

2,8

3

1,1

120

23

23

14

2,7

2,9

1,2

130

24

24

16

2,9

2,7

1,3

140

25

25

18

2

2,8

1,4

150

26

26

15

2,1

2,4

1,5

160

27

27

17

2,2

2,3

1,6

170

28

28

19

2,4

2,2

1,7

180

29

29

18

2,6

2,1

1,8

180

30

30

20

2,8

2,5

2

200

31

31

12

2,8

2,8

1,2

100

32

32

14

2,7

2,4

1,3

120

 

в

г

б

а

в

а

 

1 схема                            2 схема                              3 схема                            4 схема

image032image033image034image035

 

 

5 схема                            6 схема                         7 схема                            8 схема

image036image037image038image039

 

 

9 схема                            10 схема                           11 схема                          12 схема

image040image041image042image043

 

 

13 схема                            14 схема                          15 схема                            16 схема

image044image045image046image047

 

 

17 схема                           18 схема                         19 схема                            20 схема

image048image049image050image051

 

 

21 схема                            22 схема                        23 схема                            24 схема

image052image053image054image055

 

 

25 схема                            26 схема                          27 схема                          28 схема

image056image057image058image059

 

 

29 схема                           30 схема                         31 схема                          32 схема

image060image061image062image063

Рис.4

 

 

Задача 5. Расчет статически определимого ступенчатого бруса при растяжении и сжатии

Ступенчатый брус нагружен силами P1, P2 и P3, направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b, c и площади их поперечных се­че­­ний F1 и F2. Модуль упругости материала E=2105 МПа, предел текучести σT=240 МПа и запас прочности по отношению к пре­делу теку­чести nT=1,5.

 Требуется:

 1) построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и про­дольных пе­­ремещений ;

 2) проверить, выполняется ли условие прочности.

Расчетные схемы выбираются на рис. 5, числовые данные берутся из табл. 5.

Таблица 5

Номер

строки

Схема

по рис. 5

Сила, кН

Длина участков, м

Площадь поперечного сечения, см2

P1

P2

P3

а

b

с

F1

F2

01

1

40

90

100

0,3

0,5

0,6

5

10

02

2

45

80

120

0,3

0.5

0,5

4

12

03

3

50

85

110

0,4

0,6

0,4

6

14

04

4

35

70

115

0,4

0,6

0,6

4

10

05

5

40

75

100

0,5

0,4

0,3

5

15

06

6

50

80

95

0,5

0,4

0,4

6

18

07

7

60

70

120

0,3

0,2

0,5

4

12

08

8

45

60

115

0,4

0,3

0,6

7

10

09

9

35

65

110

0,2

0,4

0,4

8

14

10

10

30

90

95

0,5

0,5

0,3

6

16

 

з

ж

а

д

е

ж

г

б

в

 

1 схема                                                        2 схема

1  2

 

 

3 схема                                                         4 схема

3  4

 

 

5 схема                                                6 схема

5 6

 

 

7 схема                                                   8 схема

7 8

 

 

9 схема                                                   10 схема

9 10

Рис. 5

 

 

Задача 6. Расчет стержня переменного сечения, работающего на растяжение-сжатие

К консольному стержню переменного поперечного сечения (рис. 6) приложены сосредоточенные силы F и P.

Требуется:

1) построить эпюру нормальной силы (в долях P);

2) построить эпюру нормальных напряжений (в долях P/S);

3) построить эпюру перемещений (в долях Pl/ES);

4) определить из условия прочности по максимальным напряжениям допустимое значение параметра нагрузки P;

5) при найденном значении параметра нагрузки P вычислить перемещение свободного конца стержня.

Принять: материал – сталь 40; [n]=2; l=20 см; S=2 см2; σТ=320 Мпа.

Расчетные схемы выбираются на рис.6, числовые данные берутся из табл. 6.

Таблица 6

Номер

cтроки

Схема

по рис.6

l1/l

l2/l

F/P

01

I

1,0

1,0

4

02

II

1,5

3,0

6

03

III

2,0

2,0

5

04

IV

3,0

1,5

4

05

V

2,0

1,0

–4

06

VI

1,0

1,0

–5

07

VII

1,0

3,0

–3

08

VIII

1,5

2,0

4

09

IX

2,0

3,0

6

10

X

2,0

1,5

5

11

I

1,0

1,0

4

12

II

1,5

3,0

6

13

III

2,0

2,0

5

14

IV

3,0

1,5

4

15

V

2,0

1,0

–4

16

VI

1,0

1,0

–5

17

VII

1,0

3,0

–3

18

VIII

1,5

2,0

4

19

IX

2,0

3,0

6

20

X

2,0

1,5

5

21

I

1,0

1,0

4

22

II

1,5

3,0

6

23

III

2,0

2,0

5

24

IV

3,0

1,5

4

25

V

2,0

1,0

–4

26

VI

1,0

1,0

–5

27

VII

1,0

3,0

–3

28

VIII

1,5

2,0

4

29

IX

2,0

3,0

6

30

X

2,0

1,5

5

31

I

1,0

1,0

4

32

II

1,5

3,0

6

 

а

г

б

в

 

2пособие по сопромату задачи

Рис.6

 

 

Задача 7. Расчет стержня переменного сечения, работающего на растяжение-сжатие

К консольному стержню переменного поперечного сечения (рис.7) приложены продольные силы.

Требуется:

1) построить эпюру нормальной силы (в долях ql) и эпюру нормальных напряжений (в долях ql/S);

2) определить из условия прочности по максимальным напряжениям допустимое значение параметра нагрузки q;

3) построить эпюру перемещений (в долях ql2/ES)

4) при найденном значении q вычислить перемещение свободного конца стержня.

Принять: материал – Ст 3; [n] = 2; l = 20 см; S = 2 см2; σТ=230 Мпа.

Расчетные схемы выбираются на рис.7, числовые данные берутся из табл.7.

Таблица 7

Номер

cтроки

Схема

по рис.7

l1/l

l2/l

F/ql

01

I

1,0

4,0

2,0

02

II

1,5

3,0

1,0

03

III

2,0

3,5

1,5

04

IV

3,0

3,5

2,0

05

V

3,0

3,0

1,0

06

VI

1,0

3,0

1,5

07

VII

1,0

4,0

2,0

08

VIII

1,5

3,0

1,0

09

IX

2,0

2,5

1,5

10

X

2,0

2,5

1,0

11

I

1,0

4,0

2,0

12

II

1,5

3,0

1,0

13

III

2,0

3,5

1,5

14

IV

3,0

3,5

2,0

15

V

3,0

3,0

1,0

16

VI

1,0

3,0

1,5

17

VII

1,0

4,0

2,0

18

VIII

1,5

3,0

1,0

19

IX

2,0

2,5

1,5

20

X

2,0

2,5

1,0

21

I

1,0

4,0

2,0

22

II

1,5

3,0

1,0

23

III

2,0

3,5

1,5

24

IV

3,0

3,5

2,0

25

V

3,0

3,0

1,0

26

VI

1,0

3,0

1,5

27

VII

1,0

4,0

2,0

28

VIII

1,5

3,0

1,0

29

IX

2,0

2,5

1,5

30

X

2,0

2,5

1,0

31

I

1,0

4,0

2,0

32

II

1,5

3,0

1,0

 

а

г

б

в

 

2пособие по сопромату задачи

Рис.7

 

 

Задача 8. Расчет ступенчатого статически определимого и статически неопределимого бруса на растяжение-сжатие

Часть I. Для заданного статически определимого стального ступенчатого бруса требуется:

1. Построить эпюру продольных сил.

