Расчетно-графические работы

 

Главная

 

Задача 1. Расчет статически неопределимых балок.

Для заданной статически неопределимой балки требуется:

1) раскрыть статическую неопределимость;

2) построить эпюру изгибающих моментов;

3) подобрать двутавровое сечение по условию прочности балки;

4) определить угол поворота сечения L и прогиб в сечении К.

Для всех вариантов принять: допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа, модуль упругости E=2105 МПа.

Числовые данные берутся из табл. 1, расчетные схемы – на рис. 1

Таблица 1

Номер

строки

Схема

по рис. 1

Нагрузка

Размер a,

м

q,

кН/м

P,

кН

P1,

кН

m,

кНм

01

1

5

10

10

4

1,0

02

2

4

8

5

6

1,5

03

3

8

6

8

4

1,0

04

4

10

8

12

2

0,8

05

5

12

5

7

5

1,2

06

6

6

7

10

7

1,0

07

7

5

10

6

3

1,2

08

8

10

11

9

4

0,8

09

9

8

8

7

5

0,6

10

10

7

5

10

6

1,0

 

ж

з

а

б

в

г

 

1 схема                                                                    2 схема

1   2

 

 

3 схема                                                                4 схема

3   4

 

 

5 схема                                                                    6 схема

5   6

 

 

7 схема                                                                 8 схема

7    8

 

 

9 схема                                                                10 схема

 9   10

Рис. 1

 

Задача 2. Расчет статически неопределимых балок.

Исходные данные к задачам принимаются по табл. 2 и схемам на рис.2

1. Нарисуйте схему конструкции балки в масштабе. Отрицательные нагрузки направьте в сторону, противоположную показанной на рисунке. Покажите на рисунке размеры балки и величины нагрузок в численном виде.

2. Найдите степень статической неопределимости заданной системы.

3. Выберите основную систему, отбросив лишние связи, и приложите к основной системе лишние неизвестные (реакции в отброшенных связях).

4. Запишите условие совместности деформаций и раскройте его, определив деформации любым способом.

5. Из условия совместности деформаций найдите значение лишней неизвестной.

6. Постройте окончательные эпюры внутренних усилий.

7. Изобразите на рисунке изогнутую ось балки.

8. Выполните проверку, перемножив окончательную эпюру изгибающих моментов  и эпюру моментов от единичной силы.

9*. Исследуйте, как изменится эпюра изгибающих моментов, если одну шарнирно подвижную опору сделать упругой (в виде пружины). Коэффициент жесткости пружины считайте заданной величиной.

 

Таблица 2

Номер

строки

l2,

м

q,

кН/м

Схема

по рис. 2

l1,

м

l3,

м

F,

кН

M,

кНм

01

2

10

1

1

1

20

0

02

3

20

2

4

1

0

40

03

4

30

3

2

1

-20

0

04

5

-30

4

2

3

0

-40

05

6

-20

5

1

4

30

0

06

5

-10

6

3

2

0

50

07

4

5

7

4

2

-30

0

08

3

-5

8

2

4

0

-50

09

2

15

9

3

3

40

0

10

5

-15

10

2

2

0

60

 

в

г

а

б

в

г

а

 

1 схема                                               2 схема

1   2

 

 

3 схема                                             4 схема

3   4

 

 

5 схема                                              6 схема

5   6

 

 

7 схема                                             8 схема

7   8

 

 

9 схема                                          10 схема

9   0

Рис. 2

 

 

Пример выполнения задач

 

Пример 1

Для статически неопределимой балки (рис.3, а) требуется:

1) раскрыть ее статическую неопределимость;

2) построить эпюру изгибающих моментов от действия внешних (про­летных) нагрузок;

3) подобрать двутавровое сечение балки из условия ее прочности;

4) определить угол поворота сечения L и прогиб балки в сечении К.

Дано: q = 6 кН/м; m = 4 кНм; а = 1,2 м; [s] = 160 МПа; E=2105 Мпа.

Рис. 3. Статически неопределимая балка: а - заданная система; б - основная система;

в - эквивалентная система; г - грузовая эпюра Mp; д - единичная эпюра ; е - эпюра;

ж - окончательная эпюра M; з - эпюра от единичного момента ; и - эпюра от единичной силы

 

Решение.

1.Вычисляем степень статической неопределимости балки.

По условиям закрепления имеем четыре опорных реакции: две на опоре А и по одной на опорах В и С. Для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, поэтому степень статической не­оп­ре­делимости бал­ки n = 4‑3 = 1, т.е. система один раз статически неоп­ределима.

 

2.Выбираем основную систему.  

Для этого разрезаем балку над сред­ней опо­рой, тем самым, устраняя лишнюю связь, и  вставляем над опорой про­межуточный шарнир. «Лишней» неизвестной в этом случае  будет изги­бающий момент в  опоре В,  который  обозначаем Х1.  На рис.3 показана основная система. Загружая основную систему пролетными нагрузками и  ли­ш­­ней не­известной, получаем эквивалентную систему (рис.3,в). Достоинство при­нятой основной системы в том, что каждый пролет ра­бо­тает как самосто­ятельная балка и при построении эпюр может рас­смат­ри­вать­ся  отдельно.

 

3. Строим в основной системе эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки Mp.

 Рассмотрим участок АВ. Так как на этом участке нагрузок нет, для построения эпюры  достаточно знать величины изгибающих моментов в сечениях А и В. На опоре А по условию М = m = 4 кНм; на опоре В изгибающий момент равен нулю (опорный момент Х1 не учитываем), эпюра моментов ограничена прямой линией.

