Прочность при динамических нагрузках

 

Главная
 

Лекция 15. Прочность при динамических нагрузках

 

Содержание

Соударение твердого тела и системы с одной степенью свободы

Механические испытания на удар

Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке

Оценка прочности при ударной нагрузке

Определение напряжений при скручивающем ударе

Расчёты движущихся деталей при заданных ускорениях

Расчет поступательно движущихся систем

Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце

Расчет равномерно вращающегося прямого бруса

Вращающиеся рамы

Вопросы для самопроверки

 

В предыдущих разделах рассматривалось такое нагружение кон­струкций, когда прикладываемые усилия изменялись настолько медленно, что возможно было считать их статическими. В ин­женерной практике же часто встречаются случаи, когда нагрузка достаточно быстро изменяет свое направление или величину, т.е. зависят от времени. Такое нагружение называется динамическим и вызывает значительные силы инерции в сооружении, которые приводят к появлению до­полнительных (к статическим) напряжений и деформаций.

Известны случаи, когда инженерные конструкции, рассчитан­ные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разру­шались под действием сравнительно небольших динамических сил. С целью избежания этих нежелательных явлений необходимо с особой тщательностью подходить к расчетам элементов конструкций, которые в данном случае более сложны, чем при статических нагрузках. Они требуют привлечения более сложных методов определения внутренних сил, учитывающих разнообразные воздействия динамической нагрузки, особенности сопротивляемости последним многих материалов. Так, при действии ударной нагрузки, характеризующейся чрезвычайно малой продолжительностью, многие материалы, которые при наличии статических сил проявляли себя пластичными, работают как хрупкие. В случае колебаний упругой системы многократно повторяющиеся нагрузки приводят к резкому снижению прочности материалов, связанному с усталостными явлениями.

Динамическое действие нагрузок, вызванное движением деталей машин или механизмов, а также элементов конструкций, учитывается при использовании расчетов, основанных на известном в механике твердого тела принципе Даламбера. Исходя из этого, если силы инерции известны, то расчет можно вести по методу сечений, а для вычисления внутренних сил  использовать уравнения статики твердого тела. Если же определение сил инерции затруднительно или вообще невозможно, как, например, при ударном действии нагрузок, для вычисления динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии с привлечением основных положений из курса сопротивления материалов о потенциальной энергии деформируемого тела. В ряде случаев динамические напряжения во много раз превышают статические.

Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содер­жащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волно­вых процессов по контуру в зоне контакта, и интерферен­ционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, приме­няется упрощенный инженерный подход, основанный на следую­щих упрощающих предпосылках: при взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

Установлено, что практически во всех случаях силы динамического воздействия пропорциональны статическим, в связи с чем расчеты на прочность и жесткость при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статических, но с введением соответствующих значений динамических коэффициентов. Таким образом, учитывая это, имеем

где  - динамический коэффициент.

Условия прочности и жесткости применительно к расчету по методу допускаемых напряжений имеют соответственно вид

При изучении динамики упругих систем последние принято классифицировать, прежде всего, по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независи­мых координат, определяющих положение материальных точек системы в произволь­ный момент времени.

Рис. 15.1

               

Так для системы, изображенной на рис. 15.1, если пренебречь массой стержней, положение сосредоточенной массы m в плоскости чертежа полностью будет определяться двумя независи­мыми координатами - линейными перемещения­ми в вертикальном и горизонтальном направле­ниях. То есть рассматриваемая система будет иметь две степени свободы. Заметим что, так как во всех реальных системах масса конструкции распределена по их объему, поэтому любая произвольно взятая точка является материальной. Следова­тельно, для определения положения системы в произвольный мо­мент времени, строго говоря, необходимо знать перемещения всех точек рассматриваемой системы. Откуда следует, что все реальные системы в точной постановке задачи, имеют бесконечное число степеней свободы, так как число материальных точек, принадлежа­щей любой реальной системы, равно бесконечности.

Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

 

Соударение твердого тела и системы с одной степенью свободы

Задача соударения различных механических систем часто встре­чается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро- или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая удар. Аналогичные явления происходят при ковке; удар испытывают и проковываемое изделие и шток молота с бойком, так как последний очень быстро останавливается при соприкосновении с изделием. Во время удара между обеими ударяющимися деталями возникают весьма большие взаимные давления. Скорость ударяющего тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело останавливается. Значит, на него от ударяемой детали передаются очень большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т. е. передается реакция , равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение.

Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция , где Q — вес ударяющего тела. По закону равенства действия и противодействия на ударяемую. часть конструкции передается такая же сила, но обратно направленная (рис.15.2). Эти силы и вызывают напряжения в обоих телах.

 

image003-46

Рис.15.2

 

Таким образом, в ударяемой части конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела; мы можем вычислить эти напряжения, рассматривая силу инерции  как статическую нагрузку нашей конструкции. Затруднение заключается в вычислении этой силы инерции. Продолжительности удара, т. е. величины того промежутка времени, в течении которого происходит падение скорости до нуля, мы не знаем. Поэтому остается неизвестной величина ускорения а, а стало быть, и силы . Таким образом, хотя вычисление напряжений при ударе представляет собой частный случай задачи учета сил инерции, однако для вычисления силы  и связанных с ней напряжений и деформаций здесь приходится применять иной прием и пользоваться законом сохранения энергии.