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать поперечные сечения для каждой ступени, приняв [σ]= 160 МПа.

3. Определить полную деформацию бруса и построить эпюру перемещений поперечных сечений, приняв  Е = 2105 МПа.

4. Найти перемещение заданного сечения  А–А.

Часть II. Для ступенчатого бруса, рассмотренного в части I (с подобранными поперечными сечениями), жестко закрепив свободный конец, требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость.

2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

3. Найти полные напряжения для каждой ступени и сравнить их с допускаемыми напряжениями.

 

Примечания:

1. Данные для решения задачи взять в табл.8 и на рис.8.

2. Для всех расчетных схем на рис.8 длины ступеней l  указаны слева, а места приложения нагрузок – точками.

 

Таблица 8

Номер

строки

Схема

по рис.8

l, м

F, кН

01

1

0,4

12

02

2

0,5

24

03

3

0,6

13

04

4

0,65

15

05

5

0,45

16

06

6

0,3

23

07

7

0,55

25

08

8

0,33

14

09

9

0,43

17

10

10

0,6

12

11

11

0,4

24

12

12

0,5

13

13

13

0,6

15

14

14

0,65

16

15

15

0,45

23

16

16

0,3

25

17

17

0,55

14

18

18

0,33

17

19

19

0,43

12

20

20

0,6

24

21

21

0,4

13

22

22

0,5

15

23

23

0,6

16

24

24

0,65

23

25

25

0,45

25

26

26

0,3

14

27

27

0,55

17

28

28

0,33

12

29

29

0,43

24

30

30

0,6

13

 

в

а

г

 

        1 схема                        2 схема                      3 схема                        4 схема                     5 схема

1 2 3 4 5

 

 

     6 схема                        7 схема                      8 схема                        9 схема                     10 схема

6 7 8  9 10

 

 

      11 схема                           12 схема                      13 схема                      14 схема                   15 схема

1 2 3 4 5

 

 

     16 схема                           17 схема                          18 схема                         19 схема                     20 схема

6 7 8 9 10

 

 

     21 схема                           22 схема                        23 схема                         24 схема                      25 схема

1 2 3 4 5

 

 

    26 схема                           27 схема                          28 схема                         29 схема                     30 схема

678910

Рис.8

 

 

Задача 9. Расчет статически определимого и статически неопределимого бруса на растяжение - сжатие

Часть I. Для заданного статически определимого стального ступенчатого бруса требуется:

1. Построить эпюру продольных сил.

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать поперечное сечение для каждой ступени, приняв допускаемое напряжение [σ] =160 МПа и заданное соотношение площадей А12.

3. Определить полную деформацию бруса и построить эпюру перемещений поперечных сечений, приняв для материала модуль упругости Е = 2105 МПа.

4. Найти перемещения заданного сечения А-А.

Часть II. Для заданного статически неопределимого стального ступенчатого бруса требуется:

1. Установить, закроется ли зазор для заданной расчетной схемы.

2. Раскрыть статическую неопределимость.

3. Построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений.

4. Проверить прочность бруса, если допускаемое напряжение  [σ] = 160 МПа.

Примечания:

1. Данные для решения взять в табл.9 и рис.9

2. Места приложения нагрузок указаны точками.

3. Зазоры δ имеют указанные размеры до приложения внешней нагрузки.

4. Под соотношением площадей А12 следует понимать отношение большей расчетной площади -  к меньшей.

 

Таблица 9

Номер

строки

Схема

по рис.9

F,

кН

l,

м

А12

𝛿,

мм

А10-4,

м2

01

1

20

0,40

2,5

0,01

4

02

2

18

0,45

2

0,02

5

03

3

24

0,50

3

0,03

10

04

4

30

0,55

2

0

5

05

5

35

0,40

1,5

0,01

10

06

6

25

0,50

2

0,02

5

07

7

27

0,60

3

0,03

8

08

8

31

0,40

2

0,04

5

09

9

34

0,25

2,5

0

10

10

10

37

0,20

2

0,02

5

11

11

15

0,30

2,5

0,01

15

12

12

20

0,40

2

0,02

20

13

13

26

0,45

3

0,03

4

14

14

15

0,50

2

0

5

15

15

17

0,55

1,5

0,01

10

16

16

23

0,40

2

0,02

5

17

17

29

0,50

3

0,03

10

18

18

32

0,60

2

0,04

5

19

19

35

0,40

2,5

0

8

20

20

38

0,25

2

0,02

5

21

21

35

0,20

2,5

0,01

10

22

22

25

0,30

2

0,02

5

23

23

27

0,40

3

0,03

15

24

24

31

0,45

2

0

20

25

25

34

0,50

1,5

0,01

4

26

26

37

0,55

2

0,02

5

27

27

15

0,40

3

0,03

10

28

28

20

0,50

2

0,04

5

29

29

26

0,60

2,5

0

10

30

30

15

0,40

2

0,02

5

 

в

а

г

б

в

г

 

1 схема                                                                2 схема

1   2

 

3 схема                                                                  4 схема

3  4

 

 

5 схема                                                           6 схема

5  6

 

 

7 схема                                                             8 схема

78

 

 

9 схема                                                            10 схема

910

 

 

11 схема                                                                         12 схема

1 2

 

 

13 схема                                                                      14 схема

3 4

 

 

15 схема                                                                   16 схема

56

 

 

17 схема                                                                  18 схема

78

 

 

19 схема                                                                      20 схема

9 10

 

 

21 схема                                                                    22 схема

12

 

 

23 схема                                                                        24 схема

3 4

 

 

25 схема                                                                     26 схема

7 8

 

 

27 схема                                                                    28 схема

7 8

 

 

29 схема                                                                    30 схема

9 10

Рис.9

 

 

Задача 10. Подбор сечения стержня, подверженного растяжению-сжатию

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 10 и схеме на рис.10.

1. Нарисуйте в масштабе стержень с учетом соотношений площадей, заданных в таблице 8. Отрицательные нагрузки направьте в сторону, противоположную показанной на рисунке 9. Все числовые значения подпишите на расчетной схеме.

2. Найдите, используя метод сечений, продольные силы на каждом участке стержня и постройте в масштабе эпюру изменения продольной силы по длине стержня.

3. Постройте в масштабе эпюру распределения напряжений по длине стержня в долях от А1, используя заданные отношения α=А2/A1 и β=А3/А1.

4. Из условия прочности подберите размеры поперечных сечений стержня на каждом участке, сохраняя заданное отношение площадей.

5. Найдите действительные коэффициенты запаса прочности в каждой части стержня.

6*. Определите, при каком соотношении А2/А1  и А3/А1 конструкция будет наиболее экономичной.

7*. Вычислите абсолютную деформацию стержня.

Таблица 10

Номер

строки

l1,

м

q1,

кН/м

q2,

кН/м

α

l2,

м

q3,

кН/м

F2,

кН

F3,

кН

l3,

м

F1,

кН

β

Материал на участке

1

2

01

1,0

10

0

1,0

0,5

20

10

0

1,0

50

1,0

Сталь

Бронза

02

1,5

0

10

0,8

1,0

-20

0

20

0,5

-50

1,8

Чугун

Дюрал.

03

1,0

20

0

0,6

1,5

10

-10

0

2,0

40

1,4

Бронза

Чугун

04

2,0

0

20

0,4

2,0

5

0

-20

1,5

-40

1,6

Чугун

Бронза

05

0,5

-10

0

1,0

1,5

-5

30

0

1,0

30

1,2

Бронза

Дюрал.

06

1,5

0

-10

1,2

1,0

-10

0

30

0,5

-30

2,0

Сталь

Чугун

07

1,00

-20

0

1,4

0,5

10

-30

0

1,0

20

0,4

Дюрал.

Сталь

08

1,5

0

-5

1,6

1,0

-20

0

-40

0,5

-60

0,6

Чугун

Сталь

09

1,0

-5

0

1,8

1,5

30

-50

0

2,0

10

0,8

Бронза

Сталь

10

0,5

0

-20

2,0

2,0

-30

0

-10

1,0

-10

1,0

Дюрал.

Чугун

 

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

 

Рис. 10

 

Задача 11. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 11 и схемам на рис. 11.

1. Нарисуйте схему стержня в масштабе, используя заданные отношения площадей поперечных сечений α=А2/А1 и β=А3/А1 . На рисунке поставьте размеры стержня и значения нагрузки в численном виде.

2. Найдите продольную силу на каждом участке стержня с учетом собственного веса и постройте в масштабе эпюру распределения продольной силы вдоль оси стержня.

3. Определите напряжения на каждом участке и постройте в масштабе эпюру распределения напряжений по длине стержня.

4. Найдите вертикальное перемещение заданного сечения а-а.

5*. Выясните, при каком значении α=A2/A1  конструкция будет наиболее экономичной (значение β =A3/A1 считайте неизменной величиной).

 

Таблица 11

Номер

строки

Схема

по рис. 9

l1,

м

A1,

м2

γ,

кН/м3

E,

105 МПа

α

k2

F1,

кН

F2,

кН

β

k1

k3

F3,

кН

01

1

10

0,05

80

2,0

1,0

0,5

10

0

1,0

1,0

0,5

50

02

2

2

0,8

20

0,7

1,2

0,6

0

-10

1,2

1,2

1,0

-50

03

1

12

0,04

70

1,9

1,4

0,7

-20

0

1,4

1,4

0,8

40

04

2

3

1,0

25

0,8

1,0

0,8

0

20

1,0

1,0

0,4

-40

05

1

14

0,06

65

1,2

0,6

0,9

30

0

0,8

0,9

0,6

30

06

2

4

1,2

30

0,9

0,8

1,0

0

-30

0,6

0,8

0,4

-30

07

1

16

0,08

75

2,0

1,0

1,1

-40

0

1,6

0,7

0,3

20

08

2

5

1,4

35

1,0

1,1

1,2

0

40

1,4

0,6

0,2

-20

09

1

18

0,1

80

2,1

1,2

1,3

50

0

1,2

0,5

0,4

10

10

2

6

1,6

20

0,8

1,0

1,4

0

-50

1,0

1,0

0,7

-10

 

г

а

в

б

г

а

в

б

г

а

в

б

г

 

Рис. 11

 

 

Задача 12. Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 12  и схема по рис. 12.

1. Убедитесь в том, что в процессе деформации от заданной силы F зазор δ будет перекрыт и конструкция превратится в статически неопределимую.

2. Найдите продольные силы в каждой части стержня от заданной силы F, раскрыв статическую неопределимость. Для этого выполните следующее:

- запишите уравнения равновесия;

- составьте условия совместности деформаций;

- запишите физические уравнения (закон Гука);

- решите совместно эти уравнения.

3. Постройте эпюры распределения продольной силы и напряжений по длине стержня.

4. Проверьте прочность стержня. Если условие прочности в какой-то части стержня выполняться не будет, то подберите новое значение нагрузки F, при которой условие прочности на всех участках будет удовлетворяться.

5. Найдите температурные напряжения, возникающие при нагревании стержня на T. Предварительно убедитесь в том, что при нагревании стержня зазор δ будет перекрыт и конструкция превратится в статически неопределимую.

6. Найдите продольные силы в каждой части стержня от температурного воздействия, раскрыв статическую неопределимость так же, как в п.2

7. Постройте эпюры распределения продольной силы и температурных напряжений по длине стержня.

8. Проверьте прочность. Если условие прочности, в какой-то части стержня не выполняется, измените T так, чтобы условие прочности всюду выполнялось.

                                                                                                                                                          

Таблица 12

Номер

строки

F1,

кН

F2,

кН

l1,

м

A1,

см2

l2,

м

l3, 

м

α

δ,

мм

β

T, 

оС

Материал на участке

 

1

2

3

01

100

0

2,0

12

1

2,0

1

0,10

1,2

50

Сталь

Сталь

Дюрал.

02

0

100

1,8

14

1,2

1,8

0,9

0,11

1,0

60

Дюрал.

Сталь

Сталь

03

120

0

1,6

16

1,4

1,6

0,8

0,12

0,8

70

Дюрал.

Бронза

Сталь

04

0

120

1,4

18

1,6

1,4

0,7

0,13

1,0

80

Сталь

Дюрал.

Бронза

05

140

0

2,0

20

1,8

1,2

0,6

0,14

1,1

90

Бронза

Бронза

Сталь

06

0

140

1,4

22

2,0

1,0

0,5

0,15

0,9

100

Бронза

Дюрал.

Бронза

07

160

0

1,6

24

1,8

1,2

1,0

0,16

1,0

95

Сталь

Сталь

Чугун

08

0

160

1,8

26

1,6

1,4

0,8

0,17

1,3

85

Бронза

Сталь

Бронза

09

200

0

2,0

28

1,4

1,6

0,6

0,18

0,7

75

Бронза

Дюрал.

Сталь

10

0

200

2,2

30

1,2

1,8

0,5

0,20

1,0

65

Чугун

Сталь

Сталь

 

а

в

г

б

в

а

г

б

а

г

б

в

а

 

image391

Рис. 12

 

 

Примеры выполнения задач

 

Пример 1

Для бруса, находящегося в равновесии и нагруженного так, как показано на рис.13,а построить эпюру нормальных сил N.

8

Рис.13

Решение.

Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы.

I участок – СД, II участок – ВС, III участок – ВА.

Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть бруса: это позволяет не определять опорной реакции. Проводя произвольное сечение I-I на участке I и составляя для части бруса (рис. 13,б) уравнение равновесия ΣZ=0, получим F-N=0, N=F

Очевидно, что все сечения на участке I равноценны. Таким образом, на участке I брус растянут силой F. Построим эпюру нормальных сил (рис.13,д). От нулевой линии, параллельной оси бруса, отложим вверх в масштабе на участке I ординаты, равные F  и эпюру пометим знаком (+).

Проделаем подобные операции для участка II. Рассечём брус сечением 2-2 и рассмотрим правую отсечённую часть (рис.13,в)

ΣZ=0    F+2F-N2=0      N2=3F

На эпюре нормальных сил на участке II отложим ординаты, равные 3F в том же масштабе, что и на участке I. Аналогично определяем нормальную силу на участке III. Проводим сечение 3-3 (рис. 13,в) и пишем уравнение равновесия

ΣZ=0     F+2F-4F+N3=0           N3=F

Усилие N3 направлено к сечению, т.е. сжимает участок III. Откладываем вниз от нулевой линии ординаты, равные F и ставим знак (-) на эпюре N (рис.13,д)

Таким образом, на рис.13,д построена эпюра нормальных сил для заданного бруса; Эпюры силовых факторов штрихуются линиями, перпендикулярными оси, т.к. они являются графиками, построенными в масштабе, т.е. каждая штриховая линия представляет собой продольную силу возникающую в соответствующем поперечном сечении.

 

 

Пример 2

Брус длиною l нагружен равномерно распределённой нагрузкой с интенсивностью q (кн/см) и сосредоточенной силой F приложенной на свободном торце и равной 2ql/3 (кн) (рис.14,а). Построить эпюру нормальных сил.

9

Рис.14

Решение.

Для определения нормальных сил применим метод сечений. Рассечём брус на расстоянии z от свободного торца. Отбросим верхнюю часть, а для нижней части бруса составим уравнение равновесия (рис.14,б)

Предположим, что сила N направлена вверх

ΣZ=0    N-qz+2ql/3=0       N=qz-2ql/3            (1)

из уравнения видно, что нормальная сила N меняется по длине бруса по линейному закону. Для построения эпюры находим значения силы в крайних сечениях: при z=0 и при z=l

Подставим эти значения z в уравнение (1) и получим:

при z=0   N=2ql/3, т.е. внутренняя нормальная сила оказалась сжимающей:

при z=l   N=ql/3, нормальная сила стала растягивающей. Эпюра показана на рис.14,в.

Самая большая нормальная сила N=2ql/3 возникает на свободном торце бруса. Следовательно, это сечение самое опасное.

В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачки, равные величине этих сил. Следует отметить, что при определении внутренних силовых факторов можно говорить только о сечениях, удалённых от мест приложения нагрузки. Сила не может быть строго сосредоточенной в одной точке. Передача нагрузки всегда совершается по некоторой площадке, в пределах которой внутренняя сила распределяется по некоторому закону, изучение которого выходит за рамки курса "Сопротивление материалов". Таким образом, эпюра в областях приложения сосредоточенной нагрузки условна.

 

 

Пример 3

Ступенчатый брус нагружен силами Р1Р2Р3, (рис.15,а).

Дано: P1=40 кН, P2=90 кН, P3=110 кН, a=0,5 м,  b=0,5 м, с=0,4 м; F1=6 см2; F2=14 см2, Е=2105 Мпа, σТ=240 Мпа, nT=1,5.

Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, продольных перемещений и проверить, вы­по­лняется ли условие прочно­с­ти.

Рис. 15. Расчетная схема бруса и эпюры:

а ‑ расчетная схема; б ‑ эпюра продольных сил;

в ‑ эпюра напряжений; г ‑ эпюра продольных перемещений

Решение.

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три си­лы, следовательно, про­­до­льная си­ла по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых про­­до­льная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в ко­­торых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про­извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по пра­вилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты  со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила P1 (рис. 15, а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, по­лу­ча­ем

NAB=+P1=40 кН.

Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, на­правленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

NBС=+P1-P2=40-90=-50 кН.

Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем

NСD=+P1-P2-P3=40-90-110=-160 кН.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учи­тывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.15,б)

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отри­ца­тель­ные - вниз.

 

2. Построение эпюры напряжений σ.

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений  значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растя­же­нию, минус -  сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 15, в.

 

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удли­нения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного за­кре­плен­ного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может сме­щать­ся и его пере­мещение равно нулю:

D=0.

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Пе­ремещение сечения С определяется по формуле

C=lCD=-6,710-4 м.

При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево.

 Пере­мещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Скл­а­дывая их удлинения, получаем

B=lCD+lBC =-6,710-4 -2,110-4 = -8,810-4 м.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

A=lCD+lBC+lAB =-6,710-4 -2,110-4 +0,5710-4= -8,2310-4 м.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычис­лен­ных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, стр­о­­­им эпю­ру перемещений (рис.15, г).

 

4. Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем  виде:

σmax[σ].

Максимальное напряжение σmax находим по эпюре напряжений, выби­рая максимальное по абсолютной величине:

σmax=267 Мпа.

Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасным.

 Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая σmax и [σ], видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.

 

 

Пример 4

Подобрать из условий прочности и жесткости размеры прямоугольного поперечного сечения чугунного стержня (см. рис. 16, а).

Дано: F=40 кН; l=0,4 м; [σp]=350 Мпа;  [σс]=800 Мпа; Е=1,2105 МПа; [l]=l/200; h/b=2, где h – высота, b – ширина поперечного сечения.

Рис.16

Решение.

1. Построение эпюры внутренних усилий N

Стержень разделен на 3 участка в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применяя метод сечений, определяем продольную силу на каждом участке.

На  участке 1: N1=-F=-40 кН.

На  участке 2: N2=-F+3F=2F=80 кН.

На  участке 3: N3=-F+3F-2F=F=40 кН.

Эпюра N приведена на рис. 16, б.

 

2. Построение эпюры нормальных напряжений

Найдем напряжения на участках стержня.

На  участке 1:

На  участке 2:

На  участке 3:

Эпюра σ приведена на рис. 16, в.

 

3. Нахождение площади поперечного сечения из условия прочности

Наибольшие растягивающие напряжения возникают на участке 2, наибольшие сжимающие напряжения – на участке 1. Для вычисления площади поперечного сечения используем условия прочности σmax.p[σp] и σmax.с[σс]. 