Рассмотрим участок ВС.

Вследствие симметрии пролетной нагрузки реакции опор будут одина­ковыми:

Изгибающий момент в произвольном сечении x

и  эпюра изгибающего момента ограничена квадратной параболой.

Строим  эту  параболу по трем  лежащим на ней точкам:

xB = 0,    MB= 0;

x = 1,2 м,   

xc = 2,4 м,   Mc= 0.

Эпюра Мp показана на рис.3, г.

 

4. Строим эпюру  от единичного момента .

 В сечениях А и С изгибающие моменты равны нулю, а в сечении В изгибающий момент равен  единице. Эпюра  линейна, ее вид показан на рис.3, д.

 

5.Составляем каноническое уравнение метода сил

и вычисляем коэффициент δ11 при неизвестном. Для этого эпюра  умно­жается сама на себя.  Чтобы упростить вычисления,  разбиваем эпюру на два треугольника ADB и BDC и площадь каждого из них умножаем на ординату, расположенную в центре тяжести каждого из них (рис.3, д):

После подстановки числовых значений имеем

Для определения перемножаем эпюры МP и  (рис.3, г, д)

Площадь параболического сегмента вычисляется по формуле

где q - интенсивность распределенной нагрузки;  l - длина участка балки под нагрузкой.

Вычисляем свободный член  канонического уравнения :

Произведя соответствующие вычисления, получаем

Тогда  каноническое уравнение принимает  вид

откуда находим

Отрицательное значение X1 говорит о том, что следует изменить направление момента X1  на обратное.

 

6. Строим эпюру изгибающих моментов.

Считая момент X1 внешней нагрузкой, можно определить опорные ре­акции, рассматривая каждый пролет балки отдельно, а затем построить эпю­­­ру моментов обычным способом, как это выполнялось для стати­чески определимой балки. В данном случае удобнее воспользоваться уже по­стро­енными эпюрами.

Эквивалентная система находится под действием заданных пролетных нагрузок и вычисленного момента X1. Следовательно, окончательная эпюра изгибающих моментов может быть представлена суммой двух эпюр

M=Mp + Mx1.

Первая эпюра уже построена (рис.3,г), а вторая получается умножением ординат эпюры  (рис.31) на вычисленное значение X1. Эпюра  показана на рис.3,е. Геометрически складываем эпюры Мp и  (рис.1), суммируя ординаты эпюр в характерных точках:

MA=4+0= 4 кНм.      ME=4,32-1,47= 2,85 кНм.    

MB= 0-2,93= -2,93 кНм.     MC=0.

По найденным значениям М строим окончательно эпюру изги­баю­щих моментов (рис.3, ж).

Для проверки правильности расчетов и построения эпюры изгибающих моментов можно использовать условие равенства нулю угла поворота смежных сечений балки над средней опорой (перемещение по нап­рав­лению от­бро­шенной связи). Этот угол вычисляется перемножением окон­чательной эпюры моментов (рис.3, ж) на эпюру  (рис.3). При пе­рем­ножении эпюру М удобно представить в виде трех треугольников, по­ка­занных пунк­тирными линиями на рис.3, ж, и параболического сегмента.

Угол поворота смежных сечений балки над средней опорой вычислим методом перемножения эпюр:

Площади эпюр и соответствующие ординаты под их центрами тяжести

 

определяются по соответствующим эпюрам   (рис.3, ж) и (рис.3).

Итак,

Полученный результат свидетельствует о том, что эпюра изги­баю­щих мо­­ментов по­стро­ена правильно. Небольшая погрешность, не превышающая 5% , возникла в ре­зуль­тате округлений.

 

7. Подбираем сечение балки по условию прочности.

При изгибе условие прочности имеет вид

По эпюре М (рис.3, ж) находим максимальный момент = 4 кНм, а по условию задачи [σ] = 160 МПа. Подставляя эти числа в последнюю фор­мулу, по­лучим величину требуемого момента сопротивления двутавра:

По таблицам сортамента прокатной стали подбираем номер двутавра и выписываем его геометрические характеристики: двутавр №10, Wx= 39,7 3, Jx = 198 см4.

(Момент сопротивления подобранного двутавра больше требуемого расчет­ного, но меньшего размера в таблице нет, поэтому принимаем двутавр №10).

 

8. Определяем перемещения.

Определяем угол поворота сечения L.

 Для этого приложим в сечении L ос­новной системы единичный момент  и построим эпюру моментов  (рис.3,з). Угол поворота сечения L вычисляем, перемножая эпюры М и  (рис.3, ж):

Определяем прогиб в сечении К.

 Приложим в сечении К основной сис­темы единичную силу  и пост­ро­­им от нее эпюру моментов  (рис.3, и). Так как сила  приложена в середине пролета AB, опорные  реакции будут равны:

RA = RB = 0,5.

Определяем моменты в характерных точках участка АВ:

MA = 0; МK = 0,51,8 = 0,9 м; MB = 0.

Прогиб в сечении К вычисляется перемножением эпюр М и  (рис.3,ж). Площадь при этом берем с эпюры М, а соответствующая ор­ди­ната на эпюре равна величине средней линии трапеции, то есть ал­ге­бра­­ической полусумме ее оснований:

Результат получен со знаком плюс, прогиб направлен в сторону при­ло­жен­ной единичной силы, то есть вниз.

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов