Прочность при динамических нагрузках

 

Главная

 

Лекция 15 (продолжение). Примеры решения на динамические нагрузки

 

Расчеты при циклических нагрузках

 

Упругие колебания систем с одной степенью свободы

Пример 1.

На конце стальной консоли длиной 1 м (см. рис.), выполненной из двутавра № 8, находится двигатель весом Р = 1230 Н.

Требуется определить частоты и периоды свободных колебаний системы – поперечных (изгибных) и продольных, пренебрегая собственным весом балки.

Подпись: l

Решение.

Изгибные колебания. Воспользуемся формулой  Здесь xst – прогиб конца консоли, нагруженной сосредоточенной силой Р. Воспользуемся известной в сопротивлении материалов формулой для этого прогиба         

В таком случае круговая частота изгибных колебаний

Период свободных изгибных колебаний равен

Продольные колебания. В этом случае xst – продольное перемещение свободного торца консоли, нагруженной осевой сосредоточенной сжимающей силой Р = 1230 Н. Это перемещение равно продольной абсолютной деформации стержня, которая рассчитывается по формуле:

В таком случае круговая частота продольных свободных колебаний балки равна

Рассчитываем период продольных свободных колебаний балки

 

Пример 2.

Определить круговую частоту вертикальных симметричных колебаний кузова тележки общим весом Р= 80 кН, укрепленного на двух осях с помощью четырех рессор, каждая из которых имеет жесткость с1 = 2·105 Н/м. Расчетная схема конструкции представлена на рисунке.

Решение.

Воспользуемся формулой  и учтем, что в нашем случае параллельное соединение упругих связей, когда жесткости просто складываются, т.е. с = 4с1; кроме того, Р = mg. Таким образом, получаем следующее выражение для круговой частоты свободных колебаний системы:

 

Пример 3. 

Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 2 м, несущего на конце массу mг = 150 кг. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, плотность = 7,75 г/см3 .

Решение.

Как ранее отмечалось, в данном случае масса системы складывается из массы mг груза и приведенной к точке распределенной собственной массы стержня mo , т.е.

m = mг + αmо,

где , α = 0,33.

Жесткость с найдем как силу, вызывающую единичную абсолютную деформацию стержня:

,  поэтому

Далее используем формулу для расчета круговой частоты свободных колебаний

Рассчитываем период свободных колебаний

 

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Пример 4.

На двух двутавровых балках № 12 посередине установлен двигатель весом  Q = 7 кН (см. рис.). Неуравновешенные массы двигателя условно заменены вращающимся со скоростью n = 550 об/мин грузом Q2 = 120 Н,  радиус вращения которого R = 0,21 м.

Проверить прочность балок, приняв их длину l = 1,6 м,  модуль упругости материала балок Е = 2·105 МПа, расчетное сопротивление стали изгибу, растяжению по пределу текучести Ry = 220 МПа.

Коэффициент условий работы балок .

 

Решение.

1. Выписываем из сортамента геометрические характеристики поперечного сечения двутавровой балки и устанавливаем вес Q1 одной балки: момент инерции  Iz = 350 см4, момент сопротивления Wz = 58,4 см3, масса 1 м  двутавра № 12 q = 11,5 кг/м. Масса одной балки m1 = ql = 11,5·1,6 = 18,4 кг; вес Q1  одной балки

H.

В дальнейшем расчет проводится для одной балки (из двух).

2. Рассчитаем собственную круговую частоту колебаний  системы, для чего воспользуемся формулой

где yst – прогиб посередине балки, вызванный весом Q /2 и весом балки Q1.

Следует учесть, что при расчете собственной частоты балки, как системы с одной степенью свободы, в расчет вводится приведенная масса

.

Для балки на двух опорах коэффициент привидения .

При расчете yst можно использовать известную в теории изгиба балок формулу

                                       (1)

которая в данной задаче принимает вид

Таким образом, частота собственных колебаний системы равна

3. Рассчитаем максимальное напряжение  в среднем сечении балки, нагруженной статически приложенными силами Q /2 и Q1 = qlg,

4. Рассчитаем коэффициент нарастания колебаний  по формуле , установив предварительно величину частоты  возмущающей силы

 

5. Рассчитаем динамический коэффициент kd, используя формулу