Напряжения на участке 1 равны

Тогда

Следовательно,

Напряжения на участке 2 равны

По условию прочности

Отсюда:

Напряжения на участке 3 равны

 

Тогда

Следовательно,

Необходимую площадь сечения следует принять из условия прочности при растяжении:

При заданном соотношении h/b=2 площадь поперечного сечения можно записать, как A=hb=2b2. Размеры поперечного сечения будут равны:

 

4. Нахождение площади поперечного сечения из условия жесткости

При расчете на жесткость следует учитывать, что перемещение в точке d будет равно сумме деформаций всех участков стержня. Величину абсолютной деформации для каждого участка найдем по формуле

  или    

На  участке 1:  

На  участке 2:  

На  участке 3:  

Абсолютная деформация всего стержня:

Из условия жесткости l[l],   найдем

, откуда

Размеры поперечного сечения будут равны:

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение площади поперечного сечения A=2,65 см2.

 

5. Построение эпюры перемещений 𝜆

Для определения  перемещения любого сечения стержня строят эпюру перемещений𝜆. За начало отсчета принимаем сечение в заделке, так как перемещение этого сечения равно нулю. При построении эпюры последовательно определяем перемещения характерных сечений стержня, которые равны алгебраической сумме изменений длин всех участков от начала отсчета до рассматриваемого сечения.

Сечение а:

Сечение b:

Сечение с: 

Сечение d:

Эпюра перемещений λ представлена на рис.16, г.

 

 

Пример 5

Для ступенчатого бруса (рис. 17, а) при Е=2105 Мпа, σТ= 240 МПа, требуется определить:

1. Внутренние продольные силы по его длине и построить эпюру продольных сил.

2. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру нормальных напряжений.

3. Запас прочности для опасного сечения.

4. Перемещения сечений и построить эпюру перемещений.

Дано: F1 = 30кН; F2 = 20кН; F3 = 60 кН; l1 = 0,5м; l2 = 1,5м; l3 = 1м;  l4 = 1м; l5 = l6 = 1м; d1 = 4см; d2 = 2см.

Рис.17

Решение.

1. Определение продольных сил в характерных сечениях бруса, и построение эпюры продольных сил.

Изображаем расчетную схему (рис. 17,а) и определяем реакцию опоры в заделке, которую направляем с внешней стороны заделки влево. Если в результате определения реакции RВ окажется отрицательной, то это указывает на то, что ее направление противоположно. Ступенчатый брус под действием сил F1, F2, F3 и реакции RВ находятся в равновесии, поэтому для определения RВ достаточно составить одно уравнение проекций всех сил на ось х, совпадающую с осью бруса.

ΣFix=-F1-F2+F3-RB=0

Откуда RB=-F1-F2+F3=-30-20+60=10 кН 

Разграничим брус на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения (рис. 17,а)

Пользуясь методом сечений, определяем для каждого участка величину и знак продольной силы. Проведем сечение 1–1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части бруса (рис. 17,б). Внутренние силы в каждом сечении условно направляем в сторону отброшенной части. Если внутренняя продольная сила положительна на участке, имеет место деформация растяжения; отрицательна – сжатие.

Рассматривая правую отсеченную часть, находим

ΣFix=-N1-RB=0;     N1=-RB=-10 кН (сжатие)

Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из отсеченных частей мы рассматривали. Целесообразнее всегда рассматривать ту часть бруса, к которой приложено меньше сил. Проведя сечения в пределах второго, третьего и четвертого участков, аналогично найдем:

для сечения 2–2 (рис. 17,в)

ΣFix=-N2+F3-RB=0;     N2=F3-RB=60-10=50 кН (растяжение).

для сечения 3–3, рассматриваем левую часть бруса (рис. 17,г)

ΣFix=-F1-N3=0;     N3=F1=30 кН (растяжение).

для сечения 4–4 (рис. 17,д)

ΣFix=N4=0;     N4=0  эта часть бруса не испытывает деформации.

После определения внутренних продольных сил в характерных сечениях, строят график их распределения по длине бруса. График, показывающий, как изменяются продольные силы (N) при переходе от одного сечения к другому, т.е. график, изображающий закон изменения N вдоль оси бруса, называется эпюрой продольных сил.

Эпюра продольной силы строится в следующей последовательности. В разграниченном на участки брусе провести через точки приложения внешних сил линии, перпендикулярные его оси. На некотором расстоянии от оси бруса провести линию параллельную его оси: на перпендикуляре к этой линии отложить в выбранном масштабе отрезок, соответствующий продольной силе для каждого участка: положительные вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз. Через концы отрезков провести линии, параллельные оси. Ось эпюры проводят тонкой линией, а саму эпюру очерчивают толстыми линиями, эпюру штрихуют тонкими линиями, перпендикулярными ее оси. В масштабе каждая линия равна продольной силе в соответствующем сечении бруса. На эпюре указывают знаки плюс и минус и в характерных ее точках, где изменяется сила, проставляют ее значение. В сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы, на эпюре имеются скачки – резкое изменение продольной силы "Скачок" продольной силы равен внешней силе, приложенной в данном сечении, что является проверкой правильности построенной эпюры. На (рис. 18,б) построена эпюра продольных сил для заданного ступенчатого бруса.

 

2. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения на каждом участке определяем по формуле σ=N/A, подставляя в ее значение сил (в Н) и площадей (в мм2). Площади поперечных сечений  бруса определяем по формуле A=πd2/4

Тогда

Нормальные напряжения на участках IVI равны соответственно:

I.    т.к. N4 = 0

II.  

III.   

VI.   

V.   

VI.   

В пределах каждого участка напряжение одинаково, так как одинаковы во всех сечениях значения продольной силы и площади поперечного сечения. Эпюра σ очерчена прямыми, параллельными ее оси. Построение по вычисленным значениям эпюры представлена на (рис. 18,в).

 

3. Определение запаса прочности для опасного сечения.

Из эпюры нормальных напряжений, построенной по длине бруса видно, что наибольшее напряжение возникает в пределах четвертого участка σmax=159,2 Н/мм2, следовательно, запас прочности

 

4. Определение перемещений сечений и построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения крайних сечений каждого участка. Перемещение сечения определим как алгебраическую сумму деформаций участков стержня, расположенных между этим сечением и заделкой, т.е. неподвижным сечением.

Абсолютные перемещения сечений вычислим по формулам:

Эпюра продольных перемещений представлена на (рис. 18,г). В случае проверки жесткости следует сравнить полученное максимальное значение l = 1,55 мм с допускаемым [l] для данного бруса.

Рис.18

 

Пример 6

Для ступенчатого бруса (рис.19) требуется:

1. Построить эпюру продольных сил

2. Определить нормальные напряжения  в поперечных сечениях и построить эпюру

3. Построить эпюру перемещений  поперечных сечений.