При ударе происходит очень быстрое превращение одного вида энергии в другой: кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию деформации. Выражая эту энергию в функции силы  или напряжений, или деформаций получаем возможность вычислить эти величины.

 В зависимости от скорости приложения контактной силы, ударное нагружение может рассматриваться как квазистатическое или ударное. В случае ударного нагружения необходимо учитывать не только величину нагрузки, но и время, в течение которого она достигает конечного значения, и импульс, представляющий собой площадь под кривой зависимости нагрузки от времени. При действии ударных нагрузок не только повышаются напряжения по сравнению с квазистатическим нагружением, но и могут значительно меняться свойства материала – возрастают предел текучести и предел прочности материала и снижается его пластичность, т.е. происходит охрупчивание материала.   

Теория удара опирается на некоторые допущения: форма изогнутой оси балки при ударе подобна изогнутой оси балки при статическом ее нагружении; считают, что удар является неупругим, то есть ударяющее тело не отскакивает от конструкции, а продолжает двигаться вместе с ней; считают, что деформации, вызванные ударом, являются упругими, то есть ; массой балки пренебрегают, то есть считают балку невесомой.

 

Механические испытания на удар

Обычные ударные испытания образцов, осуществляемые на маятниковых копрах, призваны оценить склонность материала к хрупкому разрушению и относятся по своим скоростным показателям (скорость удара 5-7 м/с) к квазистатическому нагружению. Ниже будет рассмотрено поведение металлических материалов при квазистатическом ударном нагружении. Метод основан на разрушении при изгибе образца с концентратором в виде надреза одним ударом маятника копра. Надрез в стандартных образцах облегчает хрупкое разрушение материалов. В результате испытания определяют полную работу, затраченную при ударе на разрушение образца (работу удара) K, и ударную вязкость KC. Под ударной вязкостью следует понимать работу удара, отнесенную к начальной площади поперечного сечения образца в месте концентратора. Единицей измерения ударной вязкости является Дж/см2.

В зависимости от вида концентратора (U-, V или T-образный надрез) ударная вязкость обозначается как KCU, KCV или KCT. Выбор вида концентратора осуществляется в зависимости от требований к изделию: U - при обычных испытаниях металлов и сплавов; V - для конструкций повышенной степени надежности (летательные аппараты, транспортные средства, трубопроводы, сосуды давления); T - для особо отвестственных конструкций.

Для определения вязкости хрупких материалов (инструментальных сталей с твердостью более 50 HRC) применяют гладкие образцы и ударная вязкость обозначается KC.

Обычно испытывается призматический образец квадратного сечения 10х10 мм и длиной 55 мм с краевым надрезом глубиной 2 мм в середине образца. На рис.15.3 представлена схема нагружения образца при испытании его на удар.

Ocr0198

Рис.15.3

         

В зоне концентрации напряжений происходит локализация деформации, и возникает объемное растяжение, вследствие стеснения деформации в поперечном направлении. Это в сочетании с высокой скоростью деформирования (порядка 102 1/с) способствует проявлению хрупкости материала. Хотя ударная вязкость как свойство материала носит условный характер, она оказалась весьма чувствительной к особенностям структуры материала и механического его поведения. Например, различие в комплексе свойств при деформировании и разрушении мелкозернистого и крупнозернистого железа четко выявляется ударной вязкостью, тогда как статические характеристики этого не отражают (табл.15.1).

 

Таблица 15.1

Структура железа

, МПа

, МПа

,%

,%

KCV, Дж/см2

Мелкозернистая

268

375

35,3

72,2

13,1

Крупнозернистая

185

345

36,9

66,7

2,6

 

Испытанию на удар подвергаются практически все материалы. При поставках металла ударная вязкость является настолько же обязательной характеристикой металла, как ,  и . Она характеризует способность материала сопротивляться хрупкому разрушению (поглощать энергию удара за счет пластического деформирования) при заданной температуре испытания. В таблице 15.2 приведены значения ударной вязкости для углеродистых сталей.

                                                                                                                                    

Таблица 15.2 Ударная вязкость некоторых сталей

Содержание в

стали углерода

Термообработка

отжиг

закалка и отпуск

, МПа

KCV, Дж/см2

, МПа

KCV, Дж/см2

0,15

350-450

2,5

360-500

2,5

0,15-0,20

400-500

2,2

450-650

2,0

0,20-0,30

500-600

2,0

550-750

1,5

0,30-0,40

600-700

1,6

700-850

1,2

0,40-0,50

700-800

1,2

800-950

0,9

0,50-0,60

800-900

1,0

900-1050

0,5

0,60-0,70

850-950

0,8

1000

0,3

0,70

950

0,6

1050

0,2

 

Ударная вязкость металла существенно зависит от температуры испытания. Это особенно относится к металлам и сплавам с о.ц.к. решеткой, состояние которых изменяется с понижением температуры от вязкого к хрупкому. Испытания показывают, что при понижении температуры сначала наблюдается постепенное снижение ударной вязкости, при определенной температуре она достигает своего наименьшего значения, которое при дальнейшем понижении температуры не изменяется.