Дано:            

Рис.19

Решение.

1. Определим нормальные усилия

Участок AB:

Участок BC:

Участок CD:

Эпюра продольных сил  показана на рис.20.

2. Определим нормальные напряжения

Участок AB:

Участок BC:

Участок CD:

Эпюра нормальных напряжений σ показана на рис.20.

3. Определим перемещения поперечных сечений

Эпюра перемещений δ показана на рис.20.

Эпюра

Эпюра

Эпюра

Рис.20

 

Пример 7

Для ступенчатого стального стержня (рис.21) требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ.

2. Определить продольную деформацию стержня l.

Дано:

Е = 2105 МПа; А1 = 120 мм2; А2 = 80 мм2; А3 = 80 мм2; а1 = 0,1 м; а2 = 0,2 м; а3 = 0,2 м; F1 = 12 кН; F2 = 18 кН; F3 = -12 кН.

 

Решение.

1. Построение эпюр N и σ

Применяем метод сечений.

Участок 1.

1 уч. растяж.bmp

ΣХ = 0     -N1 + F1 = 0;     N1 = F1 = 12 кН;

 

Участок 2.

2 уч. растяж.bmp

ΣХ = 0     -N2 + F2 + F1 = 0; 

N2 = F2 + F1 = 18 + 12  = 30 кН;

 

Участок 3

3 уч растяж.bmp

ΣХ = 0        - N3 - F3 + F2 + F1 = 0; 

N3 = - F3 + F2 + F1= -12 + 18 + 12 = 18 кН;

2. Расчетная схема с истинным направлением внешней нагрузки и расчетными эпюрами.

растяжение.bmp

Рис.21

 

3. Определение продольной деформации стержня

 

 

Пример 8

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F1 и F2 приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 22,а), требуется

1) Построить эпюры продольных сил,

2) Построить эпюры нормальных напряжений

3) Построить эпюры перемещений поперечных сечений

4) Проверить прочность бруса.

Дано: если материал – сталь ст.3, F = 80 кН, σт = 240 МПа, А = 4 см2, а = 1 м, требуемый коэффициент запаса [n] = 1,4, Е = 2105 МПа.

Рис.22

Решение.

1. Статическая сторона задачи.

Поскольку силы F1 и F2 действуют вдоль оси стержня на его концах, под действием сил F1 и F2 в заделках могут возникнуть только горизонтальные опорные реакции RА и RВ. В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой (рис. 22,а), для которой статика дает лишь одно уравнение равновесия.

ΣFix = -RА + F1 + F2 – RВ = 0;   RА + RВ  = F1 + F2 = 3F                      (1)

Неизвестных реактивных сил две RА и RВ, следовательно, система один раз статически неопределима, т.е. необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

 

2. Геометрическая сторона задачи.

Для раскрытия статической неопределимости, т.е. составления уравнения перемещений, отбросим одну из заделок, например правую (рис. 22,б). Получаем статически определимый брус, заделанный одним концом. Такой брус называют основной системой. Действие отброшенной опоры заменяем реакцией  RВ = Х. В результате имеем статически определимый брус, нагруженный кроме заданных сил F1 и F2 неизвестной реактивной силой RВ = Х. Этот статически определимый брус нагружен так же как заданный статически неопределимый, т.е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый, т.е. перемещение В – сечения В равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) оно жестко заделано: В = 0.

На основе принципа независимости действия сил (результатом действия на тело системы сил не зависит от последовательности их приложения и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности) перемещение сечения В представим как алгебраическую сумму перемещений от сил F1, F2 и Х, т.е. уравнение совместности деформаций примет вид:

B=BF1+BF2+BX=0                                                   (2)

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (силы F1, F2 и Х).

 

3. Физическая сторона задачи.

На основании закона Гука выражаем перемещения сечения В, через действующие силы F1, F2 и неизвестную реакцию Х.

На (рис. 22, в, г, д), показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности и перемещения сечения В от этих сил.

Пользуясь этими схемами, определяем перемещения:

  равно удлинению участка АС;

  равно удлинению участков АД и ДЕ;

 равно сумме укорочений участков АД, ДК, КВ.

 

4. Синтез.

Подставим значения , ,  в уравнение (2), имеем

Откуда  

Следовательно:  

Подставляя RВ в уравнение (1), получим:

RА + 66,7 =380 = 240

отсюда RА =240–66,7=173,3 кН,  RА = 173,3 кН, таким образом, статическая неопределимость раскрыта – имеем статически определимый брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами F1, F2 и Х = 66,7 кН.

Эпюру продольных сил строим как для статически определимого бруса. На основании метода сечений внутренние продольные силы в характерных участках равны:

NАС = RА = 173,3 кН;

NСЕ = RА - 2F = 173,3 - 802 = 13,3 кН;

NЕВ = -RА = - 66,7 кН.

Эпюра продольных сил представлена на (рис. 22, е). Значения нормальных напряжений в характерных сечениях определяем по формуле

Для участка АС

для участка СД

для участка ДЕ

для участка ЕК  

для участка КВ

В пределах каждого из участников напряжения постоянны, т.е. эпюра "σ" – прямая, параллельная оси бруса (рис.22, ж).

При расчете на прочность интерес представляют те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. В рассмотренном примере они не совпадают с теми сечениями, в которых продольные силы максимальны, наибольшее напряжение возникает на участке ЕК, где σмах = - 166,8 МПа.

Из условия задачи следует, что предельное напряжение для бруса

σпред = σт = 240 МПа, поэтому допускаемое напряжение 

Отсюда следует, что расчетное напряжение σ = 166,8 МПа < 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перегрузка или недогрузка допускается в пределах ±5%.

При построении эпюры перемещений достаточно определить перемещения сечений совпадающих с границами участков, так как между указанными сечениями эпюра l имеет линейный характер. Начинаем строить эпюру перемещений от левого защемленного конца бруса, в котором А = 0; так как оно неподвижно.

Итак, на правом конце бруса в сечении В, ордината эпюры l равна нулю, так как в заданном брусе это сечение жестко защемлено, по вычисленным значениям построена эпюра  l (рис.22, з).

 

 

Пример 9

Для составного ступенчатого бруса, состоящего из меди и стали и нагруженного сосредоточенной силой F (рис. 23,а), определить внутренние продольные силы и построить их эпюры, если известны модули упругости  материала:  для стали Ec, для меди EM.

32

Рис.23

Решение.

1. Составляют уравнение статического равновесия:

ΣZ=0;   RB-F+RD=0.                                                      (1)

Задача один раз статически неопределима, поскольку обе реакции могут быть определены только из одного уравнения.