Температуры  и  называют соответственно верхней и нижней температурами хрупкости, а само явление хладноломкостью. Порог хладноломкости определяется типом кристаллической решетки, количеством примесей внедрения, при этом зависимость наблюдается обратная – чем ниже порог хладноломкости, тем выше ударная вязкость, т.е. ударная вязкость есть функция порога хладноломкости.   

Для металла в хрупком состоянии характерны низкие значения ударной вязкости, мало изменяющиеся в широком диапазоне изменения температуры (так называемое «нижнее плато» значений ударной вязкости). При вязком состоянии характерны высокие значения ударной вязкости («верхнее плато»). Переход из одного состояния в другое происходит в определенном температурном интервале – температурном интервале хрупко-вязкого перехода.

Для объяснения перехода металлов из хрупкого состояния в вязко-пластичное привлекается известная схема А.Ф.Иоффе, которая учитывает особенности деформирования и разрушения металлических материалов: возможность разрушения путем отрыва (хрупкий характер разрушения) и путем среза (вязкий характер разрушения). Отмечается слабая зависимость сопротивления отрыву  от температуры при значительном разбросе этой характеристики и существенное снижение сопротивления течению  и сопротивления срезу  с повышением температуры (рис.15.4).

Ocr0199

Рис.15.4

 

Указанное изменение характеристик прочности и пластичности предопределяют суммарное изменение ударной вязкости, например KCV, в зависимости от температуры в весьма жестких условиях нагружения, когда довольно четко выявляется так называемая критическая температура хрупкости, или температура хрупко-вязкого перехода . У разных материалов проявляются свои особенности хрупко-вязкого перехода: скачкообразный переход при определенной температуре  (рис.15.5, а); наличие области разброса KCV в пределах экстремальных значений, определяющей интервал хрупко-вязкого перехода  (рис. 15.5, б); суженная область разброса KCV в определенном интервале температур (рис. 15.5, в).

Ocr0200

Рис.15.5

 

Хрупко-вязкий переход проявляется в изменении характера излома от хрупкого к вязкому, который также происходит в определенном температурном интервале. В качестве критерия для определения  обычно используются сразу два показателя: уровень ударной вязкости KCV в зависимости от предела текучести материала и процент вязкой фазы в изломе. Например, для материалов энергетического оборудования  обусловлена определенным уровнем KCV для конкретного  материала и не менее 50% вязкой фазы в изломе при температуре  +30 0С. Следует отметить, что критическая температура хрупко-вязкого перехода – одна из основных комплексных механических характеристик малоуглеродистых и низколегированных сталей. Следует добиваться использования материала в температурной области, где проявляется вязкий характер его разрушения.     

 

Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке

Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на упругую систему С (рис.15.6). В частном случае это может быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.

image008-45

Рис.15.6

 

В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через  перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение  соответственно нужно считать продольную деформацию стержня , при изгибающем ударе — прогиб балки   в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения  (или  — в зависимости от вида деформации).

Полагая, что кинетическая энергия Т  ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию  деформации упругой системы, можем написать:

Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдет путь H+, то его запас энергии будет измеряться произведенной им работой  и будет равен:

Вычислим теперь . При статической деформации потенциальная энергия  численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:

Статическая деформация  в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:

 или

Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии , и ; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной силой Q посредине пролета  и ; и т.д.

Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:

В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный — от нуля до окончательного значения — рост силы Q, напряжений  и пропорциональных им деформаций .

Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно;  постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения .

Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее ) является следствием развития деформации ; она растет параллельно  от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения  не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:

где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.

Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (15.6) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для  при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции , т. е.

(Здесь учтено, что по предыдущему ) Подставляя значения Т и  в уравнение (15.4), получаем:

или

Отсюда

или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то

Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т.е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина

в данном случае представляет собой динамический коэффициент.

В случае внезапного приложения груза, когда H=0 получаем .

Формула (15.10) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают.

При необходимости учета массы тела, испытывающего удар, формула для расчета динамического коэффициента принимает вид

где mг – масса падающего груза, mпр – приведенная масса тела, испытывающего удар, причем

где m – истинная (распределенная) масса тела;  коэффициент приведения распределенной массы к точечной. Он определяется  путем сравнения кинетической энергии тела с распределенной и с точечной массами. Коэффициент  зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.п.) и от характера закрепления концов стержня.

Так, для консольной балки, испытывающей продольный удар (рис. 15.7, а), ; для шарнирно опертой балки на двух опорах, испытывающей удар посередине (рис. 15.7, б), ; для консольной балки, испытывающей изгибный удар (рис. 15.8, в),  и т.д.