2. Условие совместности перемещений должно выразить тот факт, что общая длина бруса не меняется, т.е. перемещения, например, сечения

                                                               (2)

Используя закон Гука σ=Eε, с учетом того факта, что перемещения какого-либо поперечного  сечения   бруса   численно равны удлинению или укорочению его участков, расположенных между заделкой B и «перемещающимся» сечением D, преобразуют уравнение (2) к виду:

Отсюда RD=0,33F.                                                      (4)

Подставив (4) в (1), определяют

RB=F-RD=F-0,33F=0,67F.                                            (5)

Тогда, применив метод сечений, согласно выражению Ni=ΣFi, получают:

NDC=-RD;  NBC=RB.

Приняв для наглядности решения

lM=l;   lc=2l;    AM=4AC;  EC=2EM. 

с учетом (4) получают NDC=-RD= -0,33F,

a с учетом (5) получают NBC=RB=0,67F.

Эпюра продольных сил N показана на рис. 16, б.

Расчет на прочность после этого выполняют согласно условию прочности

 

 

Пример 10

Брус ступенчато-переменного сечения, расчетная схема которого показана на рисунке 24, находится в условиях центрального (осевого) растяжения-сжатия под действием заданной нагрузки.

Требуется:

1) Раскрыть статическую неопределимость;

2) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений (в буквенном выражении величин);

3) Подобрать сечение бруса по условию прочности;

4) Построить эпюру продольных перемещений поперечных сечений.

Влиянием собственного веса бруса пренебречь, опорные устройства считать абсолютно жесткими.

Дано:    

материал – чугун, допускаемые напряжения (расчетные сопротивления):

 Принять: для чугуна  

   

Параметр F подлежит определению из условий прочности, а параметр P при выполнении п.3 задания, принять:  

Примечание:

1) В расчетной схеме между нижним торцом бруса и опорой до нагружения бруса имеется зазор . Коэффициент  принять соответственно равным 1.

2) При отсутствии на расчетной схеме одной из сил P1 или P2 соответствующий коэффициент (α1 или α2) считать равным нулю

3) При выполнении п.3 задания следует пользоваться методом допускаемых напряжений

для сопромата №1.jpg

Рис.24

Решение:

1) В результате нагружения бруса, в его заделках возникают реакции  направленные вдоль оси (рис.25). Определяем реакцию в заделке. Предварительно направляем ее вверх.

Рис 1.jpg

Рис.25

Составляем уравнение равновесия:

Это уравнение является единственным и содержит две неизвестные силы. Следовательно, система один раз статически неопределима.

Раскрываем статическую неопределимость: 

Выразим удлинения через силы:

Подставим в уравнение равновесия:

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.    

 

2) Разобьем брус на 3 участка (рис.26), начиная от его свободного конца; границами участков служат сечения, где приложены внешние силы, а также места изменения размеров поперечного сечения.

Рис 2.jpg

Рис.26

 

Произведем произвольное сечение 1 – 1 на участке I, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27, б).

На оставленную часть действует сила RB искомое усилие . Проектируя на ось Z силы, действующие остальную часть, получаем .

Отсюда .

Проведем произвольное сечение 2 – 2 на участке II, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27, в).

.

.

Проведем произвольное сечение 3 – 3 на участке III, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27, г).

.

.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется N по длине бруса (рис.27, д).

Эпюру нормальных напряжений получим, разделив значения N на соответствующие площади поперечных сечений бруса, т.е.  

Для I участка:

Для II участка:

Для III участка:

 Построим эпюру нормальных напряжений (рис.27, е).

                                                                                                                                

3) Расчет прочности выполняется с использованием условий прочности. Условие прочности конструкции записывается в виде:

где  – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения в конструкции;

  – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Подбор сечения бруса в данном случае осуществляется по условию прочности третьего участка, т.к. на этом участке возникают наибольшие растягивающие напряжения:

откуда

Принимаем

По найденному значению параметра F определяем площади сечений участков бруса:

 

 

Подбор сечений чугунного бруса по условию прочности на сжатие производить не будем, т.к. наибольшее значения сжимающих напряжений    меньше растягивающих  , а

4) Построим эпюру продольных перемещений поперечных сечений. Она строится суммированием упругих удлинений участков, начиная с неподвижного конца.

Определим изменение длин участков бруса по формуле:

Для III участка

Для II участка

Для I участка

По условию в расчетной схеме между нижним торцом бруса и опорой до нагружения бруса (участок I) имеется зазор . Коэффициент  по условию равен 1, тогда зазор будет равен .

Находим осевые перемещения сечений бруса по границам участком:

Построим эпюру продольных перемещений поперечных сечений (рис.27, ж).

Рис 3.jpg

Рис.27

 

 

Пример 11

Для статически неопределимого стержня (рис.28) требуется построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Дано: l1 = 1 м;  l2 = 0,8 м;  F2 = 15 см2 = 15·10-4 м2;  F2/F1= 2,1;  P=190 кН = 190·103 Н;   t = 30 K;  δ = 0,006 см = 6·10-5 м;   E = 1·105 МПа =1·1011 Па;  α= 17·10-6 K.

а)image635

б)image636

в)image637

Рис.28

 

Решение.

Определим удлинение ступенчатого стержня от действия силы P. Поскольку сила Р приложена на стыке двух частей стержня разного профиля, а правых конец свободен, то его удлинение определяется деформацией участка АС:

отсюда следует, что  

Сопоставляя l и δ видно, что зазор при действии силы Р закроется, поэтому система является статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместности деформаций. Поскольку при закрытии зазора в опорном сечении В появится реакция, то общее удлинение стержня АВ, определяется как сумма удлинений от усилий Р и RB, должно быть равно зазору δ.

RB = 135 кН.

Определив усилия RB, можно построить эпюру продольных сил N в стержне. Определим напряжение σ на каждом участке стержня АВ:

участок СВ:

участок АС:

Строим эпюру напряжений σ.

Теперь, найдем усилия и напряжения в стержне при нагреве стержня ∆t = 30 K. Если при этом расширение стержня по длине превышают длину δ, то опорных реакциях А и В возникают одинаковые реакции, которые определяются из уравнения совместности деформаций:


            отсюда следует, что

l1 = a·l1·∆t = 17·10-6·1·30 = 0,00051 м;

l2 = a·l2·∆t = 17·10-6·0,8·30 = 0,000408 м;

RB= 43,7 кН.

Полученная величина RB будет действовать по всей длине стержня, поэтому эпюра N будет постоянной величиной.

Величины напряжений на участках могут быть вычислены по формулам:

участок СВ:

участок АС:

Строим эпюры (рис.29).

image678

Рис.29

 

 

Пример 12

Ступенчатый стальной стержень (рис.30), имеющий продольные размеры  и площади поперечного сечения  нагружен по оси продольными силами  и .

Дано: , , , , .

Модуль упругости для стали E=200 ГПа.

Требуется:

1) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений под действием внешних сил;

2) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений под действием температуры.

Рис.30

 

Решение.

1) Проверим, не перекрывается ли зазор  удлинением стержня под действием сил.

Разделим стержень на четыре зоны (рис.31), и рассчитаем удлинение u для каждой зоны.

Рис.31

 

Суммарное удлинение будет равно

 м.

Суммарное удлинение больше, чем зазор, следовательно, система является статически неопределимой.

Отбросим заделку и представим, что на стержень снизу действует реакция опоры .

Составим уравнение реакции.

откуда

Построим эпюры:

                                                                    

                                                                                 N                                                    σ

Рис.32

 

В зоне IV продольные усилия равны , а напряжения

В зоне III продольные усилия равны , а напряжения

В зоне II продольные усилия равны ,  а напряжения

В зоне I продольные усилия равны , а напряжения

 

2) Теперь посчитаем продольные усилия и нормальные напряжения в сечении стержня под влиянием температуры без учета внешних сил.

При увеличении температуры, стержень увеличивается и упирается в заделку, возникает сила реакции опоры, рассчитав которую можно найти усилия и напряжения.

Удлинение стержня:

  где - температурный коэффициент, для стали равный .

Найдем реакцию опоры:

откуда

 

                                                                                  N                                                                σ

Рис.33

 

N у нас будет одинаково по всей длине стержня и будет равно RT=97,5 кН (рис.33).

В зоне III 

В зоне II

В зоне I  

 

 

Пример 13

Ступенчатый стержень круглого поперечного сечения (рис.34) нагружен силами .

Принимаем .

Требуется:

1) Построить эпюры продольных сил.

2) Определить необходимые размеры поперечных сечений бруса.

3) Построить эпюру нормальних напряжений.

4) Построить эпюру перемещений поперечных сечений.

5) Определить необходимую толщину и диаметр головки стержня.

Задача1

Рис.34

 

Решение.

1) Построим эпюры продольных сил (рис.34).

Схема нагружения стержня представлена на рисунке 34. Обозначим сечения, в которых приложены силы и меняются размеры стержня буквами, начиная от А до F. Сечениями, где приложены силы,  стержень разбивается на три участка, в пределах которых продольная сила постоянная, поэтому для определения ее значений нужно рассечь каждый участок  и из условия равновесия отсеченной части, не содержащей заделку, определить величину продольной силы.

Проведем на участке АВ произвольное сечение I-I, отбросим часть стержня, содержащую заделку, и рассмотрим условие равновесия  оставшейся правой части. На рассматриваемую часть стержня  действует сила Р3 = 20 кН и продольная  сила N1 в сечении I-I. При определении продольных сил в сечениях  предполагаем, что  они растягивают рассматриваемую часть стержня, т.е. направлены от сечения.

Проектируя силы на ось Х, получим N1 - Р3 = 0. Откуда  N13 =20 кН.

Т.к. продольная сила N1 получилась с положительным знаком, то участок стержня АВ растягивается.

Проведем произвольное сечение II-II и рассмотрим равновесие отсеченной  части  стержня, не содержащей заделку.

,

N2 = -Р2 + Р3 =20 -10 = 10 кН.

Положительный знак продольной силы N2 свидетельствует о том, что третий участок испытывает растяжение.

Проведем произвольное сечение  III-III и рассмотрим равновесие отсеченной  части  стержня, не содержащей заделку.

,

N3 - Р12 - Р3 = 0.

N3 = Р1 - Р2 + Р3 =40 - 10 + 20 = 50 кН.

Положительный знак продольной силы N3 свидетельствует о том, что третий участок испытывает растяжение.

По найденным значениям продольных сил строим  график (эпюру) изменения продольных сил по длине стержня. Проводим базу эпюры параллельно оси стержня и в выбранном масштабе откладываем вверх положительные значения продольных сил  и вниз отрицательные.

При правильно построенной эпюре продольных сил в сечениях, где приложены сосредоточенные силы на эпюре будут иметь место скачки на величину приложенной силы.

2) Определим необходимые размеры поперечных сечений бруса (рис.34).

Необходимые размеры поперечных сечений бруса определим, исходя из условия прочности при растяжении.

Определим площади сечений на каждом участке:

Выразим диаметр на участке, где продольные силы имеют большее значение.

Округляем диаметры до ближайшего целого большего числа.

.

3) Построение эпюры нормальних напряжений (рис.34)

По этим данным строим эпюру нормальных напряжений.

4) Построение эпюры перемещений поперечных сечений (рис.34).

Деформация бруса на каждом участке:

Перемещения в сечениях:

5) Определим необходимую толщину и диаметр головки стержня:

На срез ось рассчитываем по формуле:

Принимаем D = 41 мм.

На смятие ось рассчитываем по формуле:

Принимаем h = 8 мм.

 

 

Пример 14

Для ступенчатого стержня, представленного на рис. 35, требуется:

1) Построить эпюру продольных сил,

2) Построить эпюру нормальных напряжений, отнесенную к площади А0,

3) Найти А0 из условия прочности.

Рис.35

Решение.

1) Построение эпюры продольных сил.

Составим уравнение равновесия системы (рис. 36,а):

откуда

Разобьем стержень на три участка AB, BC и CD, проведем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с координатами z1, z2, z3 (рис.36,а).

Участок AB (0z1l2) (рис.37,а). Из равновесия оставленной верхней части следует, что

Рис.36

 

На участке ВС (l1z22l2) (рис.37,б). Из условия равновесия получим

На участке СD (0z3l3) (рис.37,в). Отбросим нижнюю часть, её действие заменим продольной силой N3. Из уравнения равновесия следует

 

По полученным данным строим эпюру Эп.N (рис. 36,б). Эпюра показывает, что на участке АВ – растяжение, а на участках ВС и СD – сжатие. Скачок в сечении А равен силе Р1=35 кН, в сечении D – продольной силе N3.

Рис.37

 

2) Построение эпюры напряжений.

Нормальные напряжения  распределяются равномерно по сечению:

где N(z) – продольная сила, A(z) – площадь поперечного сечения.

Для определения положения опасного сечения стержня, в котором возникают максимальные напряжения, определим напряжения в долях 1/А0.

Участок АВ (0z1l2), нормальные напряжения

На участке ВС (l1z22l2):

Участок СD (0z3l3):

 

По полученным данным строим эпюру ЭА0 (рис. 36,в).

 

3) Расчет на прочность. Подбор сечения.

По эпюре напряжений видно, что опасным является сечение В

Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид:

где  допускаемое напряжение, которое определено выше для материала Ст30 и равно =563,8 Мпа.

Тогда условие прочности примет вид

откуда А0:

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении А0.

Участок АВ:

Участок ВС:

 

 

Участок CD:

 

По полученным данным строим эпюру действующих в стержне нормальных напряжений Э (рис.36,г).

 

Онлайн-калькулятор "Расчет прочности при растяжении-сжатии"

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

00:00:00

 

Top.Mail.Ru